2104510624

1. Przestrzenie wektorowe

TWIERDZENIE 1.18.

Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K, a W\ i IV₂ jej podprze-strzeniami. Poniższe warunki są równoważne:

a)    W₁C\W₂ = {0},

b)    dla każdego v £ W = W\ + W₂ istnieją jednoznacznie określone wektory w\ € W\, w₂ £ W₂ takie, że v = W\ + w₂,

c)    zachodzi wynikanie:

jeśli wi + w₂ = O gdzie w\ £ W\ i w₂ £ W₂, to w 1 = w₂ = 0.

Dowód:

a => b Niech w\ +w₂ = w[ +w'₂ . Stąd (wi —w[) = (w'₂ — w₂) = O, czyli w\ = w[ i w₂ = w₂, gdzie (w\ — w[) € W\ a (w₂) £ W₂. b => c Niech 0 + 0 = 0 = w\ +w₂ . Stąd w\ = O i w₂ = 0.

c => a Niech w € W\ fi W₂. Kładć w\ = w £ Wi i w₂ = —w £ W₂ dostajemy Wi +w₂ = O. Z jednoznaczności rozkładu wi = w₂ = 0, czyli w = 0.    ■

Jeżeli spełnione są warunki o których mówi twierdzenie, wprowadzamy oznaczenie W\ + W₂ = l+i 0 W₂ i mówimy, że mamy sumę prostą podprzestrzeni I+i i W₂. Na zakończenie tej części ważne twierdzenie.

TWIERDZENIE 1.19. dim(J+i + W₂) = dimWi + diml+₂ - dim(I+i H W₂)