87744

Up = gz

Drugie z wyrażeń po prawej stronie lówn. (6.1) jest również różniczką zupełną:

dp

dp

P

i dx+ dy+ dz p^dx    dy    dz ,

co nakazuje przekształcić także i lewą stronę zw. (6.1) do różniczki zupełnej, gdyż w tym przypadku możliwe będzie rozwiązanie (scałkowanie) tego równania. Wykorzystamy w tym celu sformułowane wcześniej założenie, że rozpatrywany nich jest ustalony co sprawia, że równania tr ajektorii i linii prądu stają się tożsame i przyjmują postać:

dx _ dy _ dz

u, ⁼ u_y⁼ u_z

z której uzyskać możemy następujące związki:

U_ydx    =    U_xdy    (6.2a)

U₂dy    =    U_ydz    (6.2b)

U_zdx    =    U_xdz    (6.2c)

Jeżeli założymy, że rozpatmjemy nich odbywający się tylko wzdłuż jednej linii prądu, wówczas pierwszy człon lewej strony równ. (6.1) przekształcić będziemy mogli następująco:

U,

^dV*A TT W

^x dx + U_v

ax >

dy

dx + U.

au_x

dz

dx

_TT . au_x .. . au_x

= LLdx ^X+U_vdy ^{x x} dx    dy

+ U„dz

5U_X

dz

= U„dU„ = d

Postępując analogicznie w odniesieniu do dnigiego i trzeciego członu lewej str ony równania (6.1) będziemy je mogli doprowadzić do postaci:

^ru!₊u?.₊u:

= -dU,

dp

co po uwzględnieniu wcześniej sformułowanych zależności na potencjał oraz następującego związku:

U = U

^{+ u}, + u_;

prowadzi do następującej zależności:

d

₊ dU_{p +}

dp

0

Z powyższego równania otrzymać możemy całką lub równanie BertionJliego:

C

U² .dp 2^+;p⁺⁸’^Z

const

(63)

w którym stała C zachowuje stalą wartość wzdłuż danej linii prądu, przy czym jej wartość może być oczywiście różna dla innych linii prądu. Najprostszą postać równania Bernoulliego otrzymujemy dla jednorodnego płynu nieściśliwego, dla którego:

p = idem

co pozwala zapisać ostatecznie:

U²

+ ^ + g-z = const    (6.4)

2 P

Łatwo stwierdzić, że powyższe równanie stanowi warunek zachowania energii przepływającego płynu odniesionej do jednostki masy, w którym człon pierwszy przedstawia energię kinetyczną, drugi energię potencjalną ciśnienia (energię wewnętrzną) natomiast człon trzeci energię potencjalną położenia (sil masowych). Równanie Bernoulliego stwierdza zatem, że u ruchu ustalonym nieściśliwego płynu idealnego odbywającym się h^t polu sił ciężkości, całkowita energia płynu składająca się z energii kinetycznej oraz potencjalnej energii

106