1673068238

FUNKCJE ANALITYCZNE

Wykład 1, 26.02.2007

1. Podstawowe własności liczb zespolonych

Liczbą zespoloną nazywamy parę liczb rzeczywistych, zbiór liczb zespolonych C to zatem dokładnie zbiór R¹. Element z = (x,y) E C zapisujemy w postaci x + iy. Na zbiorze C wprowadzamy mnożenie (zgodnie z regułą i¹ = —1):

(xi + iyi){x₂ + tjfc) = X\X2 ~ 2/12/2 + *(^22/1 + xiy₂).

Można łatwo pokazać | Ćwiczenie], że C z dodawaniem wektorowym w R¹ oraz tak wprowadzonym mnożeniem jest ciałem. Jeżeli z = x + iy, to x nazywamy częścią rzeczywistą, natomiast y częścią urojoną liczby 2; ozn. x = Re 2, y = Im 2. Każdą liczbę zespoloną 2 możemy rówież zapisać przy pomocy współrzędnych biegunowych:

1

= x + iy € C oczekujemy, że e¹ = e^xe^iy, czyli wystarczy określić e^lt dla t € R. Chcemy by funkcja ta spełniała

^e^ił = ie*, e° = 1, dt

a więc (oznaczając e^lt = A + iB) A' = —B, B² = A, .A(O) = 1, B(0) = 0. Jedynym rozwiązaniem tego układu są funkcje A = cos t, B = sin t. Funkcję wykładniczą definiujemy zatem następująco:

e¹ := e^x(cosy + żsiny), z = x + iy (= C.

Można łatwo pokazać | Ćwiczenie] jej następujące własności

e^z+w — e^ze^w, z,w eC,

4-e^tz = ze^u, te R, zeC. dt

Z faktu, że |e¹| = e^x oraz dzięki temu, że y jest argumentem liczby e¹ wynika, że funkcja wykładnicza proste pionowe x = xq odwzorowuje na okręgi o promieniu e^x°, natomiast proste poziome y = yo na półproste otwarte o początku w 0 o argumencie Vo-

2

z = r(cosip + isin<£>),

gdzie r — \z\ — y/x¹ + y¹, zaś ip jest kątem pomiędzy odcinkami [0,1] i [0, z] (gdy z j^0) - nazywamy go argumentem liczby 2. Zachodzi oczywiście nierówność trójkąta

\z + w\ < \z\ + |to|, z,w&C, można również łatwo pokazać | ćwiczenie |, że

\zw\ — \z\ |iw|,    2, w ę. C.

Chcemy teraz zdefiniować zespoloną funkcję wykładniczą exp : C —> C. Dla