9142890890

Zasady sporządzania protokołu pomiarowego i sprawozdania 13

Idea metody najmniejszych kwadratów została przedstawiona na przykładzie dopasowania prostej. Jeżeli uzyskaliśmy z pomiarów zbiór n par (x,, y,), i = 1,n, to dla tego zbioru można dopasować prostą y - ax + b

W metodzie najmniejszych kwadratów najlepsza ocena parametrów uzyskana jest, gdy parametry mają taką wartość, że suma S przyjmuje najmniejszą wartość:

;=1

gdzie: w,-jest wagą/-tego pomiaru, zależną od dokładności wyniku y,-.

Jeżeli wszystkie pomiary mają jednakową dokładność, wówczas wagi przypisane do wszystkich pomiarów są jednakowe, czyli zależność (I) upraszcza się do postaci:

S=t(y,-yf    (II)

czyli gdy dopasowujemy prostą:

S = Y_j(y,-ax_l-b)²    (III)

Wyrażenie (III) osiąga wartość minimalną gdy:

Ę- = -2Y_Jx,(y_l-ax,-b)=0 i ^- = -2'Z(y, -ax, -b) = 0 (IV) da _J=j    db ₍₌i

Stąd otrzymujemy układ równań z dwiema niewiadomymi a i b:

n    2 ^n    n    n    n

^aH^xi +*Z-^t/=Z^i ; ^a^L^xi ⁺ bn = ^_jy_i

1=1 1=1    1=1    1=1    1=1

(V)