97989

Jeśli _t|uPx oznacza prawdopodobieństwo, że osoba obecnie w wieku X lat, przeżyje T lat i umrze w ciągu następnych U lat, tzn. że umrze pomiędzy wiekiem (x+t) a wiekiem (x+t+u):

,_|oq>=P(t<r(x)<t+u) =

_t+uqx-qx-tPx-t₊uPx

Prawdopodobieństwo , że osoba w wieku X przeżyje T lat pod warunkiem, że ukończyła już X lat:

,_Pr *^rW >«»> x> - W >« + «»>«>- “ oraz ^"*£? otrzymujemy:

S(x+f)-S(x+rfu) S(x+t) S(xf e)-S(xtfłu)

t|_Uqx^_ $(.*)    ~ *(*)    $(*+*) ^_tPx-uq_x+t

_ s(x+t+u) _ Sjx+t) ^ Sjx+t+u) _

t+uPx    ~ ^SC*) S(x*t) “_tp_x-_up_x+t

INTESYWNOŚCI UMIERALNOŚCI

Załóżmy, że z = x + bx , to

p(x < x < x + Ax\X > x

F{x+Ax)-F{x)

i-w gdzie f(x) jest funkcją gęstości zmiennej

-S'(x')

S(x)

prawdopodobieństwo

czyli

losowej x

u ₌    :

Intensywność umieralności to:    ^x *-*(*)

zgonu dokładnie w wieku x lat.

CAŁKOWITY CZAS TRWANIA ŻYCIA

Niech K(x) oznacza zmienną losową opisującą liczbę pełnych lat, jakie pozostały

K(x) = [T(x)]

Rozkład zmiennej xPx-k+iPx=kPxxqx+k=k+iqx dla k=0, 1, 2,

do przeżycia osobie w wieku X, czyli losowej K(x):

q(k) = P(K{x) = k) = P(k < T(x) < k +1) =

TABLICE TRWANIA ŻYCIA

Tablice trwania życia są teoretycznym modelem ludzkości, której liczba stopniowo się zmniejsza na skutek zgonów. Opisują one proces wymierania generacji osób jednocześnie urodzonych lub porządek wymierania osób z różnych generacji żyjących w danym momencie. Punktem wyjścia jset prawdopodobieństwo zgonu (q_x) i prawdopodobieństwo przeżycia roku (p_x) dla osoby w wieku X lat.

_ .    _ s(xłl)

q_x“ “ p_x WYZNACZANIE TABLIC

_m _ lx+lx+t

Roczny współczynnik zgonów:    * l_x

__    _lx~lx+i._2Xqx

m_x —    —

Jeżeli zgony są równomierne w czasie roku to:    hr+J*fi 2-q_x

Kalkulacja składki na życie składa się z:

=Związanej z aktualnym ryzykiem śmierci

=Rezerwy matematycznej (wyrównującej składkę na przestrzeni lat życia) UBEZPIECZENIE NA WYPADEK ŚMIERCI

Dla uproszczenia zakładamy, że wpłata jest 1 jednostką. Czas wpłaty wynosi

z = v^k+1 = r¹

k+1 (losowy). Wartość obecnej wpłaty (zdyskontowana):    ^Li+r^J