plik

��Andrzej BANACHOWICZ Katedra Metod Sztucznej Inteligencji i Matematyki Stosowanej ANALIZA SYSTEMOWA Szczecin 2012 1 OG�LNE ROZWIZANIE UKAADU R�WNAC R�{NICZKOWYCH �� UkBady pierwszego rzdu �� Macierzowa funkcja wykBadnicza �� Og�lne rozwizanie r�wnania jednorodnego �� UkBad fundamentalny caBek 2 UkBad liniowych r�wnaD r�|niczkowych pierwszego rzdu Rozpatrzmy ukBad liniowych r�wnaD r�|niczkowych pierwszego rzdu postaci , , & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ... , (1) , 3 gdzie: t zmienna niezale|na, funkcje niewiadome, , i, j = 1, 2, & , n funkcje zwane wsp�Bczynnikami, funkcje zwane wyrazami wolnymi, s funkcjami znanymi (wiadomymi). Funkcje te s okre[lone w pewnym przedziale otwartym Q, ograniczonym lub nieograniczonym. 4 UkBad (1) mo|emy zapisa nastpujco: (t) = A(t) x(t) + f(t) (2) gdzie: x(t) = [x1(t), x2(t), & , xn(t)]T �� Rn, f(t) = [f1(t), f2(t), & , fn(t)]T �� Rn, A(t) = [aij(t)] macierz n � n. UkBad ten nazywamy: �� jednorodnym, gdy wszystkie wyrazy wolne s zerami, �� niejednorodnym, gdy nie wszystkie wyrazy wolne s zerami. 5 R�wnanie ukBadu jednorodnego ma nastpujca posta (t) = A(t) x(t). (3) Rozwizaniem ukBadu liniowych r�wnaD r�|niczkowych pierwszego rzdu nazywamy ka|dy n-wyrazowy cig funkcji , (4) czyli wektor x(t) = [x1(t), x2(t), & , xn(t)]T, (5) kt�ry speBnia r�wnanie (1) (i odpowiednio (2)) w pewnym przedziale. 6 Warunkiem pocztkowym dla ukBadu (1) (i odpowiednio (2)) nazywamy cig n + 1 liczb t0, b1, b2, & , bn, (6) M�wimy, |e rozwizanie ukBadu (4) speBnia warunek pocztkowy (6), gdy . (7) W zapisie wektorowym bdziemy mieli x( ) = [ , , & , ]T. (8) 7 Twierdzenie 1. Je[li funkcje A(t) i f(t) s cigBe dla t �� (a, b), to przez ka|dy punkt zbioru Q = (a, b) � Rn przechodzi dokBadnie jedna krzywa caBkowa r�wnania (2). Maksymalnym przedziaBem istnienia ka|dego rozwizania jest przedziaB (a, b). WBasno[ci ukBadu jednorodnego: 1. Jednym z rozwizaD ukBadu jednorodnego jest rozwizanie zerowe, tj. takie, kt�rego wszystkie skBadowe s funkcjami r�wnymi 0 w przedziale Q. Rozwizaniem niezerowym nazywamy takie rozwizanie, kt�rego co najmniej jedna skBadowa nie jest to|samo[ciowo r�wna zeru. 8 2. Je[li x(t) jest rozwizaniem ukBadu jednorodnego, a c jest dowoln staB, to c�x(t) jest te| rozwizaniem tego ukBadu. 3. Og�lniej: dowolna kombinacja liniowa rozwizaD ukBadu jednorodnego jest te| rozwizaniem tego ukBadu. Rozwizania tworz przestrzeD liniow. 4. Cig rozwizaD x(1)(t), x(2)(t), & , x(n)(t) nazywamy ukBadem fundamentalnym, je[li wektory te s liniowo niezale|ne w przedziale Q (tworz baz przestrzeni Q). 9 Odpowiada to warunkowi, |e wyznacznik (wroDskian) W(t) = (9) jest w przedziale Q r�|ny od zera, tj. W(t) �� 0. 5. Dla ka|dego ukBadu jednorodnego istniej ukBady fundamentalne. 10 6. Kombinacja liniowa rozwizaD tworzcych ukBad fundamentalny c1�x(1)(t) + c2�x(2)(t) + & + cn�x(n)(t), (10) gdzie: c1, c2, & , cn dowolne staBe, jest rozwizaniem og�lnym ukBadu jednorodnego, obejmujcym wszystkie rozwizania tego ukBadu. Wniosek 1 Je[li x(t) jest rozwizaniem r�wnania jednorodnego (3) i x(t0) = 0 dla pewnego t0 �� (a, b), to x(t) jest to|samo[ciowo r�wne zeru. 11 WBasno[ci ukBadu niejednorodnego: 1. Rozwizanie og�lne ukBadu niejednorodnego jest sum rozwizaD: szczeg�lnego rozwizania ukBadu niejednorodnego i og�lnego rozwizania ukBadu jednorodnego. 2. Rozwizanie ukBadu niejednorodnego mo|na wyznaczy metod uzmienniania staBych (za pomoc kwadratur), je[li jest znany ukBad fundamentalny rozwizaD ukBadu jednorodnego. 12 Twierdzenie 2. 1. Rozwizania r�wnania jednorodnego (3) tworz n- wymiarow przestrzeD liniow E. 2. Je[li xc(t) jest rozwizaniem szczeg�lnym r�wnania niejednorodnego (1), a wektory xi(t), i = 1, 2, & , n, s baz przestrzeni E, to rozwizanie og�lne r�wnania niejednorodnego ma posta x(t) = xc(t) + c1 x(1)(t)+ & + cn x(n)(t), gdzie: ci �� R. 13 ZaB�|my, |e mamy pewn baz przestrzeni E, zBo|onej z rozwizaD r�wnania niejednorodnego (3). Baza ta skBada si z n funkcji: x(1)(t), & , x(n)(t), kt�re s wektorami kolumnowymi. Utw�rzmy z tych funkcji macierz X(t) tak, |e kolejne wektory xi(t) tworz kolumny tej macierzy. Macierz ta speBnia analogiczne r�wnanie do r�wnania (3): (t) = A(t) X(t). (11) 14 R�wnanie (11) jest formalnym zapisem faktu, |e wektory xi(t) speBniaj r�wnanie (3) i odwrotnie, je[li macierz X(t) speBnia r�wnanie (11), to jej kolumny (jako wektory), speBniaj r�wnanie (3). 15 Twierdzenie 3. UkBad pierwszego rzdu (t) = A(t) x(t) + f(t) z warunkiem pocztkowym x(t0) = x0 ma rozwizanie postaci (zale|no[ Cauchy ego) x(t) = x0 + X(t) , (12) gdzie: X(t) X-1(t0) macierz przej[cia. (13) 16 Macierzowa funkcja wykBadnicza. Potg naturaln macierzy A okre[la si rekurencyjnie Am = Am-1A oraz A0 = I. Dla macierzy diagonalnych i quasi-diagonalnych mamy A = [a1, a2, & , an] �� Am = [ , , & , ] A = [A1, A2, & , As] �� Am = [ , , & , ] 17 Potg caBkowit ujemn macierzy nieosobliwej okre[lamy jako: = . Dla macierzy diagonalnych i quasi-diagonalnych zachodz zale|no[ci: A = [a1, a2, & , an] �� = [ , , & , ] A = [A1, A2, & , As] �� = [ , , & , ] 18 Macierzow funkcj wykBadnicz okre[lamy jako nastpujcy szereg nieskoDczony = I + . Korzystajc z twierdzenia Hamiltona Cayleya funkcj wykBadnicz mo|na przedstawi w postaci nastpujcego szeregu skoDczonego: eAt = a0I + a1A + & + an-1An-1. 19 W przypadku ukBadu stacjonarnego, tj. A = const. macierz przej[cia (13) ma posta . Wtedy zale|no[ Cauchy go otrzyma nastpujc posta: x(t) = x0 + . (14) To za[ dla t0 = 0 daje x(t) = . (15) 20 Og�lne rozwizanie jednorodnego r�wnania r�|niczkowego. ZaB�|my, |e funkcja x(t) = hel�t jest rozwizaniem ukBadu jednorodnego (3). Jej pochodna jest r�wna (t) = l� hel�t. Podstawmy te warto[ci do r�wnania (3), to otrzymamy l� hel�t = A hel�t . 21 Poniewa| el�t jest staB, to el�t l� h = el�t A h, l� h = A h, (Ah l� h) = 0, (A l� I) h = 0, gdzie: h wektory wBasne macierzy A. 22 Zbi�r n liniowo niezale|nych caBek r�wnania (3) nazywamy ukBadem fundamentalnym. Je[li r�wnanie charakterystyczne stopnia n-tego ma n r�|nych warto[ci wBasnych, to uzyskujemy n caBek liniowo niezale|nych, czyli ukBad fundamentalny caBek i ich kombinacja liniowa jest caBk og�ln danego r�wnania r�|niczkowego. Je[li warto[ci wBasne s krotne, to zbi�r rozwizaD nale|y uzupeBni tzw. wektorami stowarzyszonymi. 23 PrzykBad 1. Rozwiza r�wnanie 2y + y y = 0. (16) Sprowadzmy je do postaci macierzowej, podstawiajc x1 = y, x2 = = y oraz y = ( y y ), 24 czyli = y = ( y y ) = x1 x2. Std x = [x1, x2]T oraz = [ , ]T i A = w r�wnaniu = Ax. 25 R�wnanie charakterystyczne |A l�I| = = = l� �-� � �=� �l�2� �+� � � �l� � �-� � �=� �0�,� czyli 2�l�2� �+� �l� � �-� �1� �=� �0�,� � � D� �=� �1� �+� �8� �=� �9� � � � � �l�1� �=� � �=� �-� �1�,� � � � � � �l�2� �=� � �=� � .� � 26 Wyznaczmy wektory wBasne. 1�)� Dla l�1� �=� �-� �1� � = = Zale|no[ liniowa kolumn (lub wierszy) macierzy. 27 = �� = -� (nie mo|e by jednak h1 = h2 = 0!) Przyjmijmy = 1 oraz = -� 1. Mamy wic pierwszy wektor wBasny h1 = [ 1, -�1]T. 28 2�)� Dla l�2� �=� � � = = Zale|no[ liniowa kolumn (lub wierszy) macierzy. 29 = �� = 2� (nie mo|e by jednak h1 = h2 = 0!) Przyjmijmy = 2 oraz = 1. Mamy wic drugi wektor wBasny h2 = [ 2, 1�]T. Macierz wektor�w wBasnych H = . 30 UkBad fundamentalny caBek Og�lna posta x(t) = hel�t, a caBki szczeg�lne otrzymujemy po podstawieniu warto[ci i wektor�w wBasnych: � x1 = h1 e - t i x2 = h2 . 31 CaBka og�lna jest kombinacj liniow x = c1 h1 e - t + c2 h2 = c1 e - t + c2 . Poniewa| x = [x1, x2]T = [x1, ]T = [y, y ]T, to = c1 e - t + c2 32 y = c1 e - t + 2c2 y = -� c1 e - t + c2 y = c1 e - t + c2 Sprawdzmy. Po podstawieniu do (16) otrzymamy 2(c1 e - t + c2 ) -� c1 e - t + c2 -� c1 e - t -� 2c2 = = 2c1 e - t + c2 -� c1 e - t + c2 -� c1 e - t -� 2c2 = 0. 33 PrzykBad 2. R�wnanie jednorodne � (t) = A(t) x(t) (17) z warunkiem pocztkowym x(t0 = 0) = x0, (18) 34 gdzie: A = (19) oraz x0 = . (20) Rozwizanie R�wnanie charakterystyczne �=� � �=� � � 35 � =� �l� +� �2� �=� �l�2� �+� �3�l� �+� �2� �=� �0�,� � D� �=� �9� �-� �8� �=� �1� � � � l�1� �=� � �=� �-� �2�,� � � � � � �l�2� �=� � .� � � Wektory wBasne macierzy: A�hi = l�i �hi (A l�i �I) hi = 0 36 Dla pierwszej warto[ci wBasnej l�1� �=� �-� �2�:� � � � � � � � = = = 37 Uwaga: Macierz jest niepeBnego rzdu (wsp�Bliniowo[ wierszy i kolumn). = . Std = . Przyjmijmy = 1, to = 2. 38 Dla drugiej warto[ci wBasnej l�2� �=� �-� �1�:� � � � � � � = = = Macierz ta jest niepeBnego rzdu. 39 = . Std = . Przyjmijmy = 1, to = 1. Macierz wektor�w wBasnych H = . 40 Mamy wic: �� pierwszy wektor wBasny h1 = [ 1, -� �2�]T �� drugi wektor wBasny h2 = [ 1, -� �1�]T. UkBad fundamentalny caBek x1(t) = h1 e - 2t i x2(t) = h2 e - t . CaBka og�lna jako kombinacja liniowa x(t) = c1 h1 e - 2t + c2 h2 e - t = c1 e - 2t + c2 e - t. (21) 41 Po uwzgldnieniu warunku pocztkowego wyznaczamy parametry c1 i c2. Mamy x0(t) = = c1 h1 e 0 + c2 h2 e 0 = c1 + c2 = = , std otrzymujemy ukBad r�wnaD: c1 + c2 = 1, 2c1 c2 = 1. 42 A po dodaniu stronami bdziemy mieli: c1 = 2, c2 = 3. (22) Podstawmy warto[ci wsp�Bczynnik�w kombinacji liniowej (22) do rozwizania (21). Po przeksztaBceniach otrzymamy x(t) = . (23) 43 Sprawdzmy. Zr�|niczkujmy obustronnie (23) = (t) = = = � , czyli (t) = A(t) x(t) dla x0 = [1, 1]T i t0 = 0. 44

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
5 Analiza systemowa wykłady PDF 11 z numeracją
analiza systemowa wyklad2
analiza systemowa wyklad3
7 Analiza systemowa wykłady PDF 11 z numeracją
analiza systemowa wyklad1
6 Analiza systemowa wykłady PDF 11 z numeracją
analiza systemu oceny okresowej pracowników
analiza finansowa wyklad KON
analiza systemowa 2
analiza finansowa wyklad Analiza wstepna i pozioma
Analiza Finansowa Wykład 05 02 12 09
analiza finansowa wykłady
Statystyczna analiza systemow bonus malus w ubezpieczeniach komunikacyjnych e6j
Systemy wyklad ochrona jednostki centralnej
Analiza regresji wykład i lista nr 3
analiza finansowa wyklad Zdolnosc obslugi dlugu
Systemy wyklad ochrona we wy
Systemy wyklad maszyny wirtualne

więcej podobnych podstron