7511506658

Matematyka Finansowa - ćwiczenia Stopy procentowe Paweł Czudecki

Efektywna i równoważna stopa procentowa

W wielu zagadnieniach matematyki finansowej zachodzi konieczność porównania warunków oprocentowania lokat bądź spłaty kredytów oferowanych przez różne banki. Oferty te zawierają informację o wysokości nominalnej rocznej stopy procentowej (względny przyrost wartości kapitału w ciągli roku) i okresie kapitalizacji. Dla kapitalizacji złożonej porównanie ofert me jest trudne, gdy bania oferują taką samą nominalną roczną stopę procentową lecz różne okresy kapitalizacji lub też, różne stopy nominalne przy takim samym okresie kapitalizacji. Jednak rzeczywistość okazuje się bardziej skomplikowana. Dlatego w wielu przypadkach konieczna jest zmiana okresu kapitalizacji z równoczesnym zachowaniem warunków oprocentowania. Pociąga to za sobą wyznaczenie nowej stopy procentowej, która zniweluje efekt kapitalizacji w nadokresach lub podokresach okresu stopy procentowej.

Można to zrobić na dwa sposoby: poprzez wydłużenie lub skłócenie okresu kapitalizacji, ale tak by warunki (efekty) oprocentowania pozostały równoważne dotychczasowym (klient nic nie zyskuje na takiej zmianie i nic nie traci). Idea takiej zmiany okresu kapitalizacji opiera się na równoważności kapitałów. Chcemy aby wartości przyszłe pewnego kapitału K₀ po takim samym czasie w obu przypadkach były równe.

Kapitalizacja złożona z dołu (zgodna)

Załóżmy, że kapitalizacja jest zgodna o okresie równym okresowi stopy procentowej r_w.

Efektywna stopa procentowa umożliwia wydłużenie dotychczasowego okresu kapitalizacji m -krotnie (z zachowaniem warunków oprocentowania równoważnym dotychczasowym).

r_ef = (1 + r_w)^m - 1

gdzie m = °^es stopy Okres stopy efektywnej wyznacza okres „nowej” kapitalizacji.

Równoważna stopa procentowa umożliwia skłócenie dotychczasowego okresu kapitalizacji m -krotnie (z zachowaniem warunków oprocentowania równoważnym dotychczasowym).

r_r = (1 + r_w)m - 1

gdzie m = ^{ok,es slopy hv}-. Okres stopy równoważnej wyznacza okres „nowej” kapitalizacji.

okres slopy r_r

Kapitalizacja złożona z góry (zgodna)

okres stopy r_er

Efektywna stopa procentowa:    r_ef = 1 — (1 — r_w) , m =--—

¹    okres stopy v_w

Równoważna stopa procentowa:    r_v = 1 — (1 — r_w)m,    m =    ',^w-

Kapitalizacja ciągła

r_ef = e^r - 1    r_ef- 1 — e~^r

Podane wzory umożliwiają zmianę kapitalizacji ciągłej na kapitalizację złożoną odpowiednio z dołu i góiy, o okresie kapitalizacji równym okresowi stopy procentowej r.

4