ÿþR o z d z i a B I V P o s t a t r y g o n o m e t r y c z n a
k w a t e r n i o n ó w
§ 1 . C z [ r z e c z y w i s t a i c z [ u r o j o n a k w a t e r n i o n u
W o s t a t n i m r o z d z i a l e t e j p r a c y , k w a t e r n i o n q = a + b i + c j + d k
b d z i e m y p r z e d s t a w i a w p o s t a c i s u m y q = ±( q ) + ²( q ) , g d z i e ±( q ) = a ,
²( q ) = b i + c j + d k o r a z ±( q ) , ²( q ) " H .
D e f i n i c j a 1 7 . [ 8 ]
W y r a |e n i e R e q = ±( q ) b d z i e m y n a z y w a s k a l a r e m l u b c z [c i
r z e c z y w i s t , a w y r a |e n i e I m q = ²( q ) w e k t o r e m l u b c z [c i u r o j o n
k w a t e r n i o n u q " H .
W n i o s e k 8 1 . [ 8 ]
D l a k a |d e g o k w a t e r n i o n u q = a + b i + c j + d k m a m y R e q d" q ,
I m q d" q .
D o w ó d .
2
R e q = a d" a d" a 2 + b 2 + c 2 + d = q ,
2 2
I m q = b 2 + c 2 + d d" a 2 + b 2 + c 2 + d = q
[ 8 ]
T w i e r d z e n i e 8 2 .
J e |e l i q 1 = a + b i + c j + d k , q 2 = e + f i + g j + h k , t o
R e ( q 1 + q 2 ) = R e q 1 + R e q 2 , I m ( q 1 + q 2 ) = I m q 1 + I m q 2 .
D o w ó d .
Z g o d n i e z z a Bo |e n i e m t w i e r d z e n i a o t r z y m u j e m y
h t t p : / / c h o m i k u j . p l / a l i g a t o r r o 4 4
R e ( q 1 + q 2 ) = R e ( a + b i + c j + d k + e + f i + g j + h k ) =
= R e ( ( a + e ) + ( b i + c j + d k + f i + g j + h k ) ) = a + e = R e q 1 + R e q 2 ;
I m ( q 1 + q 2 ) = I m ( a + b i + c j + d k + e + f i + g j + h k ) =
= I m ( ( a + e ) + ( b i + c j + d k + f i + g j + h k ) ) = b i + c j + d k + f i + g j + h k =
= ( b i + c j + d k ) + ( f i + g j + h k ) = I m q 1 + I m q 2 .
M o |e m y t e r a z u d o w o d n i t w i e r d z e n i e 5 4 w i n n y s p o s ó b .
T w i e r d z e n i e 8 3 .
D l a d o w o l n y c h k w a t e r n i o n ó w q 1 , q 2 m a m y q 1 + q 2 e" q 1 + q 2 .
D o w ó d .
M o |e m y z a Bo |y , |e q 1 + q 2 `" 0 .
q 1 + q 2 q 1 q 2
W t e d y 1 = = + , w i c z g o d n i e z t w i e r d z e n i e m 8 2
q 1 + q 2 q 1 + q 2 q 1 + q 2
ëø öø ëø öø ëø öø
q 1 q 2 q 1 q 2
ìø = R e ìø + R e ìø
1 = R e ìø + ÷ø ìø ÷ø ìø ÷ø
q 1 + q 2 q 1 + q 2 ÷ø íø q 1 + q 2 ÷ø íø q 1 + q 2 ÷ø
íø øø øø øø
ëø öø ëø öø
q 1 q 2
ìø + R e ìø
i n a m o c y w n i o s k u 8 1 R e ìø ÷ø ìø ÷ø d"
q 1 + q 2 ÷ø íø q 1 + q 2 ÷ø
íø øø øø
q 1 q 2
q 1 q 2
d" + = + ,
q 1 + q 2 q 1 + q 2 q 1 + q 2 q 1 + q 2
q 1 q 2
1 d" + ,
q 1 + q 2 q 1 + q 2
q 1 + q 2 d" q 1 + q 2 .
h t t p : / / c h o m i k u j . p l / a l i g a t o r r o 4 5
§ 2 . C z y s t e k w a t e r n i o n y , w e r s o r i o [ k w a t e r n i o n u
D e f i n i c j a 1 8 . [ 8 ]
K w a t e r n i o n y , k t ó r y c h s k a l a r j e s t z e r e m , n a z y w a m y c z y s t y m i
k w a t e r n i o n a m i .
D e f i n i c j a 1 9 . [ 8 ]
q
W e r s o r e m k w a t e r n i o n u q `" 0 n a z y w a m y k w a t e r n i o n U ( q ) = .
q
D e f i n i c j a 2 0 .
D l a d o w o l n e g o k w a t e r n i o n u q = a + b i + c j + d k , k w a t e r n i o n
²( q ) b i + c j + d k
¹ = = n a z y w a m y o s i k w a t e r n i o n u q d l a ²( q ) `" 0 .
2
²( q )
b 2 + c 2 + d
U w a g a .
W p r z y p a d k u , g d y q " R p r z y j m u j e m y , |e ¹ = i .
[ 8 ]
T w i e r d z e n i e 8 4 .
D l a d o w o l n e g o k w a t e r n i o n u q , ¹2 = - 1 .
D o w ó d .
N i e c h q = a + b i + c j + d k .
D l a q " R , ¹2 = i 2 = - 1 , w p r z e c i w n y m p r z y p a d k u
2
ëø öø
b i + c j + d k ( b i + c j + d k ) ( b i + c j + d k )
ìø ÷ø
¹2 = = =
2
ìø ÷ø
2
b 2 + c 2 + d
b 2 + c 2 + d
íø øø
2
- ( b 2 + c 2 + d ) = - 1 .
=
2
b 2 + c 2 + d
h t t p : / / c h o m i k u j . p l / a l i g a t o r r o 4 6
a
M o |e m y z a u w a |y , |e d l a 0 `" q " H m a m y d"1 , a = R e q . I s t n i e j e
q
w i c d o k Ba d n i e j e d e n k t Õ " 0 , À , t a k i |e
a
( X I ) = c o s Õ .
q
D e f i n i c j a 2 1 . [ 8 ]
K t Õ , w o z n a c z e n i u ( X I ) , n a z y w a m y a r g u m e n t e m k w a t e r n i o n u q .
§ 3 . W z o r y p o s t a c i t r y g o n o m e t r y c z n e j k w a t e r n i o n u
D l a Õ " 0 , À , s i n Õ e" 0 o r a z q = a + b i + c j + d k w y n i k a j p o n i |s z e
r ó w n o [c i :
2 2 2
b 2 + c 2 + d a 2 + b 2 + c 2 + d - a 2 a 2 + b 2 + c 2 + d - a 2
= = =
2
2
q
a 2 + b 2 + c 2 + d
a 2 + b 2 + c 2 + d
2
2
ëø öø
ëø öø
a 2 + b 2 + c 2 + d a 2 a 2 a
ìø ÷ø
ìø ÷ø
= - = 1 - = 1 - =
2 2 2
ìø ÷ø
ìø ÷ø
q
a 2 + b 2 + c 2 + d a 2 + b 2 + c 2 + d
q
íø øø
íø øø
= 1 - c o s 2 Õ = s i n Õ ,
2
( X I I ) ²( q ) = b i + c j + d k = b 2 + c 2 + d ¹ = q ¹ s i n Õ ,
( X I I I ) ±( q ) = a = q c o s Õ .
O s t a t e c z n i e o t r z y m a m y r ó w n a n i e
( X I V ) q = ±( q ) + ²( q ) = q c o s Õ + q ¹ s i n Õ = q ( c o s Õ + ¹ s i n Õ) .
D e f i n i c j a 2 2 . [ 8 ]
W z ó r ( X I V ) n a z y w a m y p o s t a c i t r y g o n o m e t r y c z n k w a t e r n i o n u q .
h t t p : / / c h o m i k u j . p l / a l i g a t o r r o 4 7
§ 4 . N - t a p o t g a k w a t e r n i o n u
B d z i e m y k o r z y s t a z n a s t p u j c y c h w z o r ó w :
( X V ) s i n ( n + 1 ) Õ = s i n ( n Õ + Õ) = c o s n Õ s i n Õ + s i n n Õ c o s Õ ;
( X V I ) c o s ( n + 1 ) Õ = c o s ( n Õ + Õ) = c o s n Õ c o s Õ - s i n n Õ s i n Õ .
P o d o b n i e , j a k d l a l i c z b z e s p o l o n y c h p r a w d z i w e s w z o r y M o i v r e a ,
t a k d l a k w a t e r n i o n ó w p r a w d z i w e j e s t
[ 8 ]
T w i e r d z e n i e 8 5 .
n
J e [l i q = q ( c o s Õ + ¹ s i n Õ) o r a z n " N , t o q n = q ( c o s n Õ + ¹ s i n n Õ) .
D o w ó d .
0
D l a n = 0 m a m y q 0 = 1 , q ( c o s 0 Õ + ¹ s i n 0 Õ) = 1 o ( 1 + 0 ) = 1 .
N a t o m i a s t g d y n = 1 , t o w z ó r j e s t p r a w d z i w y z g o d n i e z ( X I V ) .
Z a Bó |m y t e r a z i n d u k c y j n i e , |e w z ó r j e s t p r a w d z i w y d l a p e w n e g o n .
S p r a w d z i m y , c z y t e z a t w i e r d z e n i a , j e s t p r a w d z i w a d l a n + 1 .
K o r z y s t a j c z w z o r ó w ( X V ) i ( X V I ) , o t r z y m u j e m y
n
q n + 1 = q n q = q ( c o s n Õ + ¹ s i n n Õ) q ( c o s Õ + ¹ s i n Õ) =
n + 1
= q ( c o s n Õ c o s Õ + ¹ c o s n Õ s i n Õ + ¹ s i n n Õ c o s Õ - s i n n Õ s i n Õ) =
n + 1
= q ( ( c o s n Õ c o s Õ - s i n n Õ s i n Õ) + ¹( c o s n Õ s i n Õ + s i n n Õ c o s Õ) ) =
n + 1
= q ( c o s ( n + 1 ) Õ + ¹ s i n ( n + 1 ) Õ) .
N a m o c y z a s a d y i n d u k c j i z u p e Bn e j w n i o s k u j e m y , |e w z ó r z a c h o d z i d l a
d o w o l n e g o n .
h t t p : / / c h o m i k u j . p l / a l i g a t o r r o 4 8
§ 5 . N o r m a k w a t e r n i o n u
D e f i n i c j a 2 3 . [ 8 ]
N o r m k w a t e r n i o n u q n a z y w a m y w y r a |e n i e p o s t a c i N ( q ) = q q .
[ 8 ]
T w i e r d z e n i e 8 6 .
J e |e l i q , q 1 " H , t o p r a w d z i w e s n a s t p u j c e w Ba s n o [c i :
1 . N ( q q 1 ) = N ( q ) N ( q 1 ) ;
2 . N ( q ) = N ( q ) = q q ;
2
3 . j e [l i q = a + b i + c j + d k , t o N ( q ) = a 2 + b 2 + c 2 + d " R ;
4 . N ( q ) = 0 w t e d y i t y l k o w t e d y , g d y q = 0 .
D o w ó d .
2
Z a u w a |m y , |e z g o d n i e z t w i e r d z e n i e m 5 7 N ( q ) = q q = q q = q o r a z
n a m o c y t w i e r d z e D 5 0 i 5 2 o t r z y m u j e m y :
2 2 2
1 . N ( q q 1 ) = q q 1 = q q 1 = N ( q ) N ( q 1 ) ;
2 2
2 . N ( q ) = q = q q = q = N ( q ) ;
2
2
3 . n i e c h q = a + b i + c j + d k , w t e d y N ( q ) = q = a 2 + b 2 + c 2 + d ;
4 . n a m o c y t w i e r d z e n i a 4 5 t y l k o , g d y 0 = q " H , 0 = q q = N ( q ) .
[ 3 ]
T w i e r d z e n i e 8 7 .
1
D l a d o w o l n e g o q " H p r a w d z i w e j e s t r ó w n a n i e q - 1 =
N ( q ) q .
D o w ó d .
1 1
W i e m y , |e N ( q ) = q q . S t d o t r z y m u j e m y q = ( q q ) - 1 q .
N ( q ) q = q q
h t t p : / / c h o m i k u j . p l / a l i g a t o r r o 4 9
Z g o d n i e z p r a w e m Bc z n o [c i m n o |e n i a i z a s a d a m i d z i e l e n i a
l e w o s t r o n n e g o d l a k w a t e r n i o n ó w ( t w i e r d z e n i e 3 5 i d e f i n i c j a 1 3 ) ,
o s t a t e c z n i e m o |e m y z a p i s a
- 1
( q q ) q = q - 1 ( q ) - 1 q = q - 1 ( ( q ) - 1 q ) = q - 1 o 1 = q - 1 .
h t t p : / / c h o m i k u j . p l / a l i g a t o r r o 5 0
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