3148972991

1.3. Kołczany z translacją

Ustalmy liczbę naturalną k > 0 oraz lokalnie skończony kołczan Q = {Qo,Q\)- W zbiorze Z x Qq wprowadzamy relację równoważności ~ wzorem

(n, x) ~ (m, y) wtedy i tylko wtedy, gdy x = y i k \ m — n.

Podobnie definiujemy relację równoważności w zbiorze strzałek kołczanu ZQ. Otrzymany w ten sposób kołczan ilorazowy, wraz z translacją pochodzącą od r, oznaczać będziemy przez ZQJ(r^k). Niech A,*, będzie kołczanem o zbiorze wierzchołków N⁺ i strzałek z n do n + 1 dla każdego n € N⁺. Kołczan ZAoo/(r^fc) nazwiemy stabilną rurą rangi k. Stabilne rury rangi 1 nazywamy jednorodnymi. Zbiór wierzchołków stabilnej rury postaci [(n, r)]^, n £ Z, nazywać będziemy poziomem r, r > 0.

Niech T = (r₀,T_ltT) będzie kołczanem z translacją. Drogę

x₀ —> xi —* • • • —* Xi

nazwiemy sekcyjną, jeśli Xi ^ txi+2 dla i = 0,..., l — 2. Podobnie definiujemy nieskończone drogi sekcyjne. Niech x będzie wierzchołkiem kołczanu T. Definiujemy pełne podkołczany x~* i x*~ (bez translacji) kołczanu T o zbiorach wierzchołków danych wzorami

:= {y G To | istnieje droga z x do y

i każda droga z x do y jest sekcyjna},

(a^jo := {y £ To | istnieje droga z y do x

i każda droga z y do x jest sekcyjna}.

W pewnych przypadkach kołczany x~* i x*~ będą stanowić przykłady przekrojów. Załóżmy, że kołczan T jest spójny. Spójny, wypukły, skierowany i pełny podkołczan (bez translacji) E kołczanu T będziemy nazywać przekrojem wtedy i tylko wtedy, gdy część wspólna jego zbioru wierzchołków z każdą r-orbitą w T jest jednoelementowa.

Niech T = (r₀,ri,r) będzie kołczanem z translacją. Funkcję / : To —> Z nazywamy addytywną na T, jeśli

f(x) + f(rx) = ]T /(s(a))

a€ri,e(a)=x

lub równoważnie

f(x) + f(rx) =    /(^e(^a))

aeri, s(a)=rx

16