61418

/(■T₀ł A t)- /(.T„)

Ar

lim -

ił. O

, . r„-r„-Ar r.+ r.tAr 2 sm-2 2--cos—2-2-

Ar 2 sil

- = lim -

lim -

A r sin(r₀ + A r) sin ,r₀

lim -

A x sin(.r₀ + A r) sin r₀

“Ar- sm(.v₀1 Ar)- sin r₀ . A.r

A.r

lim ——

st-o Ar

sin(r₀+ Ar)sinr₀

- cosr₀ sin^Jr₀

•    Definicja pochodnych jednostronnych fimkcji

Niech f będzie określona przynajmniej na lewostronnym otoczeniu U_(Xo) [prawostronnym otoczeniu U.(xo)].

Pochodna lewostroima fimkcji f w punkcie Xo, ozn symbolem f_’(x<>), nazywamy:

/' (x₀) =^/ lun ^f(1°

i¹-°_    A.r

Pochodną prawostronną fimkcji f w punkcie Xo, ozn. symbolem f.’(xo), nazywamy: _f, « _hm f(^xo^ł Ar)- f(x₀)

Ar

•    Twierdzenie: warunek konieczny i dostateczny istnienia pochodnej :

Pochodna f (xo) istnieje o , gdy istnieją pochodne jednostronne w pmikcie a ponadto: f_(x„)=f.(x„)

Przykład: Sprawdzić istnienie pochodnej fimkcji: y= | x | w punkcie Xo=0

/■<¹.) = hm    _ll,n± =

=» /'_(0)¹ /. (0) f(0) nie istnieje

°_ A.r    i¹-o_ A.r    Ar

„ , ,    ,.    /(Ar)-/(O)    ,.    |A.r|-0    Ar ,

i¹- <y A.r    ¹ «-¹<>• A.r it-^A.r

1

   Twierdzenie: związek między ciągłością a istnieniem pochodnej Jeżeli funkcja ma pochodna właściwą w punkcie, to jest ciągła w tym punkcie.

UWAGA: Ale nie na odwrót!!! Tzn. z ciągłości funkcji tue wynika istnieiue pochodnej.

Przykład: y= \ x \ jest funkcją ciągłą, ale nie ma pochodnej w x₀=0!!!

•    Definicja pochodnej fimkcji na zbiorze:

Funkcja ma pochodną właściwą na zbiorze « , gdy ma pochodną właściwą w każdym punkcie tego zbioru. Funkcie określona na zbiorze, której wartości w punktach X tego zbiom są równe F(x) nazywamy pochodna fiuikcii f na zbiorze i oznaczamy przez f.