78210

l-ogika i teoria zbiorów

Potocznie mówiąc, z prawdy nie może wynikać fałsz. Zauważmy jednak, że z fałszywego zdania może wyniknąć zarówno prawda jak i fałsz.

Poznane zdania i funktory stanowią elementy tzw. rachunku zdań. W rachunku tym zdania mogą być uważane za zmienne zdaniowe, gdyż przyjmują wartości logiczne 0 lub 1.

Prawem rachunku zdań (inaczej tautologią) nazywamy takie wyrażenie tego rachunku, które staje się zdaniem prawdziwym przy dowolnym podstawieniu wartości logicznych za zmienne zdaniowe. Można powiedzieć, że tautologie to schematy zdań zawsze prawdziwych. Treść zdań. które podstawiamy do tautoligii na miejsce zmiennych zdaniowych, nie ma żadnego wpływu na wartość logiczną zdania jakie z niej otrzymujemy, gdyż war ość ta jest zawrze równa 1.

Nazwa tautologii	Zapis
Prawo podw-ójnego zaprzeczenia	~(~p)
Praw'o wyłączonego środka	P V (~ p)
Prawa przechodniości implikacji	((P => <l) A {q => r)) => (p => r))
P rawa kont rapozycj i	(/>=►<?) ((~ <1) => (~ P))
Prawo zaprzeczenia implikacji	( ~ (P =></)) (pM~ </))
Prawa de Morgana dla alternatywy	( ~ (pVę)J <=> (~p) A(~ q)
Prawa de Morgana dla koniunkcji	(~(pAę)) 4=>(~p)V(~ q)

Poza zdaniami, w matematyce posługujemy się często formami (funkcjami) zdaniowymi. Forma zdaniowa p(x) jest to wyrażenie, które zawiera pewną zmienną (lub zmienne) i staje się zdaniem logicznym (prawdziwym lub fałszywym), gdy w’ miejsce zmiennej podstawimy nazwę dowolnego przedmiotu należącego do dziedziny tej formy.

Przykład 2. Nierówność

2x - 5 > 1

jest formą zdaniową. Jeśli za zmienną x podstawimy 0, to forma ta staje się zdaniem fałszywym —5 > 1. Jeśli za zmienną x podstawimy 4. to forma ta staje się zdaniem prawdziwym 3 > 1.

Ważną rolę przy budowie zdań łub form zdaniowych spełniają tzw. kwanty fik atory.

Zwrot

dla każdego x takiego, że...

nazywamy kwantyfikatorcm ogólnym lub dużym i oznaczamy symbolem

(1)    V,

i

zaś zwrot

istmeje takie x, że...

nazywamy kwantyfikatorcm szczegółowym lub małym i oznaczamy syml>olem

(2)    3.

X

Kwantyfikatory (1) i (2) odnoszą się do |>ewnego zakresu (zbioru wartości) zmiennej x w formie zdaniowej p(x).

Przykład 3. Rozważmy formę zdaniową p(x), określoną następująco:

p(x) : x > x².

Jeżeli teraz funkcję tę poprzedzimy dużym kwantyfikatorem. to otrzymamy zdanie

V x > x².

15