1002889902

Jeśli P=(x,y) to P'=(x',y') nazywamy obrazem przekształcenia L. Jeśli F należy do R² , to L(F) jest obrazem zbiorem F.

Przypomnienie

Dodawanie macierzy A = B + C, Ą^T =    + C^T

Mnożenie macierzy A = B * C, A^T = C^T * B^T I A^T = (B*C)^T = C^T * B^T Czasem będziemy zapisywać punkty jako wektor kolumn (lub wierszy):

P = (x,y), P= r

[y\

Translacja - przesuniecie o wektor, nazywamy takie przekształcenie płaszczyzny, gdzie każdemu punktowi P(x,y) przyporządkowany jest punkt P'(x^,,y') taki, ze x'= x + tx, y' = y + ty, gdzie tx, ty to pewne liczby rzeczwiste.

W zapisie macierzowym mamy:

„ tr , .    '    \x\ Ac

P' = P + T, gdzie T= , czyli    =    +

lOj    Uj L?J l^J

Skalowanie względem początku układu wspolzednych punktu [0,0] o skalach Sx,Sy. Skalowaniem nazywamy takie przekształcenie płaszczyzny, gdzie każdemu punktowi P(x,y) przyporządkowany jest punkt P'(x',y') taki, ze:

x' = x * Sx

y' = y * Sy, gdzie Sx, Sy naleza do R\0

Gdzie Sx,Sy sa wspolczynikami skalowania (skalami) z kierun osi odpowiednio OX, OY. Jeżeli Sx = Sy to skalowanie jest jednorodne.

Jeśli |5jc|^0 , |&t|< 1 < to mamy zmniejszenie w kierunku osi OX, natomiast jeśli |S.v|> 1 , to analogicznie zwiększenie w kierunku osi OX. Analogicznie do Sy.

Skalowanie w zapisie macierzowym:

			^0 1
P' =	s *	P, gdzie S jest macierzą skalowania: o— ’
		1°	SVJ
f X j	\\sx	CQ^K II O
\y'\	[°	s,\ [y] [y s,]

Przykład: Rozważamy	trójkąt o	wierzchołkach A=(l,	.2), B=(4,1), C=(4,4),
Wówczas mamy:
1/2 0	^1 44	[l/2 2 2l
o	[2 1 4]	[4 2 8 J'	otrzymaliśmy trójkąt o

Sx=l/2 Sy=2.

wierzchołkach

A'=(l/2,4) B'=(2,2) C'=(2,8)

Skalowanie względem innego punktu niz punkt [0,0].

1    Translacja do punktu [0,0].

2    Obrót wokol punktu tak jak powyżej.

3    Powrot poprzez odwrotność traslacji z punktu pierwszego.

x' = (x - x0) Sx + x0 y' - (y - yO) Sy + yO

Wykład 4 - Transformacje 2D ciąg dalszy

Przypomnienie

T(t_x,t ) - przesunięcie o wektor [tx,ty]