55174

& = C\x) e-l’‘"⁾* +C(x) •W'¹’"* -(-p<x»)

stąd

C(x) ■e I**'* -C(x)p<x) .ef**'* +p( x)C{ x)e l^p'^x)d* = f(x) C(x)*=f(x)el^ptx>dx

zatem

C(x) = J f{ x)e^^P ' ^d'dx+C_l. gdzie C, eR i

y(x) =Ce ^'’"' +e~l*^,,d- • J

jest CDRN.

Twierdzenie

Jeśli p. f €Ct(o.f>)), to

y(x) =Ce~f^p"‘^ld'    f f (x)el*^M<*dx

jest całką ogólną równania niejednorodnego, ponadto przez każdy punkt obszaru ^D ={(*..y) ^x e(a.ł>) AyeR } przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa.

Przykład

dy

Znaleźć całkę ogólną równania ~r =-, - .

' °    *    ax xcosy + sm2y

Nie jest to równanie liniowe funkcji y = y( *), ale jest równaniem liniowym funkcji

odwrotnej x —x(y). Zatem w przedziale w którym =*(y) mamy

dx

— =xcosy+sin2y RN dy

Szukamy najpierw rozwiązań równania jednorodnego dx — = xcosy RJ
przekształcamy	dx — = cos ydy
stąd	ln|xj = siny+ ln|c,|

czyli

dla C, * 0

dla C, * 0

i ostatecznie

x —C e*^ny dlaC*0.

Jeśli C=0,to X = 0 i X = 0 spełnia RJ. Stąd otrzymujemy CORJ:

Uzmienniamy stałą różniczkujemy

x=Ce— dla Ce R.

x =c(_y) e^My

dx

dy

C(y)

■C(y)<

cosy

12