2659241283

12

Twierdzenie 3.5 (Weierstrassa o osiąganiu kresów przez funkcję ciągła) Niech G będńe zwartym podzbiorem £^r. a /: G —* R będzie dowolną funkcją i

M°=ⁿ sup /(x) oraz m°= inf f(x).    (3.1)

xeG    *<=C

Jeżeli f jest ciągła, to istnieją punkty p, q € G takie, że /(p) = M i f(ą) = m.

Twierdzenie 3.6 (Cantora) Niech G będzie zwariym podzbiorem £’’, a f:G—>R^d będzie dowolnym odwzorowaniem. Jeżeli f jest ciągle, to f jest odwzorowaniem jednostajnie ciągłym.

Uwaga 3.4 Zmodyfikujemy obecnie definicję własności Darboux na na dowolną przestrzeń metryczną, a następnie dowiedziemy twierdzenia Darboui.

Definicja 3.2 Niech B będzie dowolnym niepustym podzbiorem zbioru G, f: G —> R będzie dowolną funkcją.

Mówimy, że funkcja f ma własność Darbowc na zbiorze B wtedy i tylko wtedy, gdy

Va,beBV_ceR (/(a) < c < /(b) V /(a) > c > /(b)) => 3_x6B/(x) = c.    (3.2)

Twierdzenie 3.7 (Darboux - o przyjmowaniu wartości pośrednich) Niech G będzie zbiorem spójnym w £^r, f: G —*

R dowolną funkcją.

Jeżeli f jest ciągła, to f posiada własność Darboux na G.

Twierdzenie 3.8 (o zachowaniu znaku) Niech G będzie otwartym zbiorem £^T, p dowolnym punktem z G, a f: G —> R dowolną funkcją.

Jeżeli /(p) jś 0 oraz f jest ciągła w punkcie p, to istnieje dodatnia liczba rzeczywista p taka, że B(p, p) C G oraz dla wszystkich punktów kuli B(p, p) funkcja f przyjmuje niezerowe wartości, które mają ten sam znak, co znak /(p).

Uwaga 3.5 Założenia ostatniego twierdzenia można osłabić - nie trzeba zakładać, że zbiór jest otwaiiy, ale wtedy teza jest prawdziwa dla punktów z części wspólnej kuli i zbioru A.

Uwaga 3.6 W przypadku funkcji o wartościach w R^d nie ma klasyfikacji punktów nieciągłości.

Uwaga 3.7 Twierdzenie o ciągłości funkcji odwrotnej (dziedzina przedział niezdegenerowny) wymaga dodatkowego założenia: można np. założyć, że funkcja, której odwrotna nas interesuje jest ciągła oraz że prowadzi ona ze zbioru otwartego położonego w przestrzeni d-ivymiarowej w przestrzeń tego samego wymiaru d (jest to twierdzenie Brouwera o niezmienniczości obszaru). W tej wersji twierdzenie to jest prawdziwe, ale jego dowód znacznie wykracza poza ramy tego wykładu. Innym założeniem gwarantującym ciągłość funkcji odwrotnej jest zwartość jej dziedziny, co było udowodnione na wykładzie z Analizy Matematycznej na I roku.

Odwzorowania liniowe z R^r w K^d i ich ciągłość.

Niech r i d będą liczbami naturalnymi.

Definicja 3.3 Odwzorowanie L: R^r —* R^d nazywamy liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych x,y z R^r oraz dowolnej liczby rzeczywistej a spełnione są warunki

L(x + y) = L(x) + L(y).    (3.3)

L(a ■ x) = a ■ L(x).    (3.4)

Uwaga 3.8 Zbiór wszystkich odwzorowań liniowych z R^r w R^d oznaczamy L(R^r,R^d).’ Jest to przestrzeń liniowa z działaniami określonymi następująco dla dowolnych x € R^r, a € R oraz L,Li, £2 € L(R^r,R^d):

(aL)(x) =^fa(Lx),

(L₁+£₂)(x)^^fL₁(x)+L₂(x) i elementem zerowym będącym przekształceniem zerowym.

Ponadto jest to przestrzeń unormowana, a nawet Banacha. Jednak o tych faktach powiemy na przyszłych wykładach.

¹W ogólnej teorii zakłada się, że ten zbiór składa się odwzorowali liniowych, które są ciągłe lub równoważnie ograniczone.