6830719458

2. Całki podwójne, potrójne i krzywoliniowe Chemia, II semestr 1

Całki podwójne

• Niech D będzie obszarem płaskim normalnym względem osi Ox tzn. istnieją takie funkcje ip i ij> ciągłe na przedziale (o, 6), że D = {(x,y) : a < x < b, <p(x) <y< ip(x)}. Jeżeli funkcja / : D —> R jest ciągła na D to prawdziwy jest wzór:

b I i>(«)    \    b 1>(x)

JJ f(x,y)dxdy = II f{x,y)dy \ dx = Jdx J f(x,y)dy.

D    a \<p(x)    J    &    <f>{x)

(*T )
/ f(x>y)dx	\^iy=l
W) )

• Analogicznie definiuje się obszar normalny względem osi Oy. Wtedy D daje się przedstawić w postaci: D = {(aj,?/) : c < y < d, 7(y) <x< i zachodzi wzór

7(V)

•    Jeżeli funkcja podcałkowa jest w obszarze całkowania stała i równa 1, to całka jest równa polu obszaru całkowania: JJ dxdy = |Z?|

D

= f(x,y), dla (x,y) £ D, czyli pod wykresem rozważanej funkcji: II f(x,y)dxdy = |Fj

•    Jeżeli funkcja / jest nieujemna i ciągła na obszarze całkowania D, to całka podwójna z funkcji / po obszarze D jest równa objętości obszaru V znajdującego się w górnej półprzestrzeni pod powierzchnią

o równaniu z

• Współrzędne biegunowe: jeżeli całkujemy po obszarze D i na płaszczyźnie Ozy wprowadzimy współrzędne biegunowe r i (p, czyli dokonamy odwzorowania x = r cos <p, y = rsin ip, to jeśli A jest obszarem całkowania w tych współrzędnych (jakobian tego przekształcenia J — r). to zachodzi następujący związek:

JJ f(%,y)dxdy = JJ /(r cosę?,rsinę?) r dr dp.

Zadania

1. Obliczyć całki podwójne:

a) JJe^2x~^vdxdy, D = {(x_}y): 0 < x < l, —1<^<0};

*»//

x dx dy, D jest obszarem ograniczonym krzywymi: x = 0, y = 2, x -1- y = 4;

•»// 2y dxdy, D jest obszarem ograniczonym krzywymi: xy = 6, x + y = 7. D

2. Na dwa sposoby zamienić całkę podwójną JJ f (x, y) dx dy na całki iterowane:

a)    D jest    obszarem    ograniczonym krzywymi:    y = x² — 3, y =    1;

b)    D jest    obszarem    ograniczonym krzywymi:    y — z², y — x —    2]

c)    D jest    obszarem    ograniczonym krzywymi:    z = y² 4- 3, z =    2y²;

d) D jest obszarem ograniczonym krzywymi: x = -1, x = 1, y = \x\, y = — \/4 - x².