82297

Przykład 4.3 Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji /(ar) = cosx w punkcie

(!,o).

Przykład 4.4 Wyprowadzić wzór na miarę kąta ostrego pod jakim przecinają się wykresy dwóch funkcji.

Znaleźć miarę kąta jxxl jakimi przecinają się wykresy /(ar) = ar² , g(x) — X³.

Definicja 4.3 ( Pochodnej jednostronnej)

Niech xo € A i istnieje takie 6 > 0, że (xo - 6.aro) C A. Pochodną lewostronną funkcji f w punkcie xq nazywamy granicę lewostronną właściwą:

f-M

lim

/(*)-/(*o)

X - x₀

Analogicznie definiujemy pochodną prawostronną;

/i(x₀)= lim z₀

/(*)-/(*o)

X - x₀

Uwaga 4.1 Funkcja f ma w punkcje xo pochodną wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją pochodne lewostronna i prawostronna w tym punkcie i są równe.

Przykład 4.5 Zbadać istnienie pochodnej funkcji /(x) = |x| w punkcie xo = 0. Rozwiązanie: Obliczamy pochodne jednostronne:

/L(0) = UmMd21= Um — = —i

x—0-    X    x—*0— X

/+(*„) = lim ^|j| ~ ¹⁰¹ = lim - = 1

^J + ^K U/    x—»0+    X    x—*0+ X

Skoro f'-(xo) ^ /1(xq) , to nie istnieje pochodna funkcji f(x) = |x| w xq = 0.

Przykład 4.6

1.    Zbadać istnienie pochodnej funkcji /(x) = |sinx| w punkcie xo = 0.

2.    Znaleźć pochodną /(x) = x|x| w punkcie xo = 0

Przykład 4.7 Pokazać, że dla x > 0 mamy (lnx)^; = j .

Dowód: Ustalmy dowolne xq> 0 i oznaczmy Ax — x - xo.

lim '»⁽"o ⁺    ~ ^l,1"o _ _Um i_{h(1 +} Ąj ₌ i_lne . i

Ax-»0    Ax    i/-OXo    Xq    Xo    x₀

Przy obliczaniu powyższej granicy wykorzystano ciągłość funkcji f(x) = lnx na przedziale (0,oo) oraz własność lim(1 + z)* = e, ( bierzemy z — ^ ). Z dowolności xq > 0 otrzymujemy wzór:

(Vx€ft+) (lnx)^# = -x

Definicja 4.4 ( Pochodnej na przedziale domkniętym)

Jeżeli funkcja f : (a. b) >-* TZ ma jx>chodną w każdym punkcie przedziału otwartego (a. 6) oraz istnieją pochodne /'(«+) oraz f'(b-), to mówimy, że funkcja f ma pochodną na całym przedziale (a. b).

20