3784494697

9. Punkty D, E, F leżą odpowiednio na bokach BC, CA, AB trójkąta ABC. Okręgi wpisane w trójkąty AEF, BFD, CDE są styczne do okręgu wpisanego w trójkąt DEF. Udowodnić, że proste AD, BE, CF przecinają się w jednym punkcie.

10.    Dana jest liczba x\ >0. Ciąg (:r_n) jest zdefiniowany wzorem:

x_n+\ = x_n + \    dla n = 1,2,3,... .

^xn

Udowodnić, że istnieje granica lim , i obliczyć ją.

n—*oo tyn

11.    W urnie znajdują się dwie kule: biała i czarna. Ponadto mamy do dyspozycji 50 kul białych i 50 czarnych. Wykonujemy 50 razy następującą czynność: losujemy z urny kulę, a następnie wrzucamy ją z powrotem do urny oraz dokładamy jedną kulę tego samego koloru, co wylosowana kula. Po zakończeniu tych czynności mamy więc w urnie 52 kule. Jaka liczba kul białych znajdujących się w urnie jest najbardziej prawdopodobna?

12.    Wszystkie wierzchołki sześcianu o krawędzi a leżą na powierzchni czworościanu foremnego o krawędzi 1. Wyznaczyć możliwe wartości a.

Zawody stopnia drugiego

1. Dana jest funkcja /:(0,1)taka, że /(^) = (—l)ⁿ dla n = l,2,... . Wykazać, że nie istnieją funkcje rosnące g: (0,1) —» M, h: (0,1) —> M, dla których f=g-h.

2.    Sześcian S o krawędzi 2 jest zbudowany z ośmiu sześcianów jednostkowych. Klockiem nazwiemy bryłę otrzymaną przez usunięcie z sześcianu S jednego spośród ośmiu sześcianów jednostkowych. Sześcian T o krawędzi 2ⁿ jest zbudowany z (2ⁿ)^{1 2} sześcianów jednostkowych. Udowodnić, że po usunięciu z sześcianu T dowolnego spośród (2ⁿ)¹ sześcianów jednostkowych powstaje bryła, którą daje się szczelnie wypełnić klockami.

26

1

   Czworokąt wypukły ABCD jest wpisany w okrąg. Punkty E i F leżą odpowiednio na bokach AB i CD, przy czym AE.EB = CF:FD. Punkt P leży na odcinku EF i spełnia warunek EP.PF = AB.CD. Udowodnić, że stosunek pól trójkątów APD i BPC nie zależy od wyboru punktów E i F.

2

   Punkt P leży wewnątrz trójkąta ABC i spełnia warunki:

$PAB = $PCA oraz $PAC=$PBA.

Punkt O jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC. Dowieść, że jeżeli O ^ P, to kąt APO jest prosty.