3784503542

Rozwiązanie równania różniczkowego (2.6) o zmiennych rozdzielonych, znajdujemy metodą całki ogólnej:

(2.7)

Pamiętając, że: f(x) = ln(x)=>f'(x) = — i g(x) = x=>g'(x) = l, otrzymujemy: x

ln(T-T_k) = --t+C    (2.8)

T

czyli:

(2.9)

(2.10)

T-T_k=exp\ —+C

i dalej:

T-T/f =C,■exp[-—], gdzie: C, = exp(c)

oraz:

r=r, +c₁-exp^-—j    (2.ii)

Stałą Ci znajdujemy uwzględniając w (2.11) warunki początkowe: 7= 7"₀, dla chwili t = 0:

r₀=r,+exp(0)c₁    (2.12)

stąd:

Cl =To-T_k=-{T_k-T₀)    (2.13)

Podstawiając (2.13) do (2.11) otrzymujemy wzór na temperaturę czujnika T o temperaturze początkowej T₀ po zanurzeniu w płynie o temperaturze 7j<:

T=T_k-exp(-^j(T„-T₀)    (2.14)

Po elementarnych przekształceniach otrzymujemy wzór na temperaturę czujnika (tzw. „krzywą nagrzewu czujnika idealnego"):

r = 7b+(7i-7i,).fl-«^-tn    (2.15)

lub w postaci bezwymiarowej (w skali od 0 do 1):

^e--^rA¹-^exi-$    ^,2'¹⁶⁾

Parametr r(2.4) ma wymiar czasu i jest określany jako stała czasowa: charakteryzuje czas, po którym temperatura czujnika (czyli temperatura wskazywana) osiągnie 0,632 wartości temperatury ośrodka (rys. 2.1), i zależy od: mechanicznej konstrukcji i rozmiarów czujnika (m, F), właściwości cieplnych materiału zastosowanego do budowy czujnika (c) i właściwości cieplnych płynu (a).

5