2567802546

Twierdzenie 2.21 (29). Załóżmy, że funkcja f:T x E -> E oraz istnieje funkcja Melf(J) taka, że M(tj > O, teT oraz || f(t, x) || < M(t) dla prawie wszystkich teT i dla każdego xeE. Ponadto załóżmy, że spełnione są poniższe warunki:

(i)    /(£,•) jest słabo - słabo ciągowo ciągła dla każdego tej,

(ii)    dla każdej silnie absolutnie ciągłej funkcji x:J -* E, f (-,x(')) jest słabo ciągła,

(iii)    istnieje funkcja L:Tx[0, oo) taka, że dla każdej ciągłej funkcji u: [0, co) -> [0, co) odwzorowanie t *-> L(t,u(t)) jest ciągłe oraz L(t, 0) = 0, dla teT,

(iv)    C J₀¹... /₀^m_1 k(t_m, r)At_m ... At_x < r, dla wszystkich r > 0 oraz

(v)    Pif O x A)) ^ sup{L(t,/?(i4)): teł] dla zwartego podprzedziału 1 czT oraz dla każdego niepustego, ograniczonego zbioru A c E.

Wtedy istnieje przynajmniej jedno A-słabe rozwiązanie problemu (2.5) na przedziale /& c J.

W pracy (21) rozpatruję dynamiczne równanie różniczkowo-całkowe postaci (2.6)    x^A(t) = f(t,x(t),fgk(t,s,x(s))As), tel_a, aeR+,

*(0) =

gdzie f:I_a x E x E -» E, k: I_ax I_a x E -* E, x: l_a -* E , x^A oznacza pseudo A- pochodną funkcji x oraz całka jest rozumiana jako całka A - Henstocka-Kurzweila-Pettisa.

Równania różniczkowo - całkowe będące szczególnymi przypadkami równań różniczkowo -całkowych rozpatrywanych na skali czasowej (np. [54, 60-62, 112-113]) mają szerokie zastosowanie w wielu zagadnieniach naukowych, zaczynając od matematyki, fizyki, chemii aż po ekonomię i medycynę [45].

Uogólnienia w stosunku do wcześniej uzyskanych wyników dotyczących równań różniczkowo -całkowych (np. [112, 113]) uzyskanych w omawianej pracy, polegają na rozpatrzeniu szerszej klasy funkcji niż dotychczas rozpatrywane dzięki zastosowaniu własności nowej całki na skali czasowej typu Henstocka - Kurzweila - Pettisa. Oznaczać ją będę przez całkę A-HKP.

Pojęcie tej całki uogólnia pojęcie całki typu A-HK, które było wprowadzone przez A. Petersona i B. Thompsona w pracy [88] oraz całki typu Pettisa, która jest istotna w przypadku rozpatrywania słabej topologii w przestrzeniach Banacha.

Wprowadzenie całki typu A -HK pozwoliło rozpatrywać ogólniejsze niż dotychczas równania dynamiczne, w tym dynamiczne równania różniczkowo-całkowe. W pracy [88] pokazano, że istnieją funkcje wysoko oscylujące, które nie są całkowalne w sensie A-całek, ale są całkowalne w sensie A -HK. Dalszych uogólnień dokonał np. M. Cichoń w pracy [42] definiując całki typu A -HK, A -HL, A -HKP z funkcji o wartościach w przestrzeniach Banacha.

Z drugiej strony uogólniona została także dziedzina rozpatrywanych rozwiązań poprzez rozpatrzenie zagadnienia na skali czasowej.

18