88473

Chemia - Zestaw nr 12. Zastosowanie pochodnych cząstkowych.

I unkcia uwikłana. Prosta normalna i nias7.c7y7.na styczna do powierzchni.

• Funkcja uwikłana. Niech F będzie funkcją dwóch zmiennych (ciągłą wraz z pochodnymi cząstkowymi w otoczeniu punktu (xo, yo)). Niech F(xq, yo) = 0 , a ^Fy (xq, yb)*0. Wtedy równanie F(x,y) = 0 wyznacza funkcję uwikłaną f[x) ciągłą i różniczkowalną w otoczeniu Xo, taką że f[xo) = yo. Jej pochodne w

f;(x, f(_X))

otoczeniu x₀są określone są wzorami: f (^x)-~

F'y(x.f(x)) '

rw=-

F^m F'¹ -2F' F'F' + F' F'¹ 1 xx² y    xy² x‘ y ^T1 yy^Ł x

Jeżeli równanie F(x,y) określa funkcję uwikłaną f oraz D F(xq, yb) = 0, 0 F* (xa yb) = 0, 0 Fy(xo, yo) * 0

i    =    "“"*0, to w punkcie Xo istnieje ekstremum funkcji uwikłanej f (x) i jest to

minimum, gdy f\*₀ ) > 0, a maksimum gdy    o ) < 0.

• Dana jest powierzchnia opisana równaniem F(x,y,z) = 0 i punkt A(xo, yo, zo) należący do tej powierzchni tzn. F(xo, yo, Zo) = 0.

Płaszczyzna styczna do tej powierzchni w punkcie A ma równanie:

^dF (*o.yo. *o)(* -*o)yo. ^zo)(y -yo) +^7-(^0.yo.*o)(* -^0) =° .

dy

dz

Prosta normalna do tej powierzchni w punkcie A ma równanie:

-Zuihmiu.-

* = *o + ^F*(*o..yo.^zo)⁽ y=yo + F'y(.xo-yo-zo)<-

z=z₀ + F'(x₀,y₀,z₀)t

1

   Znaleźć drugą pochodną w punkcie (0,1) funkcji uwikłanej y=y(x), opisanej równaniem:

a)x¹-xy+2y¹+x-y-l=0    b)x¹ + xy+y¹ = l

2

   Znaleźć pierwszą pochodną funkcji uwikłanej y=y(x), opisanej równaniem:

a) xV - xy* = 1    b) xe^T + ye^x - e^xy = 0