ÿþT r a n s f o r m a c j a F o u r i e r a w O p t y c e i A k u s t y c e
M i e c z y s Ba w P l u t a
1 6 g r u d n i a 2 0 0 7
2
O z n a c z e n i a
" " - k w a n t y f i k a t o r o g ó l n y d l a k a |d e g o ( f o r A l l )
" " - k w a n t y f i k a t o r i s t n i e j e ( E x i s t )
" R - z b i ó r l i c z b r z e c z y w i s t y c h
" C - z b i ó r l i c z b z e s p o l o n y c h
"
" i - j e d n o s t k a u r o j o n a i = - 1
W e k t o r y o z n a c z a b d z i e m y n a r y s u n k a c h ( i n a t a b l i c y w t r a k c i e z a j )
s t r z a Bk l u b k r e s k u g ó r y , w d r u k u b d w y r ó |n i a n e g r u b , p r o s t c z c i o n k
x , k , V .
S p i s t r e [c i
1 P o d s t a w y m a t e m a t y c z n e 5
1 . 1 S z e r e g F o u r i e r a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 . 1 . 1 F u n k c j a p a r z y s t a , n i e p a r z y s t a , o k r e s o w a . . . . . . . . . . 5
1 . 1 . 2 T r y g o n o m e t r y c z n y s z e r e g F o u r i e r a . . . . . . . . . . . . . 6
1 . 1 . 3 F u n k c j e o r t o g o n a l n e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1 . 2 L i c z b y z e s p o l o n e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0
1 . 2 . 1 F u n k c j e z e s p o l o n e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2
1 . 2 . 2 F u n k c j e a n a l i t y c z n e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3
1 . 2 . 3 C a Bk a p o k o n t u r z e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4
1 . 2 . 4 Z e s p o l o n y s z e r e g F o u r i e r a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5
1 . 2 . 5 W Ba [c i w o [c i i t w i e r d z e n i a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6
1 . 2 . 6 I l o c z y n s k a l a r n y i n o r m a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6
1 . 3 S p l o t , k o r e l a c j a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7
1 . 3 . 1 S p l o t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7
1 . 3 . 2 K o r e l a c j a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9
1 . 3 . 3 K o r e l a c j a n o r m o w a n a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0
1 . 4 T r a n s f o r m a c j a F o u r i e r a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1
1 . 4 . 1 T r a n s f o r m a c j a F o u r i e r a - B e s s e l a . . . . . . . . . . . . . . . 2 4
1 . 4 . 2 K i l k a u |y t e c z n y c h f u n k c j i . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6
1 . 4 . 3 T w i e r d z e n i a F o u r i e r o w s k i e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1
1 . 5 P r ó b k o w a n i e i f u n k c j e d y s k r e t n e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5
1 . 6 K i l k a p r z y k Ba d ó w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0
1 . 6 . 1 D o [w i a d c z e n i e Y o u n g a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0
1 . 7 D y f r a k c j a n a s z c z e l i n i e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2
1 . 8 S i a t k a d y f r a k c y j n a i s o c z e w k a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4
1 . 9 T r a n s m i t a n c j a t ( x , y ) p r z e d s o c z e w k . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6
1 . 1 0 U k Ba d o p t y c z n y 4 f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6
1 . 1 1 D y f r a k c j a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 9
1 . 1 2 S p e k t r u m k t o w e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1
1 . 1 3 S o c z e w k a j a k o e l e m e n t r e a l i z u j c y p r z e k s z t a Bc e n i e F o u r i e r a . . . 5 3
1 . 1 3 . 1 T r a n s m i t a n c j a s o c z e w k i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3
1 . 1 3 . 2 P o l e o p t y c z n e w p Ba s z c z y zn i e o g n i s k o w e j s o c z e w k i . . . . 5 4
3
4 S P I S T R E ZC I
2 K o h e r e n c j a [w i a t Ba - w y b ó r z a g a d n i e D 5 7
2 . 1 T w i e r d z e n i e V a n C i t t e r t a - Z e r n i k e g o . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7
3 D o d a t k i 5 9
3 . 0 . 1 F u n k c j e B e s s e l a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 9
3 . 0 . 2 S p e k t r u m k t o w e f a l i s f e r y c z n e j . . . . . . . . . . . . . . . 5 9
3 . 1 F u n k c j e B e s s e l a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0
3 . 2 W Ba [c i w o [c i f u n k c j i p r o p a g a c j i F r e s n e l a h ( x , y ; d ) . . . . . . . . . 6 1
3 . 2 . 1 C a Bk a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1
3 . 2 . 2 T r a n s f o r m a t a F o u r i e r a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1
3 . 2 . 3 S p l o t d w u f u n k c j i t y p u h . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2
3 . 3 D y f r a k c j a B r a g g a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3
3 . 3 . 1 I r y d e s c e n c j a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4
R o z d z i a B 1
P o d s t a w y m a t e m a t y c z n e
W p i e r w s z e j c z [c i t e g o r o z d z i a Bu d o k o n a m y p r z e g l d u z n a n y c h w Ba [c i w o [c i l i c z b
i f u n k c j i z e s p o l o n y c h , p r z y w o Ba m y d e f i n i c j e o p e r a c j i m a t e m a t y c z n y c h k t ó r e b d
p r z y d a t n e w d a l s z e j c z [c i . Z a d a n i a s Bu | b u d o w a n i u p o c z u c i a s p ó j n o [c i o m a w -
i a n y c h z a g a d n i e D z p o d s t a w o w w i e d z , a j e d n o c z e [n i e d a j c z y t e l n i k o w i m o |l i -
w o [ w y c h w y c e n i a e w . b Bd ó w , k t ó r e p e w n i e p o j a w i a j w n i n i e j s z e j - r o b o c z e j
w e r s j i s k r y p t u . W d e f i n i c j a c h i w z o r a c h d o t y c z c y c h t r a n s f o r m a c j i F o u r i e r a
c e l o w o w y s t p u j r ó |n e p a r y o z n a c z e D t ”! É, x ”! u , x ”! k o r a z p r z e p l a -
t a n e s z a g a d n i e n i a j e d n o i d w u w y m i a r o w e . M a t o n a c e l u o s w o j e n i e c z y t e l n i k a
z z a s t o s o w a n i a m i w o d n i e s i e n i u d o r ó |n y c h p r z e s t r z e n i i z m i e n n y c h f i z y c z n y c h .
N a w i z u j e m y w t e n s p o s ó b t a k |e d o r ó |n y c h , n i e m n i e j r ó w n o w a |n y c h , f o r m
d e f i n i c j i t r a n s f o r m a c j i F o u r i e r a .
1 . 1 S z e r e g F o u r i e r a
1 . 1 . 1 F u n k c j a p a r z y s t a , n i e p a r z y s t a , o k r e s o w a
W i e l o k r o t n i e o d w o By w a s i b d z i e m y d o p o j , k t ó r e p r z y p o m i n a m y p o n i |e j .
F u n k c j e z m i e n n e j r z e c z y w i s t e j t m o g b y p a r z y s t e
"t " R ; f ( - t ) = f ( t ) ,
n i e p a r z y s t e
"t " R ; f ( - t ) = - f ( t )
l u b b y s u m d w u p o w y |s z y c h p r z y p a d k ó w . Z d o w o l n e j f u n k c j i f ( t ) m o |n a
w y z n a c z y j e j c z [c i f p a r z y s t a i f n i e p a r z y s t a z a p o m o c n a s t p u j c y c h d z i a Ba D
f p a r z y s t a ( t ) = [ f ( t ) + f ( - t ) ] / 2 ,
f n i e p a r z y s t a ( t ) = [ f ( t ) - f ( - t ) ] / 2
. J a k Ba t w o s p r a w d z i f p a r z y s t a ( t ) + f n i e p a r z y s t a ( t ) = f ( t ) .
5
6 R O Z D Z I A A 1 . P O D S T A W Y M A T E M A T Y C Z N E
F u n k c j a o k r e [l a n a j e s t j a k o o k r e s o w a , j e |e l i i s t n i e j e w a r t o [ T , z w a n a o k r e -
s e m , t a k a |e
"T " R , "t " R ; f ( t + T ) = f ( t ) .
1 . 1 . 2 T r y g o n o m e t r y c z n y s z e r e g F o u r i e r a
S z e r e g F o u r i e r a j e s t s z e r e g i e m f u n k c y j n y m o k r e [l a n y m d l a r z e c z y w i s t e j f u n k c j i
o k r e s o w e j , o o k r e s i e T
"
f ( t ) = ( A k c o s Ék t + B k s i n Ék t ) , ( 1 . 1 )
k = 0
2 Àk
g d z i e Ék = . C z s t o [c i k o Bo w e t w o r z p o s t p a r y t m e t y c z n y
T
2 À 4 À 6 À
É = 0 , , ,
T T T
. T a k o k r e [l o n y s z e r e g t o t r y g o n o m e t r y c z n y s z e r e g F o u r i e r a . W s p ó Bc z y n n i k i
s z e r e g u F o u r i e r a A k i B k w y z n a c z a n e s n a s t p u j c o
- T / 2
1
A 0 = f ( t ) d t ,
T
T / 2
- T / 2
2
A k = f ( t ) c o s Ék t d t d l a k = 0 , ( 1 . 2 )
T
T / 2
- T / 2
2
B k = f ( t ) s i n Ék t d t .
T
T / 2
W s p ó Bc z y n n i k A 0 r ó w n y j e s t [r e d n i e j w a r t o [c i f u n k c j i .
M o |n a z a s t p i w p o w y |s z y c h w z o r a c h p r z e d z i a B c a Bk o w a n i a ( - T / 2 , T / 2 )
p r z e d z i a Be m ( t 0 , t 0 + T ) , g d z i e t 0 - d o w o l n a w a r t o [ t 0 " R . Z m i a n a g r a n i c
c a Bk o w a n i a n i e w p By w a n a w a r t o [ w s p ó Bc z y n n i k ó w F o u r i e r o w s k i c h .
P r z y k Ba d ( t r y w i a l n y ) : F u n k c j a S t a Ba
f ( t ) = 1
W s p ó Bc z y n n i k i s z e r e g u m a j w a r t o [c i
A 0 = 1
A k = 0 d l a k = 0
B k = 0 d l a w s z y s t k i c h k
1 . 1 . S Z E R E G F O U R I E R A 7
U z a s a d n i e n i e
P o k a |e m y s p o s ó b s p r a w d z e n i a p o p r a w n o [c i w s k a z a n y c h w z o r ó w n a w s p ó Bc z y n -
n i k i s z e r e g u t r y g o n o m e t r y c z n e g o . P o m n ó |m y o b u s t r o n n i e w z ó r 1 . 1 f u n k c j i f ( t )
o o k r e s i e 2 À p r z e z c o s m t ; m > 0 i z a p i s z m y c a Bk
"
À À À
f ( t ) c o s m t d t = A n c o s n t c o s m t d t + B n s i n n t c o s m t d t ,
- À - À - À
n = 0
( 1 . 3 )
F u n k c j e t y p u c o s n x / i s i n n x / d l a n = 0 , 1 , 2 . . . t w o r z z b i ó r f u n k c j i o r -
t o g o n a l n y c h ( p a t r z w i c z e n i e p o n i |e j ) . O r t o g o n a l n o [ o z n a c z a , |e
ñø
ôø
À d l a m = n > 0 ,
À òø
c o s n t c o s m t d t = 2 À d l a m = n = 0 ,
ôø
- À óø
0 d l a m = n .
A n a l o g i c z n i e d l a k o m b i n a c j i f u n k c j i t y p u s i n u s . C a Bk a t y p u
À
c o s n t s i n m t d t = 0
- À
d l a d o w o l n y c h k o m b i n a c j i n i m . K o r z y s t a j c z t a k o k r e [l o n e j o r t o g o n a l n o [c i p o
p r a w e j s t r o n i e w z o r u 1 . 3 p o z o s t a j e j e d y n i e w y r a z d l a o k r e [l o n y p r z e z w a r u n e k
n = m . O t r z y m u j e m y w i e c
À
f ( t ) c o s m t d t = A m À. ( 1 . 4 )
- À
O t r z y m u j e m y w z ó r n a a m p l i t u d s k Ba d o w e j c o s m t :
À
1
A m = f ( t ) c o s m t d t .
À
- À
A n a l o g i c z n i e , m n o |c 1 . 3 p r z e z s i n m t u z y s k a m y w y r a |e n i e
À
1
B m = f ( t ) s i n m t d t ,
À
- À
a m n o |c p r z e z j e d n o [ m a m y
À
1
A 0 = f ( t ) d t .
2 À
- À
O r t o g o n a l n o [ z b i o r u f u n k c j i s i n m t , c o s m t j e s t j a k w i d a p o d s t a w o w y m z a Bo |e -
n i e m u m o |l i w i a j c y m p o p r a w n o [ d e f i n i c j i s z e r e g u F o u r i e r a i w y z n a c z a n i a j e g o
"
w s p ó Bc z y n n i k ó w . P o p o d z i e l e n i u f u n k c j i z o k r e [l o n e g o p o w y |e j z b i o r u p r z e z À,
z b i ó r t e n s t a j e s i z b i o r e m f u n k c j i o r t o n o r m a l n y c h - c a Bk i z i l o c z y n ó w f u n k c j i
z t e g o z b i o r u p r z y j m u j w a r t o [c i 0 - d l a f u n k c j i r ó |n y c h , a 1 g d y p o d c a Bk
w y s t p u j e i l o c z y n f u n k c j i p r z e z s i e b i e s a m .
8 R O Z D Z I A A 1 . P O D S T A W Y M A T E M A T Y C Z N E
w i c z e n i e :
W y k a |, |e z b i ó r f u n k c j i c o s n x , s i n n x d l a n = 0 , 1 , 2 . . . s p e Bn i a o k r e [l o n e p o w y |e j
w a r u n k i o r t o g o n a l n o [c i n a p r z e d z i a l e - À x À. W s k a z ó w k a : w c a Bk a c h
i z a s t p i l o c z y n y f u n k c j i t r y g o n o m e t r y c z n y c h o d p o w i e d n i m i s u m a m i , s t o s u j c
z n a n e t o |s a m o [c i : n p . 2 c o s ± c o s ² a" c o s ( ± + ²) + c o s ( ± - ²) i t p . .
P r z y k Ba d : F u n k c j a T r ó j k t n a
2 t
1 + d l a - T / 2 t 0
T
f ( t ) = ( 1 . 5 )
2 t
1 - d l a - 0 t T / 2
T
F u n k c j a j e s t p a r z y s t a , w i c w s p ó Bc z y n n i k i B k = 0 d l a w s z y s t k i c h k .
W s p ó Bc z y n n i k A 0 = 1 / 2 - w a r t o [ [r e d n i a . W y z n a c z m y A k d l a k = 0 c a Bk u -
j c p r z e d z i a Ba m i
0 + T / 2
2 2 t 2 Àk t 2 t 2 Àk t
A k = 1 + c o s d t + 1 - c o s d t
T T T T T
- T / 2 0
0 + T / 2
2 2 Àk t 2 2 Àk t
= c o s d t + c o s d t
T T T T
- T / 2 0
( 1 . 6 )
= 0
0 + T / 2
4 2 Àk t 4 2 Àk t
+ t c o s d t - t c o s d t
2 2
T T T T
- T / 2 0
+ T / 2
8 2 Àk t
= - t c o s d t .
2
T T
0
x
S t o s u j c c a Bk o w a n i e p r z e z c z [c i ( d o s p r a w d z e n i a ) x c o s a x d x = s i n a x +
a
1
c o s a x u z y s k u j e m y o s t a t e c z n i e
a 2
2 ( 1 - c o s Àk )
A k = ( k > 0 ) ,
À2 k 2 ( 1 . 7 )
B k = 0 .
W s p ó Bc z y n n i k i s z e r e g u F o u r i e r a p r z y j m u j n a s t p u j c e w a r t o [c i
ñø
1
ôø d l a k = 0
òø
2
4
A k = d l a k n i e p a r z y s t e g o ( 1 . 8 )
À2 k 2
ôø
óø
0 d l a k p a r z y s t e g o
S t o s u j c p o w y |s z e w s p ó Bc z y n n i k i , u z y s k u j e m y s z e r e g F o u r i e r a
1 4 1 1
f ( t ) = + c o s Ét + c o s 3 Ét + c o s 5 Ét + . . . . ( 1 . 9 )
2 À2 9 2 5
1 . 1 . S Z E R E G F O U R I E R A 9
w i c z e n i e Z i l u s t r u j p r z y k Ba d f u n k c j i t r ó j k t n e j g r a f i c z n i e :
" p r z e d s t a w n a w y k r e s i e w a r t o [c i w s p ó Bc z y n n i k ó w s z e r e g u d l a k o l e j n y c h
c z s t o [c i k o Bo w y c h ,
" p r z e d s t a w k o l e j n e s k Ba d o w e h a r m o n i c z n e ( z u w z g l d n i e n i e m i c h a m p l i t u d ) ,
" p r z e d s t a w k i l k a p i e r w s z y c h s u m c z s t k o w y c h s z e r e g u ( s u p e r p o z y c j e s k Ba d -
o w y c h h a r m o n i c z n y c h a n a l o g i c z n e d o p r z e d s t a w i o n y c h n a r y s . 1 . 1 . )
P r o p o z y c j a : W y k o n a j r y s u n k i s t o s u j c w y b r a n e [r o d o w i s k o o b l i c z e n i o w e -
M a t h C a d , M a t l a b , O c t a v e . . . .
Z a p r e z e n t u j k o d p r o w a d z c y d o u z y s k a n y c h w y n i k ó w .
R y s u n e k 1 . 1 : P r z y k Ba d y s u m c z s t k o w y c h s z e r e g u F o u r i e r a d l a f u n k c j i p r o s -
t o k t n e j , p i Bo k s z t a Bt n e j , t r ó j k t n e j i z Bo |o n e j z p ó Bo k r g ó w . U w a g a : n a r y -
s u n k a c h p r e z e n t u j e m y p o j e d y n c z y o k r e s k a |d e j z f u n k c j i i o d p o w i e d n i c h
s u m c z s t k o w y c h , a w w y o b r a zn i p o w i n n i [m y w y o b r a z i s o b i e i c h o k r e s o w e
p r z e d Bu |e n i e .
1 . 1 . 3 F u n k c j e o r t o g o n a l n e
P a t r z c n a r o z p i s a n i e f u n k c j i f ( t ) w s z e r e g F o u r i e r a m o |e m y s i z a s t a n a w i a
d l a c z e g o w y s t p u j w n i m w Ba [n i e f u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e i c z y m o |l i w e
b y Bo z a s t p i e n i e i c h j a k i m i [ i n n y m i . G d y b y [m y c h c i e l i r o z p i s a w s z e r e g f u n k c j e
o k r e [l o n e n a s k o Dc z o n y m p r z e d z i a l e , t o i s t n i e j e w i e l e i n n y c h m o |l i w o [c i . S t o
n p . s z e r e g i z Bo |o n e z w i e l o m i a n ó w L e g e n d r e a , C z e b y s z e w a , L a g u e r r e a , J a k o -
b i e g o , f u n k c j e B e s s e l a i i n n e . ( J e s z c z e w i c e j m o |l i w o [c i p o j a w i a s i d l a f u n k c j i
1 0 R O Z D Z I A A 1 . P O D S T A W Y M A T E M A T Y C Z N E
o k r e [l o n y c h n a z b i o r a c h d w u i w i c e j w y m i a r o w y c h a l e o t y m w i n n y m m i e j s c u )
R o z w a |m y p r z y p a d e k f u n k c j i f ( x ) o k r e [l o n e j n a s k o Dc z o n y m p r z e d z i a l e a
x b . P r z y j m i j m y , |e f u n k c j a t a m o |e b y z a p i s a n a w t y m p r z e d z i a l e w p o s t a c i
s z e r e g u f u n k c y j n e g o :
"
f ( x ) = c n Æn ( x ) . ( 1 . 1 0 )
n = 1
P o m n o |y m y o b i e s t r o n y r ó w n a n i a p r z e z j e d e n z e l e m e n t ó w c i g u f u n k c y j n e g o
i z a p i s z e m y c a Bk
"
b b
f ( x ) Æm ( x ) d x = c n Æn ( x ) Æm ( x ) d x . ( 1 . 1 1 )
a a
n = 1
P r z y j m i j m y z a Bo |e n i e o r t o n o r m a l n o [c i e l e m e n t ó w z b i o r u { Æn ( x ) } n a o d -
c i n k u ( a , b ) t j .
b
1 d l a n = m ,
Æm ( x ) Æn ( x ) d x = ( 1 . 1 2 )
0 d l a n = m .
a
Z a u w a |m y , |e f u n k c y j n y c i g o r t o g o n a l n y z a m i e n i m o |n a w c i g o r t o n o r m a l n y
p o p r z e z p o m n o |e n i e j e g o w y r a z ó w p r z e z o d p o w i e d n i e s t a Be n o r m u j c e . S t o s u j c
p o w y |s z e z a Bo |e n i e , u z y s k u j e m y z p o p r a w e j s t r o n i e 1 . 1 1 t y l k o j e d e n w y r a z
b
f ( x ) Æm ( x ) d x = c m . ( 1 . 1 3 )
a
W i d a w i c , |e n a o d c i n k u ( a , b ) m o |n a p o p r a w n i e o k r e [l i s z e r e g f u n k c y j n y
z b i e |n y d o f ( x ) o r a z w s k a z a s p o s ó b w y z n a c z e n i a j e g o w s p ó Bc z y n n i k ó w , j e |e l i
t y l k o s p e Bn i o n y j e s t w a r u n e k o r t o n o r m a l n o [c i c i g u f u n k c y j n e g o .
1 . 2 L i c z b y z e s p o l o n e
W i e m y , |e p i e r w i a s t e k z m i n u s j e d e n n i e i s t n i e j e w [r ó d l i c z b r z e c z y w i s t y c h .
M o |e m y j e d n a k p o m y [l e o t a k i e j i d e i . S p r ó b u j m y c o [ t a k i e g o o z n a c z y s y m -
b o l e m
i = ( - 1 )
, c z y l i i 2 = - 1 . M ó w i m y , |e i t o j e d n o s t k a u r o j o n a . S p r ó b u j m y s y m b o l t e n
w Bc z y d o s t a n d a r d o w y c h z a s a d y p r z e l i c z e D. W y k a |m y , t a k |e - i = ( - 1 ) ,
"|e
b o ( - i ) 2 = ( - 1 ) 2 · i 2 = 1 · ( - 1 ) = - 1 . R ó w n a n i e i = - 1 p o s i a d a w i c d w a
r ó w n o w a |n e r o z w i z a n i a . B y w a j o n e o z n a c z a n e w p o d r c z n i k a c h t a k |e j a k o i
l u b j .
T w o r z y m y k o m b i n a c j e l i n i o w e j e d n o s t k i u r o j o n e j i z j e d n o s t k r z e c z y w i s t 1
t w o r z c l i c z b y z e s p o l o n e o p o s t a c i
z = a · 1 + b · i = a + i b
1 . 2 . L I C Z B Y Z E S P O L O N E 1 1
. Aa t w o j e s t z d e f i n i o w a d o d a w a n i e i o d e j m o w a n i e t a k i c h l i c z b . S p r a w d zm y j a k
j e s t z m n o |e n i e m d w u l i c z b z e s p o l o n y c h z 1 = a 1 + i b 1 o r a z z 2 = a 2 + i b 2 .
Z a p i s z m y
z 1 · z 2 = ( a 1 + i b 1 ) · ( a 2 + i b 2 )
= a 1 a 2 + i ( a 1 b 2 + a 2 b 1 ) + i 2 b 1 b 2
= a 1 a 2 - b 1 b 2 + i ( a 1 b 2 + a 2 b 1 )
L i c z b y t e m o |n a t r a k t o w a j a k p u n k t y n a p Ba s z c z y zn i e z e s p o l o n e j .
R y s u n e k 1 . 2 : L i c z b a z n a p Ba s z c z y zn i e z e s p o l o n e j
Z r y s u n k u w i d a , z e z = a + i b = r c o s ± + i r s i n ±.
D e f i n i u j e m y l i c z b z " s p r z |o n w z g l d e m z = a + i b o k r e [l a j c j a n a s t p u j c o
z " = a - i b
.
J e |e l i u w i e r z y m y w r o z w i n i c i e E u l e r a
e i ± = c o s ± + i s i n ±, ( 1 . 1 4 )
t o l i c z b z e s p o l o n m o |n a n a p i s a j e s z c z e i n a c z e j
z = r e i ±.
M ó w i m y , |e r j e s t m o d u Be m l i c z b y z e s p o l o n e j , a k t ± j e j a r g u m e n t e m ( f a z ) .
P i s z e m y
"
r = | z | = z z " = a 2 + b 2
± = A r g ( z ) .
C z [ r z e c z y w i s t i u r o j o n z l i c z b y z e s p o l o n e j w y d z i e l a j f u n k c j e
1
a = R e ( z ) = ( z + z ") = r c o s ±,
2
1
b = I m ( z ) = ( z - z ") = r s i n ±.
2 i
1 2 R O Z D Z I A A 1 . P O D S T A W Y M A T E M A T Y C Z N E
Z z a p i s u E u l e r a 1 . 1 4 w y n i k a j z w i z k i
e i ± + e - i ±
c o s ± = ,
2
e i ± - e - i ±
s i n ± = .
2 i
w i c z e n i a 1 . W y z n a c z i l o r a z d w u l i c z b z e s p o l o n y c h z 1 / z 2 :
" a ) p o s Bu g u j c s i i c h r e p r e z e n t a c j k a r t e z j a Ds k z 1 = a 1 + i b 1 , i z 2 =
a 2 + i b 2 ,
1
" b ) s t o s u j c n o t a c j E u l e r a w u k Ba d z i e b i e g u n o w y m z 1 = r 1 e i ± o r a z z 2 =
2
r 2 e i ± .
2 . W y k a | s Bu s z n o [ r e l a c j i E u l e r a 1 . 1 4 s t o s u j c r o z p i s a n i e w y s t p u j c y c h w n i m
f u n k c j i w s z e r e g T a y l o r a . P o n i e w a | z a l e |y n a m n a p r z y p o m n i e n i u w i a d o m o [c i z
m a t e m a t y k i , t o d o w ó d p r z e p r o w a d z a j k r o k p o k r o k u , n a z y w a j c i k o m e n t u j c
p o s z c z e g ó l n e e t a p y .
1 . 2 . 1 F u n k c j e z e s p o l o n e
F u n k c j a z e s p o l o n a f ( z ) z m i e n n e j z e s p o l o n e j z , p r z y p o r z d k o w u j e k a |d e j l i c z -
b i e z " &! d o k Ba d n i e j e d n l i c z b z e s p o l o n w &!2 . P i s z e m y
w = f ( z ) d l a z " &!.
Z b i ó r w s z y s t k i c h w a r t o [c i w , j a k i e p r z y j m u j e f u n k c j a f ( z ) n a z y w a m y p r z e c i -
w d z i e d z i n t e j f u n k c j i . W p r o w a d z a j c o z n a c z e n i a
z = x + i y o r a z w = u + i v ,
m o |e m y z a p i s a f u n k c j z e s p o l o n w p o s t a c i
u + i v = f ( x + i y ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) .
F u n k c j a z e s p o l o n a z m i e n n e j z e s p o l o n e j j e s t w i c r ó w n o w a |n a p a r z e f u n k c j i
r z e c z y w i s t y c h d w u z m i e n n y c h r z e c z y w i s t y c h , p r z y c z y m u ( x , y ) o k r e [l a m y j a k o
c z [ r z e c z y w i s t t e j f u n k c j i , a v ( x , y ) j a k o c z [ u r o j o n t e j f u n k c j i .
L i c z b y z e s p o l o n e i o p e r a c j e n a n i c h t w o r z m o |l i w o [ m a t e m a t y c z n e g o o p i s u
g e o m e t r i i n a p Ba s z c z y zn i e . O p e r a c j e t e m o g s Bu |y d o p r z e k s z t a Bc a n i a o b s z a r ó w
i f i g u r g e o m e t r y c z n y c h . F u n k c j e z m i e n n e j z e s p o l o n e j d e f i n i u j o d w z o r o w a n i e
C ’! C
1 . 2 . L I C Z B Y Z E S P O L O N E 1 3
R y s u n e k 1 . 3 : P r z y k Ba d y p r z e k s z t a Bc e D w p Ba s z c z y zn i e z e s p o l o n e j z d e f i n i o w a n y c h
p o p r z e z f u n k c j e z m i e n n e j z : t r a n s l a c j a , o b r ó t i s k a l o w a n i e .
R y s u n e k 1 . 4 : O k r e [l e n i e p o d z b i o r ó w p Ba s z c z y z n y z e s p o l o n e j p o p r z e z f u n k c j e .
1 . 2 . 2 F u n k c j e a n a l i t y c z n e
I s t n i e j e p o d z b i ó r f u n k c j i z e s p o l o n y c h , k t ó r e s o k r e [l a n e j a k o f u n k c j e a n a l i t y -
c z n e . F u n k c j e t e m o g b y r ó |n i c z k o w a n e z g o d n i e z d e f i n i c j
f ( z + "z ) - f ( z )
f 2 ( z ) = l i m . ( 1 . 1 5 )
"z ’!0 "z
T a p o c h o d n a p o w i n n a i s t n i e n i e z a l e |n i e o d k i e r u n k u j e j w y z n a c z a n i a . G d y
p o r u s z a m y s i w z d Bu | o s i u r o j o n e j
"z = i "y ,
a g d y w z d Bu | o s i r z e c z y w i s t e j
"z = "x .
S t a w i a m y w a r u n e k b y p o c h o d n e l i c z o n e w z d Bu | o b y d w u o s i d a w a By t e n s a m
w y n i k
f ( z + "x ) - f ( z ) f ( z + i "y ) - f ( z )
f 2 ( z ) = l i m = l i m
"x ’!0 "x i "y ’!0 i "y
1 4 R O Z D Z I A A 1 . P O D S T A W Y M A T E M A T Y C Z N E
u ( x + "x , y ) + i v ( x + "x , y ) - u ( x , y ) - i v ( x + , y )
l i m
"x ’!0 "x
u ( x , y + "y ) + i v ( x , y + "y ) - u ( x , y ) - i v ( x + , y )
= l i m
i "y ’!0 i "y
"u "v "u "v
+ i = - i + .
"x "x "y "y
W i d z i m y , |e f u n k c j a j e s t a n a l i t y c z n a w t e d y , g d y z a c h o d z r e l a c j e
"u "v "v "u
= o r a z = - .
"x "y "x "y
R e l a c j e t e z n a n e s j a k o w a r u n e k C a u c h y - R i e m a n n a . R z e c z y w i s t a i u r o j o n a
c z [ f u n k c j i a n a l i t y c z n e j s h a r m o n i c z n e , t o j e s t k a |d a z n i c h s p e Bn i a z n a n e
r ó w n a n i e
"2 Õ "2 Õ
"2 Õ = + = 0 .
"x 2 "y 2
M o |n a w y k a z a , |e s p e Bn i e n i e t e g o r ó w n a n i a w y n i k a z w a r u n k ó w C a u c h y -
R i e m a n n a ( w i c z e n i e ) .
1 . 2 . 3 C a Bk a p o k o n t u r z e
G d y f u n k c j a a n a l i t y c z n a F ( z ) p o s i a d a p o j e d y n c z y b i e g u n w z = z 0 i n i e p o s i a d a
i n n e g o b i e g u n a w e w n t r z k o n t u r u , t o c a Bk a p o k o n t u r z e
2 À 2 À
i ëe i Õ
F ( z ) d z = R ( z 0 ) d Õ = i R ( z 0 ) d Õ = 2 Ài R ( z 0 ) , ( 1 . 1 6 )
ëe i Õ
0 0
g d z i e R ( z 0 ) = l i m [ ( z - z 0 ) F ( z ) ] j e s t n a z y w a n e r e s i d u u m f u n k c j i F ( z ) .
z ’!z 0
D l a f u n k c j i F ( z ) p o s i a d a j c e j b i e g u n y i k t ó r a z n i k a d l a | z | ’! ", o b o w i z u j e
n a s t p u j c y z w i z e k
ñø
ëø öø
ôø s u m a r e s i d u ó w f u n k c j i
ôø
ôø
ôø
ìø ÷ø
ôø
ôø
ôø- 2 Ài ìø F ( z ) e - i z t w e w s z y s t k i c h j e j ÷ø
ôø
ìø ÷ø
ôø
ôø
íø øø
b i e g u n a c h n a i p o n i |e j
ôø
ôø
ôø
"
òø
o s i r z e c z y w i s t e j
F ( z ) e - i z t d z = ëø öø ( 1 . 1 7 )
ôø
s u m a r e s i d u ó w f u n k c j i
ôø
ôø
- "
ôø
ìø ÷ø
ôø
ôø
ôø+ 2 Ài ìø F ( z ) e - i z t w e w s z y s t k i c h j e j ÷ø
ôø
ìø ÷ø
ôø
ôø
íø øø
ôø b i e g u n a c h p o w y |e j
ôø
ôø
óø
o s i r z e c z y w i s t e j
1 . 2 . L I C Z B Y Z E S P O L O N E 1 5
1 . 2 . 4 Z e s p o l o n y s z e r e g F o u r i e r a
P r z e d s t a w i o n a p o w y |e j d e f i n i c j a w y m a g a s t o s o w a n i a t r z e c h f o r m u B d l a w y z -
n a c z e n i a w s p ó Bc z y n n i k ó w s z e r e g u F o u r i e r a 1 . 1 . J a k s i o k a |e z a c h w i l , z a s -
t o s o w a n i e f u n k c j i i w s p ó Bc z y n n i k ó w z e s p o l o n y c h u m o |l i w i a w y z n a c z e n i e w s z y s -
t k i c h w s p ó Bc z y n n i k ó w p o p r z e z j e d n f o r m u B. U z y s k u j e m y w i c u p r o s z c z e n i e
i j e d n o c z e [n i e z b l i |a m y s i d o n a s z e g o c e l u - d e f i n i c j i t r a n s f o r m a c j i F o u r i e r a .
P o d s t a w o w y m n a r z d z i e m b d z i e z n a n a t o |s a m o [ E u l e r a
e i ±t = c o s ( ±t ) + i s i n ( ±t ) ( 1 . 1 8 )
T o |s a m o [ t a p o z w a l a z a p i s a f u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e w p o s t a c i
1
c o s ( ±t ) = e i ±t + e - i ±t ( 1 . 1 9 )
2
1
s i n ( ±t ) = e i ±t - e - i ±t ( 1 . 2 0 )
2
P o d s t a w i a j c d o 1 . 1 o t r z y m u j e m y
"
A k - i B k t A k + i B k t
k k
f ( t ) = A 0 + e i É + e - i É . ( 1 . 2 1 )
2 2
k = 1
W p r o w a d z a j c w s p ó Bc z y n n i k i z e s p o l o n e
C 0 = A 0
A k - i B k
C k = , ( 1 . 2 2 )
2
A k - i B k
C - k = , d l a k = 1 , 2 , 3 , . . . ,
2
u z y s k u j e m y z e s p o l o n p o s t a s z e r e g u F o u r i e r a
+ "
2 Àk
k
f ( t ) = C k e i É t , Ék = . ( 1 . 2 3 )
T
k = - "
U w a g a : W d e f i n i c j i z e s p o l o n e g o s z e r e g u F o u r i e r a n a l e |y d o s t r z e c p o j a w i e -
n i e s i u j e m n y c h c z s t o [c i k o Bo w y c h d l a k < 0 . I c h i s t n i e n i e n i e j e s t b l i s k i e
n a s z y m d o [w i a d c z e n i o m c o d z i e n n y m . W a r t o w i c p o [w i c i w i c e j u w a g i t e m u
p o s z e r z e n i u p o j c i a c z s t o [c i n p . a n a l i z u j c e l e m e n t a r n e p r z y k Ba d y t r a n s f o r m a t
f u n k c j i s i n u s i k o s i n u s . Z a u w a |m y , |e e l e m e n t a r n f u n k c j h a r m o n i c z n w z e -
k
s p o l o n y m s z e r e g u F o u r i e r a j e s t f u n k c j a e k s p o n e n c j a l n a e i É t . F u n k c j a t a n i e j e s t
a n i p a r z y s t a ( j a k k o s i n u s ) a n i n i e p a r z y s t a ( j a k s i n u s ) . J e j p r z e b i e g j e s t w i e c
r ó |n y d l a d o d a t n i c h i u j e m n y c h c z s t o [c i k o Bo w y c h .
W s p ó Bc z y n n i k i z e s p o l o n e g o s z e r e g u F o u r i e r a d e f i n i o w a n e s p o p r z e z
T / 2
1
k
C k = f ( t ) e - i É t d t d l a k = . . . - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 . . . ( 1 . 2 4 )
T
- T / 2
1 6 R O Z D Z I A A 1 . P O D S T A W Y M A T E M A T Y C Z N E
1 . 2 . 5 W Ba [c i w o [c i i t w i e r d z e n i a
N a w s t p i e z d e f i n i u j m y p a r y F o u r i e r o w s k i e - t j . f u n k c j e i p r z y p o r z d k o w a n e i m
c i g i w s p ó Bc z y n n i k ó w s z e r e g u F o u r i e r a
f ( t ) Ô! { C k ; Ék }
2
g ( t ) Ô! { C k ; Ék }
.
L i n i o w o [ L i n i o w o [ t r a n s f o r m a c j i F o u r i e r a w i |e o d p o w i e d n i e k o m b i n a c j e
l i n i o w e
2
a f ( t ) + b g ( t ) Ô! { a C k + b C k ; Ék } ( 1 . 2 5 )
D o w ó d w y n i k a w p r o s t z l i n i o w o [c i c a Bk i .
P r z e s u n i c i e J e |e l i
f ( t ) Ô! { C k } ,
t o p r z e s u n i c i e o r y g i n a Bu s p o w o d u j e m o d u l a c j w y r a z ó w w i d m a
k
f ( t - Ä) Ô! C k e - i É Ä ,
D o w ó d :
T / 2
1
k
C k = f ( t - Ä) e - i É t d t
T
- T / 2
T / 2
1
k
= f ( s ) e - i É ( s + Ä ) d s
T
- T / 2
T / 2
1
k k
= f ( s ) e - i É s d s e - i É Ä
T
- T / 2
k
= C k e - i É Ä ,
g d z i e z a s t o s o w a l i [m y p o d s t a w i e n i e s = t - Ä. C B D O . w i c z e n i e : O k r e s o w a
f u n k c j a p r o s t o k t n a o o k r e s i e 2 i s z e r o k o [c i m o |e b y z d e f i n i o w a n a j a k o
p a r z y s t a i n i e p a r z y s t a . W y z n a c z w y r a z y z e s p o l o n e g o s z e r e g u F o u r i e r a w o b u
p r z y p a d k a c h . S p r a w d z c z y u z y s k a n e w y n i k i s p e Bn i a j t w i e r d z e n i e o p r z e s u n i c i u .
1 . 2 . 6 I l o c z y n s k a l a r n y i n o r m a
I l o c z y n s k a l a r n y w e k t o r ó w a = ( a 1 , a 2 , . . . a N ) i b = ( b 1 , b 2 , . . . b N ) w y z n a c z a m y
j a k o
N
a æ% b = a i b i .
i = 1
1 . 3 . S P L O T , K O R E L A C J A 1 7
I l o c z y n s k a l a r n y d e f i n i u j e n o r m w p r z e s t r z e n i w e k t o r o w e j , k t ó r a o k r e [l a
d Bu g o [ w e k t o r a
"
a = a æ% a .
O d l e g Bo [ p o m i d z y p u n k t a m i o k r e [l o n y m i p r z e z w e k t o r y a i b
N
a , b = a - b = ( a - b ) æ% ( a - b ) = ( a i - b i ) 2 .
i = 1
W p r z e s t r z e n i f u n k c j i o k r e [l o n y c h n a p r z e d z i a l e a t b i l o c z y n s k a l a r n y
f u n k c j i f ( t ) i g ( t ) o k r e [l a c a Bk a
b
f æ% g = f ( t ) g ( t ) d t .
a
N o r m j e s t
b
f = f æ% f = f 2 ( t ) d t ,
a
a m i a r o d l e g Bo [c i w t e j p r z e s t r z e n i j e s t
b
f , g = ( f ( t ) - g ( t ) ) 2 d t
a
W p r z y p a d k u f u n k c j i f ( t ) , k t ó r r o z p i s u j e m y w s z e r e g z Bo |o n y z f u n k c j i
o r t o n o r m a l n y c h
"
f ( t ) = c i Æi ( t ) , ( 1 . 2 6 )
i = - "
n o r m m o |n a o k r e [l i w p r z e s t r z e n i f u n k c y j n e j , a n i e z a l e |n i e w n i e s k o Dc z e n i e
w y m i a r o w e j p r z e s t r z e n i w e k t o r o w e j c = ( . . . c - 2 , c - 1 , c 0 , c 1 , c 2 . . . ) .
"
c = c 2
i
i = - "
T w i e r d z e n i e P a r s e v a l a m ó w i , |e l i c z b o w e w a r t o [c i o b u t y c h n o r m s s o b i e r ó w n e .
w i c z e n i e :
1 . W y k a | s Bu s z n o [ t w i e r d z e n i a P a r s e v a l a d l a w s p ó Bc z y n n i k ó w r o z p i s a n i a
f u n k c j i f ( t ) w s z e r e g z Bo |o n y z w y r a z ó w o r t o n o r m a l n y c h { Æn ( t ) } . W s k a z ó w k a :
W y z n a c z k w a d r a t o b y d w u s t r o n r ó w n a n i a 1 . 2 6 i w y k o n a j c a Bk o w a n i e .
1 . 3 S p l o t , k o r e l a c j a
1 . 3 . 1 S p l o t
S p l o t f u n k c j i f ( t ) z i n n f u n k c j g ( t ) o k r e [l a w z ó r :
"
f ( t ) —" g ( t ) a" f ( ¾) g ( t - ¾) d ¾ ( 1 . 2 7 )
- "
1 8 R O Z D Z I A A 1 . P O D S T A W Y M A T E M A T Y C Z N E
Z w r ó u w a g n a z n a k m i n u s w y s t p u j c y w a r g u m e n c i e f u n k c j i g .
S p l o t m a n a s t p u j c e w Ba s n o [c i :
" j e s t o p e r a c j p r z e m i e n n ,
f ( t ) —" g ( t ) = g ( t ) —" f ( t ) ,
" j e s t r o z d z i e l n y w z g l d e m d o d a w a n i a
f ( t ) —" ( g ( t ) + h ( t ) ) = f ( t ) —" g ( t ) + f ( t ) —" h ( t ) ,
" j e s t o p e r a c j Bc z n
f ( t ) —" ( g ( t ) —" h ( t ) ) = ( f ( t ) —" g ( t ) ) —" h ( t ) .
D o w ó d p r z e m i e n n o [c i :
" "
f ( t ) —" g ( t ) = f ( ¾) g ( t - ¾) d ¾ = g ( ¾2 ) f ( t - ¾2 ) d ¾2 = g ( t ) —" f ( t ) ,
- " - "
g d z i e ¾2 = t - ¾. C B D O
R o z d z i e l n o [ w z g l d e m d o d a w a n i a w y n i k a z l i n i o w o [c i c a Bk i . Ac z n o [ o z n a c z a ,
|e j e |e l i s p l a t a m y k i l k a f u n k c j i , t o m o |e m y t o r o b i w d o w o l n e j k o l e j n o [c i . W
d o w o d z i e t e j w Ba [c i w o [c i m a m y p o d w ó j n c a Bk , w k t ó r e j n a l e |y d o k o n a z a m i -
a n y k o l e j n o [c i c a Bk o w a n i a .
R y s u n e k 1 . 5 : D w a p r z y k Ba d y s p l o t u g ( x ) = h ( x ) —" f ( x )
S p l o t d e f i n i o w a m o |n a t e | w p r z e s t r z e n i w i e l o w y m i a r o w e j . N a p r z y k Ba d w
d w u w y m i a r a c h
"
f ( x , y ) —"2 D g ( x , y ) a" f ( ¾, ·) g ( x - ¾, y - ·) d ¾d · ( 1 . 2 8 )
- "
1 . 3 . S P L O T , K O R E L A C J A 1 9
1 . 3 . 2 K o r e l a c j a
P o n i |e j p r z e d s t a w i a m y d e f i n i c j k o r e l a c j i d l a f u n k c j i z e s p o l o n y c h f ( t ) i g ( t ) .
K o r e l a c j a
"
h ( t ) = f ( t ) " g ( t ) a" f ( ¾) g "( t + ¾) d ¾. ( 1 . 2 9 )
- "
G w i a z d k a w m i e j s c u g ó r n e g o i n d e k s u o z n a c z a s p r z |e n i e z e s p o l o n e g " =
g 2 - i g 2 2 , g d z i e g 2 = R e ( g ) i g 2 2 = I m ( g ) .
F o u r i e r o w s k i e t w i e r d z e n i e o k o r e l a c j i
F
f ( t ) Ð!Ò! F ( É) ,
F
( 1 . 3 0 )
g ( t ) Ð!Ò! G ( É) ,
F
h ( t ) = f ( t ) " g ( t ) Ð!Ò! H ( É) = F ( É) G "( É) .
D o w ó d
H ( É) = f ( ¾) g "( t + ¾) d ¾e i Ét d t
= f ( ¾) g "( t + ¾) e - i Ét d t , ( 1 . 3 1 )
= f ( ¾) G "( + É) e - i ɾd ¾.
W p o w y |s z y m d o w o d z i e z a s t o s o w a n o n a s t p u j c w Ba s n o [
G ( É) = g ( t ) e i Ét d t ,
d o k o n u j e m y s p r z |e n i a z e s p o l o n e g o p o o b y d w u s t r o n a c h
G "( É) = g "( t ) e i Ét d t ,
z a s t p u j c É p r z e z - É u z y s k u j e m y
G "( - É) = g "( t ) e - i Ét d t ,
M o |e m y z a p i s a t w i e r d z e n i e o t r a n s f o r m a c i e f u n k c j i s p r z |o n e j :
F
j e |e l i G ( É) Ð!Ò! g ( t ) , t o
F
G "( - É) Ð!Ò! g "( t ) . ( 1 . 3 2 )
T r a n s f o r m a t a f u n k c j i s p r z |o n e j j e s t s p r z |o n a i o d w r ó c o n a w z g l d e m z m i e n -
n e j É. Z a u w a |m y , |e d l a f u n k c j i r z e c z y w i s t e j g ( t ) a" g "( t ) . N a p o d s t a w i e 1 . 3 2 ,
t r a n s f o r m a t a f u n k c j i r z e c z y w i s t e j s p e Bn i a m u s i w i c w a r u n e k
G "( - É) = G ( É)
2 0 R O Z D Z I A A 1 . P O D S T A W Y M A T E M A T Y C Z N E
1 . 3 . 3 K o r e l a c j a n o r m o w a n a
M i a r p o d o b i e Ds t w a d w u f u n k c j i z e s p o l o n y c h j e s t k o r e l a c j a n o r m o w a n a . D l a
d w u f u n k c j i f ( t ) i g ( t ) k o r e l a c j a n o r m o w a n a j e s t f u n k c j
f ( t ) " g ( t )
c ( t ) = , ( 1 . 3 3 )
f ( t ) f "( t ) d t g ( t ) g "( t ) d t
l u b z a p i s u j c j a w n i e k o r e l a c j
f ( ¾) g "( t + ¾) d ¾
c ( t ) = , ( 1 . 3 4 )
f ( t ) f "( t ) d t g ( t ) g "( t ) d t
. Aa t w o p o k a z a , |e c ( 0 ) = 1 w t e d y g d y f ( t ) a" g ( t ) o r a z , |e c ( 0 ) = - 1 g d y
f ( t ) a" - g ( t ) . S t o s u j c n i e r ó w n o [ B u n i a k o w s k i e g o - S c h w a r t z a w y k a z a m o |n a ,
|e 1 c ( t ) - 1 . F u n k c j a k o r e l a c j i m o |e o s i g a w a r t o [ 1 t a k |e w s y t u a c j i ,
g d y f u n k c j a g j e s t p r z e s u n i t f u n k c j f t j . g ( t ) = f ( t - a ) i g ( t + a ) = f ( t ) .
W t e d y
g ( ¾ + a ) g "( t + ¾) d ¾
c ( t ) = , ( 1 . 3 5 )
f ( t ) f "( t ) d t g ( t ) g "( t ) d t
d l a t = a m a m y
g ( ¾ + a ) g "( a + ¾) d ¾
c ( a ) = = 1 . ( 1 . 3 6 )
g ( t ) g "( t ) d t g ( t ) g "( t ) d t
M a k s i m u m k o r e l a c j i p o j a w i a s i w p u n k c i e t = a . W a r t o [ m a k s i m u m
k o r e l a c j i j e s t w i c m i a r p o d o b i e Ds t w a f u n k c j i , a p o Bo |e n i e t e g o m a k -
s i m u m w y z n a c z a w z g l d n e p r z e s u n i c i e d r u g i e j z f u n k c j i w z g l d e m
p i e r w s z e j .
A u t o k o r e l a c j a
K o r e l a c j a f u n k c j i z s o b o k r e [l a n a j e s t j a k o a u t o k o r e l a c j a
h ( t ) = f ( t ) " f ( t ) = f ( ¾) f "( ¾ + t ) d ¾. ( 1 . 3 7 )
Z a p i s z m y p a r F o u r i e r o w s k
F
f ( t ) Ð!Ò! F ( É) ,
( 1 . 3 8 )
F
"
h ( t ) = f ( t ) " f ( t ) Ð!Ò! H ( É) = F ( É) F ( É) = | F ( É) | 2
T r a n s f o r m a t a a u t o k o r e l a c j i j e s t w i c k w a d r a t e m m o d u Bu t r a n s f o r m a t .
1 . 4 . T R A N S F O R M A C J A F O U R I E R A 2 1
T w i e r d z e n i e P a r s e v a l a
W s t a w m y d o t w i e r d z e n i a o t r a n s f o r m a c i e a u t o k o r e l a c j i 1 . 3 8 a r g u m e n t t = 0
1
h ( 0 ) = | f ( ¾) | 2 d ¾ = | F ( É) | 2 d É. ( 1 . 3 9 )
2 À
1 . 4 T r a n s f o r m a c j a F o u r i e r a
T r a n s f o r m a c j a F o u r i e r a j e s t o p e r a c j m a t e m a t y c z n i w y s t p o w a w n i e j m o g
d o w o l n i e o z n a c z o n e z m i e n n e . C z y t e l n i k p r a w d o p o d o b n i e z e t k n B s i z d e f i n i c j
Bc z c d z i e d z i n y c z a s u t z c z s t o t l i w o [c i a m i f l u b c z s t o [c i a m i k o Bo w y m i É.
T u s t o s o w a b d z i e m y c z s t o o z n a c z e n i a z m i e n n y c h x i u .
D e f i n i c j a T r a n s f o r m a c j a F o u r i e r a F f u n k c j i f ( x ) z d e f i n i o w a n a j e s t p r z e z c a Bk
"
F ( u ) = F { f ( x ) } = f ( x ) e - 2 i Àx u d x . ( 1 . 4 0 )
- "
F o r m a l n i e , d l a i s t n i e n i a p o w y |s z e j c a Bk i , s t a w i a n e s d w a w a r u n k i D i r i c h l e t a
[ {a k 7 0 ] o r a z w a r u n e k z b i e |n o [c i c a Bk i n i e w Ba [c i w e j
"
| f ( t ) | d t , ( 1 . 4 1 )
- "
z k t ó r e g o w y n i k a b e z w z g l d n a c a Bk o w a l n o [ f u n k c j i w p r z e d z i a l e ( - ", ") , t o
z n a c z y b e z w z g l d n a z b i e |n o [ c a Bk i
"
f ( t ) d t . ( 1 . 4 2 )
- "
Z a u w a |m y , |e d l a s p e Bn i e n i a w a r u n k u 1 . 4 1 k o n i e c z n e j e s t b y s a m a f u n k c j a
z b i e |n a b y Ba d o z e r a w n i e s k o Dc z o n o [c i .
W w i k s z o [c i z a g a d n i e D f i z y c z n y c h p o l a i s y g n a By s p e Bn i a j p o w y |s z e z a -
Bo |e n i a , d l a t e g o w a r u n k i i s t n i e n i a t r a n s f o r m a t y n i e s z a z w y c z a j d y s k u t o w a n e .
F u n k c j e t a k i e j a k n p . f ( t ) = 1 , f ( x ) = c o s ( 2 Àf x x ) n i e s p e Bn i a j p o w y |e j
o k r e [l o n y c h w a r u n k ó w i d l a t e g o n i e p o s i a d a j t r a n s f o r m a t F o u r i e r a w s e n s i e
k l a s y c z n y m . M o |l i w e j e s t j e d n a k w y z n a c z e n i e w s p o s ó b u o g ó l n i o n y - p o p r z e z
w y k o n a n i e o d p o w i e d n i e g o p r z e j [c i a g r a n i c z n e g o .
J e d n o s t k i Z d e f i n i o w a n a p o w y |e j t r a n s f o r m a c j a j e s t o p e r a c j m a t e m a t y c z n
w i |c f u n k c j e f ( x ) o k r e [l o n w d z i e d z i n i e l i c z b r z e c z y w i s t y c h R z j e j w i d m e m
F o u r i e r o w s k i m F ( u ) , g d z i e u " R .
W z a s t o s o w a n i a c h i n |y n i e r s k i c h z m i e n n e w y s t p u j c e w t r a n s f o r m a c j i F o u r i -
e r a s z a z w y c z a j w i e l k o [c i a m i f i z y c z n y m i . J e |e l i f u n k c j a f z a l e |y o d c z a s u [ s ] ,
t o j e j w i d m o F o k r e [l o n e j e s t w d z i e d z i n i e c z s t o t l i w o [c i m i e r z o n y c h w h e r c a c h
[ H z = 1 / s ] . J e |e l i f u n k c j a f , o k r e [l o n a j e s t w p r z e s t r z e n i x , g d z i e o d l e g Bo [c i m i e r -
z o n e s w m e t r a c h , t o u o k r e [l a c z s t o [c i p r z e s t r z e n n e , k t ó r e m i e r z o n e s w
2 2 R O Z D Z I A A 1 . P O D S T A W Y M A T E M A T Y C Z N E
j e d n o s t k a c h 1 / m . Z a u w a |m y , |e t a k i d o b ó r j e d n o s t e k j e s t k o n i e c z n y b y s p e Bn i o n y
b y B w y m ó g , b y a r g u m e n t f u n k c j i e x p o n e n c j a l n e j b y B b e z w y m i a r o w y 1
E l e m e n t a r n e s k Ba d o w e h a r m o n i c z n e T r a n s f o r m a c j a F o u r i e r a j e s t p o d -
s t a w o w y m n a r z d z i e m a n a l i z y h a r m o n i c z n e j f u n k c j i , w k t ó r e j z a s k Ba d -
n i k i e l e m e n t a r n e p r z y j m o w a n e s z e s p o l o n e f u n k c j e e k s p o n e n c j a l n e o p o s t a c i
e 2 i Àx u . T r a n s f o r m a t a F ( u ) o k r e [l a a m p l i t u d y p o s z c z e g ó l n y c h s k Ba d o w y c h h a r -
m o n i c z n y c h e 2 i Àx u . S t o s u j c t e a m p l i t u d y m o |n a z r e k o n s t r u o w a o r y g i n a l n y s y g -
2
n a B p o p r z e z n a s t p u j c s u p e r p o z y c j
"
f ( x ) = F - 1 { F ( u ) } = F ( u ) e 2 Ài x u d u , ( 1 . 4 3 )
- "
k t ó r a z n a n a j e s t j a k o o d w r o t n a t r a n s f o r m a c j a F o u r i e r a .
A n a l o g i c z n i e d e f i n i o w a n e s t r a n s f o r m a c j a d w u w y m i a r o w a
"
x
G ( f x , f y ) a" F { g } = g ( x , y ) e - 2 Ài ( x f + y f y ) d x d y ( 1 . 4 4 )
- "
o r a z j e j o d w r o t n o [
"
x
g ( x , y ) = F - 1 { G } a" G ( f x , f y ) e 2 Ài ( x f + y f y ) d f x d f y . ( 1 . 4 5 )
- "
W p o w y |s z y c h w z o r a c h f x i f y o k r e [l a n e s j a k o c z s t o [c i p r z e s t r z e n n e . W p r o w a d z a m y
t a k |e w e k t o r c z s t o [c i p r z e s t r z e n n y c h ( p o r . r y s . 1 . 6 ) f = ( f x , f y ) = ( u , v ) =
x
( 1 / ›x , 1 / ›y ) . F u n k c j a f ( x , y ) j e s t s u p e r p o z y c j s k Ba d o w y c h F ( f x , f y ) e 2 Ài ( x f + y f y ) =
F ( f ) e 2 Ài ( r æ%v e c t f . D w u w y m i a r o w a t r a n s f o r m a c j a F o u r i e r a p r z y p o r z d k o w u j e d w u w y m i -
a r o w e j f u n k c j i g ( r j e j w i d m o F o u r i e r o w s k i e o k r e [l o n e w d z i e d z i n i e d w u w y m i -
a r o w y c h c z s t o [c i p r z e s t r z e n n y c h f .
I n n e d e f i n i c j e t r a n s f o r m a c j i F o u r i e r a W p r z e t w a r z a n i u s y g n a Bó w c z a -
s o w y c h s t o s o w a n e j e s t p o j c i e c z s t o [c i k o Bo w e j É = 2 Àf , g d z i e f - c z s t o t l i -
w o [. T r a n s f o r m a c j a d o d z i e d z i n y c z s t o [c i k t o w y c h d e f i n i o w a n a j e s t p o p r z e z
c a Bk
"
1
"
G ( É) = F { g } = g ( t ) e - i Ét d t , ( 1 . 4 6 )
2 À
- "
a t r a n s f o r m a c j a o d w r o t n a p o p r z e z
"
1
"
g ( t ) = F { G } = G ( É) e i Ét d t . ( 1 . 4 7 )
2 À
- "
C z s t o w d e f i n i c j a c h t y c h p o m i j a s i c z y n n i k n o r m u j a c y w t r a n s f o r m a c j i p r o s t e j ,
1
z a t o w t r a n s f o r m a c j i o d w r o t n e j w y s t e p u j e o n w p o s t a c i . D e f i n i c j a z c z y n -
2 À
"1
n i k a m i z a r ó w n o w t r a n s f o r a m c j i p r o s t e j j a k i o d w r o t n e j j e s t w Ba [c i w s z a
2 À
1
C z y m i a Bo b y s e n s p y t a n i e o w a r t o [ s i n ( 5 k g ) ?
2
D o k Ba d n i e j t w i e r d z e n i e F o u r i e r a m ó w i , |e p o w y |s z a s u p e r p o z y c j a o d t w a r z a f u n k c j f ( x )
w p u n k t a c h c i g Bo [c i , n a t o m i a s t w p u n k t a c h n i e c i g Bo [c i d a j e w a r t o [ s t a n o w i c [r e d n i
p o m i d z y l e w o - i p r a w o s t r o n n g r a n i c f u n k c j i .
1 . 4 . T R A N S F O R M A C J A F O U R I E R A 2 3
i b a r d z i e j e l e g a n c k a , z e w z g l d u n a s y m e t r i a t a k |e n a f a k t , |e o r y g i n a B i
g e n e r o w a n e p r z e z n i w i d m o s p e Bn i a j w p r o s t t w i e r d z e n i e o m o c y i t w i e r d z e -
n i e P a r s e v a l a . P r o b l e m y t e i l u s t r u j e p r z y k Ba d w y z n a c z a n i a t r a n s f o r m a t y f u n k c j i
G a u s s a 1 . 7 0 .
R y s u n e k 1 . 6 : D w u w y m i a r o w a f u n k c j a h a r m o n i c z n a i z w i z a n e z n i p a r a m e t r y .
P r z e d s t a w i o n a t u f u n k c j a j e s t s u p e r p o z y c j f u n k c j i e i K æ%r i e - i K æ%r
i n a r y s u n k u m o |n a b y t e | n a n i e [ w e k t o r - K .
W p r o w a d z a j c w e k t o r f a l o w y s t r u k t u r y K = 2 À[ f x , f y ] = 2 À[ 1 / ›x , 1 / ›y ] ,
s k Ba d o w e m o |n a z a p i s a j a k o e i K æ%r .
w i c z e n i e : P o k a |, |e p o w i e r z c h n i a s t a Be j f a z y f u n k c j i e i K æ%r j e s t p r o s t o p a d Ba
d o w e k t o r a K . W s k a z ó w k a : p o r ó w n a j w a r t o [ w y r a |e D K æ%r 1 i K æ%r 2 , p r z y j m u j c
"r ¥"K , g d z i e "K = r 2 - r 1 .
P r z y p o r z d k o w a n i e f u n k c j i p o p r z e z t r a n s f o r m a c j F o u r i e r a j e s t w z a j e m n i e
j e d n o z n a c z n e . M ó w i m y , |e z w i z a n e p r z e z n i f u n k c j e t w o r z p a r F o u r i e r o w s k
o z n a c z a j c t r e l a c j
F
f ( x , y ) Ð!Ò! F ( u , v ) .
P i e r w s z y e l e m e n t t e j p a r y n a z y w a m y o r y g i n a Be m , a d r u g i t r a n s f o r m a t .
T r a n s f o r m a t a o k r e [l a n a j e s t t e | j a k o s p e k t r u m l u b w i d m o F o u r i e r o w s k i e
3
o r y g i n a Bu .
3
H a r m o n i c z n s t r u k t u r o k r e s o w w t r z e c h w y m i a r a c h d e f i n i u j e w e k t o r f a l o w y K =
2 À
2 À[ 1 / ›x , 1 / ›y , 1 / ›z ] , k t ó r e g o m o d u B K = . T a k o k r e [l o n e w e k t o r y f a l o w e s t o s o w a n e s n p .
›
w f i z y c e c i a Ba s t a Be g o , a w k r y s t a l o g r a f i i r o z p a t r u j e s i t z w . s i e o d w r o t n , k t ó r a o d p o w i a d a
t r ó j w y m i a r o w e j t r a n s f o r m a c i e F o u r i e r a s t r u k t u r y s i e c i k r y s t a l i c z n e j d o p r z e s t r z e n i w e k t o r ó w
f a l o w y c h K .
2 4 R O Z D Z I A A 1 . P O D S T A W Y M A T E M A T Y C Z N E
( w i c e j n a t e m a t m o |l i w y c h d e f i n i c j i t r a n s f o r m a c j i F o u r i e r a i o j e j w Ba [c i -
w o [c i a c h : h t t p : / / m a t h w o r l d . w o l f r a m . c o m / F o u r i e r T r a n s f o r m . h t m l )
1 . 4 . 1 T r a n s f o r m a c j a F o u r i e r a - B e s s e l a
W p r z y p a d k u g d y o r y g i n a B j e s t f u n k c j d w u w y m i a r o w o s y m e t r i i o b r o t o w e j
f ( x , y ) = f ( x 2 + y 2 ) = f ( r ) ,
t o m o |e m y w d e f i n i c j i t r a n s f o r m a c j i w p r o w a d z i w s p ó Br z d n e b i e g u n o w e w o b y -
d w u d z i e d z i n a c h
x = r c o s ¸, y = r s i n ¸, r = x 2 + y 2 ,
( 1 . 4 8 )
2 2
½x = Á c o s Æ, ½y = Á s i n Æ, Á = ½x + ½y .
D w u w y m i a r o w a t r a n s f o r m a c j a p r z y j m u j e w t e d y p o s t a
" 2 À
f ( r ) e - i 2 Àr Á( c o s ¸ c o s Æ+ s i n ¸ s i n Æ) r d r d ¸
0 0
( 1 . 4 9 )
" 2 À
= f ( r ) e - i 2 Àr Á c o s ( ¸- Æ) d ¸ r d r .
0 0
C a Bk a w n a w i a s i e k w a d r a t o w y m j e s t z g o d n a z w z o r e m o k r e [l a j c y m f u n k c j e
B e s s e l a z e r o w e g o r z d u
2 À
1
J 0 ( q ) = e - i q c o s ( ¸- Æ) d ¸. ( 1 . 5 0 )
2 À
0
W y n i k t r a n s f o r m a t y m a t e | s y m e t r i o b r o t o w
"
F ( Á) = 2 À f ( r ) J 0 ( 2 Àr Á) r d r
0
M a m y w i c t r a n s f o r m a c j k t ó r e j j d r e m j e s t f u n k c j a B e s s e l a ( p o m n o |o n a
p r z e z r ) . J e s t t o t r a n s f o r m a c j a F o u r i e r a - B e s s e l a l u b t r a n s f o r m a c j a H a n -
k e l a . T r a n s f o r m a c j a o d w r o t n a m a p o s t a
"
f ( r ) = 2 À F ( Á) J 0 ( 2 Àr Á) Ád Á.
0
O z n a c z a j c t r a n s f o r m a c j F o u r i e r a - B e s s e l a s y m b o l e m B m a m y
B - 1 B { f ( r ) } = B B - 1 { f ( r ) } = B B { f ( r ) } = f ( r ) .
T r a n s f o r m a c j a F o u r i e r a - B e s s e l a j e s t p r z y p a d k i e m d w u w y m i a r o w e j t r a n s f o r -
m a c j i F o u r i e r a d o t y c z j e j w i c t a k |e o d p o w i e d n i e t w i e r d z e n i a , k t ó r y c h n i e
m o |n a s t o s o w a a u t o m a t y c z n i e . P r z y k Ba d o w o t w i e r d z e n i e o p o d o b i e Ds t w i e ( s k a l o w a -
n i u ) m a p o s t a
1 Á
B { f ( a r ) } = F ( )
a 2 a
1 . 4 . T R A N S F O R M A C J A F O U R I E R A 2 5
P r z y k Ba d - t r a n s f o r m a t a f u n k c j i c y l i n d r y c z n e j c i r c F u n k c j a c y l i n d r y c z n a
z d e f i n i o w a n a j e s t n a s t p u j c o w e w s p ó Br z d n y c h k a r t e z j a Ds k i c h
2
1 + y 2 1 .
x
c i r c ( x , y ) =
0 x 2 + y 2 > 1 .
W e w s p ó Br z d n y c h b i e g u n o w y c h m a m y
1 | r | 1 ,
c i r c ( r ) =
0 | r | > 1 .
W y z n a c z y m y d w u w y m i a r o w t r a n s f o r m a t F o u r i e r a t e j f u n k c j i p o d s t a w i a j c
x = r c o s ¸, y = r s i n ¸, r = x 2 + y 2 ,
( 1 . 5 1 )
2 2
½x = Á c o s Æ, ½y = Á s i n Æ, Á = ½x + ½y ,
i d x d y = r d r d ¸.
R y s u n e k 1 . 7 : F u n k c j a B e s s e l a
O t r z y m u j e m y w t e d y
1 2 À
F ( Á, Æ) = e - i 2 À c o s ( ¸- ±) d ¸ r d r . ( 1 . 5 2 )
r = 0 ¸= 0
P o n i e w a | o r y g i n a B p o s i a d a s y m e t r i o b r o t o w i n i e z a l e |y o d ¸, t o t a k |e t r a n s -
f o r m a t a m u s i p o s i a d a t a k s y m e t r i i b y n i e z a l e |n a o d Æ. T o p o z w a l a u p r o [c i
p o w y |s z c a Bk d o p o s t a c i
1 2 À
F ( Á) = e - i 2 À c o s ¸d ¸ r d r . ( 1 . 5 3 )
r = 0 ¸= 0
S t o s u j c w z ó r 1 . 5 0 d e f i n i u j c y f u n k c j B e s s e l a z e r o w e g o r z d u o t r z y m u j e m y
1
F ( Á) = 2 À J 0 ( 2 ÀÁr ) r d r . ( 1 . 5 4 )
r = 0
2 6 R O Z D Z I A A 1 . P O D S T A W Y M A T E M A T Y C Z N E
d w
Z a s t o s u j m y p o d s t a w i e n i e 2 ÀÁr = w , c o d a j e d r = . T e r a z c a Bk a w r ó w n a n i u
2 ÀÁ
1 . 5 4 p r z y j m u j e p o s t a
2 ÀÁ
I = 2 À J 0 ( w ) w d w . ( 1 . 5 5 )
r = 0
J e d n z o g ó l n y c h w Ba [c i w o [c i f u n k c j i B e s s e l a j e s t r e l a c j a w i |c a j e j k o l e j n e
r z d y
d
[ u m J m ( u ) ] = u m J m - 1 ( u ) .
d u
S t o s u j c t w Ba [c i w o [ m a m y
I = 2 À [ J 1 ( w ) w ] 2 ÀÁ . ( 1 . 5 6 )
0
P o d s t a w i a j c s p o w r o t e m w = 2 ÀÁr o t r z y m u j e m y
J 1 ( 2 ÀÁ)
B { c i r c ( r ) } = F ( Á) = 2 À . ( 1 . 5 7 )
2 ÀÁ
S t o s u j c t w i e r d z e n i e o s k a l o w a n i u u z y s k u j e m y t r a n s f o r m a t f u n k c j i k o Bo w e j o
z a d a n y m p r o m i e n i u R
J 1 ( 2 ÀÁ)
B { c i r c ( r ) } = F ( Á) = 2 À . ( 1 . 5 8 )
2 ÀÁ
2 2
P a m i t a j m y , |e Á = ½x + ½y j e s t p r o m i e n i e m w d z i e d z i n i e c z s t o [c i p r z e s t r z e n -
n y c h . D l a f u n k c j i
w i c z e n i a
1 . P o k a |, |e d w u w y m i a r o w t r a n s f o r m a c j F o u r i e r a t r a k t o w a m o |n a j a k o z Bo |e -
n i e t r a n s f o r m a c j i j e d n o w y m i a r o w y c h .
W s k a z ó w k a : D o k o n a j r o z p i s a n i a
e - 2 Ài ( x u + y v ) = e - 2 Ài ( x u ) e - 2 Ài ( y v )
i p r z e d s t a w z a p i s c a Bk i p o d w ó j n e j j a k o d w u k o l e j n y c h p o j e d y n c z y c h .
1 . 4 . 2 K i l k a u |y t e c z n y c h f u n k c j i
F u n k c j a p r o s t o k t n a
ñø
ôø
òø1 ; | t | < 1 / 2
r e c t ( t ) = ( t ) = 1 / 2 ; | t | = 1 / 2 ( 1 . 5 9 )
ôø
óø0 ; | t | > 1 / 2
F u n k c j a s i n c
s i n ( Àt )
s i n c ( t ) = ( 1 . 6 0 )
Àt
1 . 4 . T R A N S F O R M A C J A F O U R I E R A 2 7
F u n k c j a z n a k u s i g n
ñø
ôø
òø1 ; t > 0
s i g n ( t ) = 0 ; t = 0 ( 1 . 6 1 )
ôø
óø- 1 ; t < 0
F u n k c j a H e a w i s i d e a ( w Bc z e n i o w a )
0 ; t < 0
H ( t ) = ( 1 . 6 2 )
1 ; t > 0
F u n k c j a t r ó j k t n a ›
1 - | t | ; | t | < 1
›( t ) = ( 1 . 6 3 )
0 ; t 1
F u n k c j a G a u s s a
1 2
g ( x ) = " e - x ( 1 . 6 4 )
À
P r z y k Ba d : P o l i c z m y c a Bk
"
2
I = e - ±x d x .
- "
Z a p i s z m y k w a d r a t t e j c a Bk i
" " "
2 2 2
I 2 = e - ±x d x e - ±y d y = e - ±( x + y 2 ) d x d y .
- " - " - "
D w u w y m i a r o w c a Bk w y z n a c z y m y w e w s p ó Br z d n y c h b i e g u n o w y c h
" 2 À " " À
2 2 À 2
I 2 = e - ±r d Ær d r = 2 À e - ±r r d r = - e - ±r =
± 0 ±
0 0 0
M a m y w i c
"
2 À
I = e - ±x d x = .
±
- "
W i d a w i c , |e f u n k c j G a u s s a 1 . 6 4 u n o r m o w a l i [m y t a k b y c a Bk a z n i e j , l i c z o n a
w g r a n i c a c h n i e s k o Dc z o n y c h w y n i o s Ba 1 .
D y s t r y b u c j a d e l t a D i r a c a
" ; t = 0
´( t ) = .
0 ; t = 0
D e l t a D i r a c a s p e Bn i a w a r u n e k
"
´( t ) d t = 1 .
- "
2 8 R O Z D Z I A A 1 . P O D S T A W Y M A T E M A T Y C Z N E
D y s t r y b u c j a t a p o s i a d a z d o l n o [ p r z e s u w a n i a i n n y c h f u n k c j i p o p r z e z o p e r a c j
"
´( t - a ) f ( t ) d t = f ( a ) . ( 1 . 6 5 )
- "
W a r u n k i t e s p e Bn i a n p . g r a n i c a c i g u f u n k c y j n e g o
1
´( t ) = l i m ( t / a ) . ( 1 . 6 6 )
a ’!0
a
P o w y |s z e w y r a |e n i e t r a k t o w a m o |e m y j a k o d e f i n i c j d y s t r y b u c j i d e l t a D i r a c a .
T a k |e f u n k c j a G a u s s a 1 . 6 4 i t r ó j k t n a ›( x ) u n o r m o w a n e s t a k b y c a Bk a z n i c h ,
l i c z o n a w g r a n i c a c h n i e s k o Dc z o n y c h w y n i o s Ba 1 . D y s t r y b u c j a ´ D i r a c a m o |e b y
z d e f i n i o w a n a a n a l o g i c z n i e j a k o g r a n i c a c i g u f u n k c j i G a u s s a l u b t r ó j k t n y c h .
F u n k c j a g r z e b i e n i o w a c o m b o k r e [l a n a t e | j a k o f u n k c j a s z a
"
d e f
I I I ( t ) = c o m b ( t ) = ´( t - n ) .
n = - "
F u n k c j a t a j e s t s u m r e g u l a r n i e r o z m i e s z c z o n y c h d e l t D i r a c a . F u n k c j a g r z e b i -
e n i o w a o o k r e s i e T
"
I I I ( t / T ) = ´( t - k T ) .
k = - "
W y z n a c z m y w s p ó Bc z y n n i k i s z e r e g u F o u r i e r a d l a t e j f u n k c j i
t 0 + T
1
c n = I I I ( t / T ) e - i 2 Àn t / T d t ( - " < t 0 < + ")
T
t 0
T / 2
1
= I I I ( t / T ) e - i 2 Àn t / T d t
T
- T / 2
T / 2
1
= ´( t ) e - i 2 Àn t / T d t
T
- T / 2
1
= e - i 2 Àn 0 / T
T
1
= .
T
M a m y w i c r o z p i s a n i e f u n k c j i g r z e b i e n i o w e j w s z e r e g F o u r i e r a
"
1
I I I ( t / T ) = e i 2 Àn t / T .
T
n = - "
M a m y p a r F o u r i e r o w s k
F { I I I ( x ) = I I I ( f x ) .
1 . 4 . T R A N S F O R M A C J A F O U R I E R A 2 9
P r z y k Ba d y t r a n s f o r m a t F o u r i e r a
T r a n s f o r m a t a F o u r i e r a f u n k c j i p r o s t o k t n e j .
1
"
2
e - i Àu - e i Àu
F { ( x ) } = ( x ) e - i 2 Àu x d x = e - i 2 Àu x d x = = s i n c ( u )
1 - 2 i Àu
- " -
2
( 1 . 6 7 )
T r a n s f o r m a t F o u r i e r a d y s t r y b u c j i d e l t a D i r a c a w y z n a c z y m o |n a
k o r z y s t a j c z j e j o k r e [l e n i a p o p r z e z c i g f u n k c j i p r o s t o k t n y c h 1 . 6 6
1
F { ´( t ) } = l i m F { ( t / a ) } = l i m s i n c ( a f ) = 1 . ( 1 . 6 8 )
a - ’!0 a - ’!0
a
T r a n s f o r m a t w y z n a c z y m o |n a t e | z w Ba s n o [c i d y s t r y b u c j i d e l t a D i r a c a
"
´( x ) f ( x ) d x = f ( 0 )
- "
p o p o d s t a w i e n i u f ( x ) = e - 2 Ài x u
"
F { ´( x ) } = ´( x ) e - 2 Ài x u d x = 1
- "
T r a n s f o r m a t a f u n k c j i g r z e b i e n i o w e j
" " "
1 k
F
´( t - n T ) Ð!Ò! ´ f - = e - i 2 Àf n T
T T
n = - " n = - "
k = - "
W y z n a c z y m y t e r a z t r a n s f o r m a t F o u r i e r a f u n k c j i G a u s s a . P r z y p o m n i j m y
2
w a r t o [ c a Bk i z f u n k c j i e - ±x - p a t r z w z ó r 1 . 6 4 i n a s t p n e
"
2 À
e - ±x d x = .
±
- "
L i c z y m y t r a n s f o r m a t z e w z o r u
"
2
G ( u ) = e - a x e - i 2 Àx u d x ( 1 . 6 9 )
- "
Z a u w a |m y , |e w y k Ba d n i k i m o |n a p o Bc z y i z a p i s a n a s t p u j c o
2
2 Àu 2
i 2 Àx u Àu Àu 2 i Àu
- a x 2 - - + = - a x + - .
a a a a a
S t o s u j c p o d s t a w i e n i e
i Àu
x + = ²,
a
m a m y
"
2 À2 u 2 2 À À2 u 2
a a
G ( u ) = F { e - a x } = e - e - a ² d ² = e - .
a
- "
3 0 R O Z D Z I A A 1 . P O D S T A W Y M A T E M A T Y C Z N E
F u n k c j a G a u s s a j e s t f u n k c j w Ba s n t r a n s f o r m a c j i F o u r i e r a . P r z y j m u j c a = À,
m a m y
2 2
F
e - Àx Ð!Ò! e - Àu .
2 2 2
D o s t r z e g a j c , |e e - À( x + y 2 ) = e - Àx e - Ày i w y z n a c z a j c t r a n s f o r m a t d w u w y m i -
a r o w z o d w o Ba n i e m d o w Ba [c i w o [c i f u n k c j i s e p a r o w a l n y c h , o t r z y m u j e m y
2
F 2 D 2 2
x
e - À( x + y 2 ) Ð!Ò! e - À( f + f y ) .
W p r z y p a d k u g d y t r a n s f o r m u j e m y f u n k c j G a u s s a d o p r z e s t r z e n i l i c z b f a l o w y c h
k = 2 Àu , ( l u b c z s t o [c i k o Bo w y c h É) , l i c z y m y t r a n s f o r m a t z e w z o r u
"
2
G ( k ) = e - a x e - i k x d x ( 1 . 7 0 )
- "
T e r a z w y k Ba d n i k i m o |n a z a p i s a n a s t p u j c o
2
i k x i k k 2
- a x 2 - = - a x + - .
a 2 a 4 a
P o d s t a w i a j c
i k
x + = ²,
2 a
d o s t a j e m y
"
2 k 2 2 À k 2
4 a 4 a
G ( k ) = F { e - a x } = e - e - a ² d ² = e - .
a
- "
F u n k c j a G a u s s a j e s t f u n k c j w Ba s n w t y m p r z y p a d k u f u n k c j w Ba s n t r a n s f o r -
1
m a c j i F o u r i e r a d o p r z e s t r z e n i l i c z b f a l o w y c h k p r z y p r z y j c i u a = , c o d a j e
2
"
x 2 k 2
F
2 2
e - Ð!Ò! 2 Àe - ,
"
g d z i e 2 À j e s t w a r t o [c i w Ba s n . P r z y w y z n a c z a n i u t r a n s f o r m a t y o d w r o t n e j
u z y s k a m y t a k i s a m c z y n n i k . D l a u t r z y m a n i a w Ba s n o [c i F - 1 { F { f } } = f w p r o w a d z a n y
j e s t w d e f i n i c j i t r a n s f o r m a c j i F o u r i e r a d o p r z e s t r z e n i l i c z b f a l o w y c h k c z y n n i k
n o r m u j c y . S t d m a m y
"
1
F ( k ) = F { f ( x ) } = " f ( x ) e - i x k d x
À
- " ( 1 . 7 1 )
"
1
F - 1 { F ( k ) } = " F ( k ) e i x k d k
À
- "
i a n a l o g i c z n i e
"
1
F ( É) = F { f ( x ) } = " f ( x ) e - i x Éd x
À
- " ( 1 . 7 2 )
"
1
F - 1 { F ( É) } = " F ( É) e i x Éd É
À
- "
1 . 4 . T R A N S F O R M A C J A F O U R I E R A 3 1
1 . 4 . 3 T w i e r d z e n i a F o u r i e r o w s k i e
F u n k c j e s e p a r o w a l n e
J e |e l i d w u w y m i a r o w f u n k c j p r z e d s t a w i m o |n a j a k o i l o c z y n f u n k c j i j e d n o w y m i -
a r o w y c h
h ( x , y ) = f ( x ) g ( y ) ,
t o j e j d w u w y m i a r o w a t r a n s f o r m a t a j e s t i l o c z y n e m o d p o w i e d n i c h t r a n s f o r m a t
H ( u , v ) = F ( u ) G ( v ) .
T w i e r d z e n i e u m o |l i w i a w y z n a c z e n i e w i e l u t r a n s f o r m a t d w u w y m i a r o w y c h .
T r a n s f o r m a t a p r o s t o k t a w d w u w y m i a r a c h p r e z e n t o w a n a j e s t n a r y s . 1 . 8 .
a ) b ) c )
d ) e ) f )
R y s u n e k 1 . 8 : D w u w y m i a r o w a f u n k c j a s e p a r o w a l n a p r z e d s t a w i o n a n a r y s . c ) i
j e j t r a n s f o r m a t a F o u r i e r a r y s . f ) . a ) ( x / a ) , b ) ( y / b ) , c ) f u n k c j a s e p a r o w a l n a
( x / a ) ( y / b ) , d ) s i n c ( a x ) , e ) s i n c ( b y ) , f ) f u n k c j a s e p a r o w a l n a s i n c ( a x ) s i n c ( b y )
F
N a r y s . 1 . 8 p r z e d s t a w i o n o w k o l u m n a c h p a r y F o u r i e r o w s k i e ( x / a ) Ð!Ò!
F F
a s i n c ( a x ) , ( y / b ) Ð!Ò! b s i n c ( b y ) i ( x / a ) ( y / b ) Ð!Ò! a b s i n c ( a x ) s i n c ( b y ) .
F u n k c j e s e p a r o w a l n e M o |n a p r z e d s t a w i a w n i e k a r t e z j a Ds k i c h u k Ba d a c h w s p ó Br z d -
n y c h . W u k Ba d z i e b i e g u n o w y m
g ( r , ¸) = g R ( r ) g ¸( ¸)
3 2 R O Z D Z I A A 1 . P O D S T A W Y M A T E M A T Y C Z N E
D e f i n i c j e t r a n s f o r m a c j i F o u r i e r a r o z s z e r z y m o |n a d o w y |s z y c h w y m i a r ó w .
W w i e l u w y m i a r a c h t w i e r d z e n i e o f u n k c j a c h s e p a r o w a l n y c h p r z y j m u j e n a s t p u -
j c p o s t a . J e |e l i
h ( x 1 , . . . , x N + M ) = f ( x 1 , . . . , x N ) g ( x N + 1 , . . . , x N + M ) ,
t o
H ( u 1 , . . . , u N + M ) = F ( u 1 , . . . , u N ) G ( u N + 1 , . . . , u N + M ) .
J a k o w i c z e n i e w a r t o r o z p a t r z y p r z y k Ba d y t r a n s f o r m a t n a s t p u j c y c h f u n k c j i :
" p r o s t o k t w d w u w y m i a r a c h , k t ó r y u z y s k u j e m y j a k o i l o c z y n f u n k c j i ( x / a ) ( y / b )
( r y s . 1 . 8 ) .
" d e l t a D i r a c a w d w u w y m i a r a c h - t r a k t o w a n a j a k o i l o c z y n d w u d e l t j e d -
n o w y m i a r o w y c h
" p r o s t a w d w u w y m i a r a c h - t r a k t o w a n a j a k o i l o c z y n ´( x ) i f u n k c j i s t a Be j
1 ( y )
" p r o s t a w t r z e c h w y m i a r a c h - t r a k t o w a n a j a k o i l o c z y n ´( x , y ) i f u n k c j i s t a Be j
1 ( z )
" p Ba s z c z y z n a w t r z e c h w y m i a r a c h - t r a k t o w a n a j a k o i l o c z y n ´( z ) i f u n k c j i
s t a Be j 1 ( x , y )
" r e g u l a r n y u k Ba d p u n k t ó w w d w u w y m i a r a c h - i l o c z y n c o m b ( x ) i c o m b ( y )
" u k Ba d r ó w n o l e g By c h p Ba s z c z y z n w t r z e c h w y m i a r a c h - j a k o i l o c z y n c o m b ( z )
i 1 ( x , y ) ( r y s . 1 . 9 )
R y s u n e k 1 . 9 : P r z y k Ba d p a r y F o u r i e r o w s k i e j w t r z e c h w y m i a r a c h
K o l e j n e t w i e r d z e n i a f o r m u Bu j e m y n a p r z e m i e n n i e d l a p r z y p a d k u t r a n s f o r -
m a c j i j e d n o i d w u w y m i a r o w e j . N a w s t p i e z a Bó |m y , |e d y s p o n u j e m y p a r a m i
F o u r i e r o w s k i m i w j e d n y m i d w u w y m i a r a c h
F F
f ( x ) Ð!Ò! F ( u ) i g ( x ) Ð!Ò! G ( u )
1 . 4 . T R A N S F O R M A C J A F O U R I E R A 3 3
o r a z
F F
f ( x , b ) Ð!Ò! F ( u , v ) i g ( x , b ) Ð!Ò! G ( u , v )
T w i e r d z e n i e o s k a l o w a n i u
Z a Bó |m y , |e s k a l u j e m y f u n k c j f ( x , y ) , m n o |c j e j a r g u m e n t y p r z e z a i b ,
u z y s k u j c f ( a x , b y ) . ( Z w r ó u w a g , |e n p . d l a a < 1 f u n k c j a j e s t r o z c i g a n a w
k i e r u n k u x a d l a a > 1 k u r c z y s i ) . T w i e r d z e n i e o s k a l o w a n i u o k r e [l a z a c h o w a n i e
o d p o w i e d n i e j t r a n s f o r m a t y F o u r i e r a
1
F { f ( a x , b y ) } = F ( u / a , v / b ) .
| a b |
T w i e r d z e n i e o p r z e s u n i c i u P r z e s u n i c i e f u n k c j i w d z i e d z i n i e x o "x
p o w o d u j e m o d u l a c j t r a n s f o r m a t y F o u r i e r a
F { f ( x - "x ) } = F ( u ) e - 2 Ài u "x .
S y m e t r y c z n y m d o p o p r z e d n i e g o j e s t t w i e r d z e n i e o m o d u l a c j i . T y m r a z e m
m o d u l a c j a f u n k c j h a r m o n i c z n o r y g i n a Bu w y w o Bu j e o d p o w i e d n i e p r z e s u n i c i e
t r a n s f o r m a t y .
F { f ( x ) e 2 Ài x "u } = F ( u - "u )
Z a s t o s o w a n i e : F u n k c j o n o w a n i e t w i e r d z e n i a o m o d u l a c j i d o s t r z e g a l n e j e s t w
t e c h n i k a c h p r z e k a z u r a d i o w e g o . M o w a i m u z y k a , p r z y w y s o k i e j j a k o [c i p r z e k a z u ,
w y m a g a j p a s m a c z s t o t l i w o [c i o s z e r o k o [c i o k . 2 0 k H z . T a k i e j e s t p a s m o s y g -
n a Bu g e n e r o w a n e g o w s t u d i o . W p r z e k a z i e r a d i o w y m s y g n a B a k u s t y c z n y t e n m o d -
u l o w a n y j e s t s y g n a Be m o c z s t o t l i w o [c i n o [n e j n p . 2 2 0 k H z d l a p r o g r a m u I n a
f a l a c h d Bu g i c h , a r z d u 1 0 0 M H z w p r z y p a d k u p a s m a F M . U k Ba d r e z o n a n s o w y
r a d i o o d b i o r n i k a d o s t r a j a m y d o c z s t o t l i w o [c i n o [n e j , n a s t p n i e j e s t o n d e m o d -
u l o w a n y i w z m a c n i a n y a r e z u l t a t t y c h d z i a Ba D s By s z y m y w g Bo [n i k u o d b i o r n i k a .
M o d u l a c j a i d e m o d u l a c j a p r z e s u w a j w i d m o s y g n a Bu a k u s t y c z n e g o o d p o w i e d -
n i o w g ó r i w d ó B b e z j e g o d e f o r m a c j i , d l a t e g o w s y g n a l e o d s Bu c h i w a n y m n i e
w y s t p u j d e f o r m a c j e .
T w i e r d z e n i e o r ó |n i c z k o w a n i u
F
f 2 ( x ) Ð!Ò! 2 Ài u F ( u )
D o w ó d :
"
F { f 2 ( x ) } = f 2 ( x ) e - 2 Ài x u d x
- "
C a Bk u j e m y p r z e z c z [c i
"
"
= f ( x ) e - 2 Ài t u - ( - 2 Ài u ) f ( x ) e - 2 Ài x u d x = ( 2 Ài u ) F ( u ) .
- "
- "
P i e r w s z y s k Ba d n i k c a Bk i p r z e z c z [c i z n i k a b o f ( x ) ’! 0 d l a x ’! ", n a
p o d s t a w i e w a r u n k u z b i e |n o [c i c a Bk i 1 . 4 1 .
O g ó l n i e m a m y
d f ( n ) ( x )
F
F Ð!Ò! ( 2 Ài u ) n F ( u )
d n x
3 4 R O Z D Z I A A 1 . P O D S T A W Y M A T E M A T Y C Z N E
T r a n s f o r m a c j a F o u r i e r a s t o s o w a n a j a k o n a r z d z i e r o z w i z y w a n i a r ó w n a D r ó |n i c z k o w y c h .
Z a u w a |m y , |e z a s t o s o w a n i e t r a n s f o r m a c j i d o t a k i e g o r ó w n a n i a z a m i e n i a j e w
r ó w n a n i e a l g e b r a i c z n e n a w i d m o p o s z u k i w a n e j f u n k c j i F ( u ) . P r z y k Ba d e m m o |e
b y n i e j e d n o r o d n e r ó w n a n i e f a l o w e - t j . r ó w n a n i e , w k t ó r y m p o p r a w e j s t r o n i e
z a d a j e m y n p . f u n k c j e o k r e [l a j c r o z k Ba d zr ó d Ba w c z a s i e i p r z e s t r z e n i [ p r z y k Ba d ] .
C i e k a w o s t k a : T w i e r d z e n i e o r ó |n i c z k o w a n i u u m o |l i w i a , p r z e z a n a l o g i , d e f i n -
i o w a n i e p o c h o d n y c h d o w o l n e g o r z d u s
f ( s ) = F - 1 { ( 2 Ài u ) s F ( u ) }
T a k z d e f i n i o w a n a p o c h o d n a r z d u n i e c a Bk o w i t e g o p r z e s t a j e b y o p e r a c j l o k a l n
- d o j e j w y z n a c z e n i a w w y b r a n y m p u n k c i e x 0 n i e w y s t a r c z y z n a j o m o [ t e j f u n k c j i
w n a j b l i |s z y m o t o c z e n i u x 0 .
P r z y k Ba d : Z a s t o s o w a n i e t e g o t w i e r d z e n i a d o r o z w i z a n i a r ó w n a n i a f a l o w e g o
o m ó w i o n e j e s t w [ B u t 0 6 ] s t r . 5 9 .
T w i e r d z e n i e o m o c y
" "
g ( t ) h "( t ) d t = G ( f ) H "( f ) d f ( 1 . 7 3 )
- " - "
T w i e r d z e n i e P a r s e v a l a
" "
| g ( x , y ) | 2 d x d y = | G ( u , v ) | d u d v ( 1 . 7 4 )
- " - "
T w i e r d z e n i e o s p l o c i e
"
F g ( ¾, ·) h ( x - ¾, y - ·) d ¾d · = G ( u , v ) H ( u , v ) ( 1 . 7 5 )
- "
Z a s t o s o w a n i e T w i e r d z e n i e o s p l o c i e p o d p o w i a d a m o |l i w o [ r e a l i z a c j i s p l o t u
d w u f u n k c j i z z a s t o s o w a n i e m t r a n s f o r m a t y F o u r i e r a w e d l e a l g o r y t m u
f —" g = F - 1 { F G } . ( 1 . 7 6 )
T w i e r d z e n i e o a u t o k o r e l a c j i
"
F g ( ¾, ·) g "( x - ¾, y - ·) d ¾d · = | G ( u , v ) | 2 ( 1 . 7 7 )
- "
w i c z e n i a
1 . U d o w o d n i j t w i e r d z e n i e o s k a l o w a n i u w j e d n y m w y m i a r z e d o k o n u j c w d e f i n i c j i
t r a n s f o r m a c j i p o d s t a w i e n i a n o w y c h z m i e n n e j t y p u s = a x . R o z w a | p r z y p a d k i
a > 0 o r a z a < 0 .
2 . U d o w o d n i j t w i e r d z e n i e o p r z e s u n i c i u d o k o n u j c p o d s t a w i e n i a n o w y c h
z m i e n n y c h t y p u s = x - "x .
1 . 5 . P R Ó B K O W A N I E I F U N K C J E D Y S K R E T N E 3 5
1 . 5 P r ó b k o w a n i e i f u n k c j e d y s k r e t n e
P r ó b k o w a n i e s y g n a Bu c i g Be g o f ( t ) o p i s a m o |n a j a k o i l o c z y n f u n k c j i g r z e b i -
e n i o w e j o r a z t e g o s y g n a Bu . W p o m i a r a c h w y g l d a t o t a k , |e w u s t a l o n y c h o d s t -
p a c h c z a s u m i e r z o n a j e s t w a r t o [ c h w i l o w a s y g n a Bu , a p r z e t w o r n i k a n a l o g o w o -
c y f r o w y w y z n a c z a j e j w a r t o [ l i c z b o w . S y g n a B w p o s t a c i c i g u w a r t o [c i a p r o b o w a n y c h
n a z y w a s i s y g n a Be m d y s k r e t n y m f D ( t ) .
R y s u n e k 1 . 1 0 : S y g n a B c i g By i p r ó b k o w a n y
S y g n a B f ( t ) p r ó b k o w a n y c o T s ( i n d e k s s p o c h o d z i o d s a m p l i n g - p r ó b k o w a n i e )
o p i s u j e i l o c z y n z f u n k c j p r ó b k u j c , k t ó r a w p r z y p a d k u i d e a l n y m m a p o s t a
f u n k c j i g r z e b i e n i o w e j
f D ( x ) = f ( x ) I I I ( x / T s )
Z t w i e r d z e n i a o s p l o c i e m a m y
F D ( f x ) = F { f D } = F ( f x ) —" I I I ( f x / f s ) / f s , ( 1 . 7 8 )
g d z i e F ( f x ) - w i d m o f u n k c j i f ( x ) . P a m i t a m y , |e s p l o t z p r z e s u n i t d e l t D i -
r a k a p r z e s u w a f u n k c j . W i d m o s y g n a Bu p r ó b k o w a n e g o j e s t s u p e r p o z y c j w i e l u
p o p r z e s u w a n y c h w i d m s y g n a Bu o r y g i n a l n e g o l u b z w i d m k o l e j n y c h r z d ó w . P r z y j m i -
j m y , |e w i d m o F ( f x ) j e s t o g r a n i c z o n e p r z e z c z s t o t l i w o [ g r a n i c z n f g . c o o z -
n a c z a , |e F ( f x ) = 0 g d y | f x | > f g . W i d m o t a k i e g o s y g n a Bu p o s p r ó b k o w a n i u
p r z e d s t a w i a r y s . 1 . 1 1 .
W i e l o k r o t n e p o w t ó r z e n i e w i d m a o r y g i n a l n e g o s y g n a Bu w w i d m i e s y g n a Bu
s p r ó b k o w a n e g o 1 . 7 8 s y g n a l i z u j e m o |l i w o [ o d t w o r z e n i a o r y g i n a l n e g o s y g n a Bu z
t a k i e g o w i d m a . W y s t a r c z y w y c i z e z w i e l o k r o t n i o n e g o w i d m a c z [ o d p o w i a d a -
j c f u n k c j i c i g Be j . W y c i c i a w i d m a z e r o w e g o r z d u F 0 ( f x ) d o k o n a m o |n a p r z y
p o m o c y o d p o w i e d n i e j f u n k c j i p r o s t o k t n e j
f x
F 0 ( f x ) = F D ( f x )
2 f g
3 6 R O Z D Z I A A 1 . P O D S T A W Y M A T E M A T Y C Z N E
R y s u n e k 1 . 1 1 : W i d m o s y g n a Bu c i g Be g o ( u g ó r y ) o r a z p r ó b k o w a n e g o z e z b y t
n i s k ( p o [r o d k u ) i w Ba [c i w i e d o b r a n ( u d o Bu ) c z s t o t l i w o [c i p r ó b k o w a n i a
W i d z i m y z r ó w n a n i a 1 . 7 8 i r y s . 1 . 1 1 , |e p r z y s p e Bn i e n i u w a r u n k u
f s > 2 f g
u z y s k u j e m y w w y n i k u t a k i e j o p e r a c j i
F 0 ( f x ) a" F ( f x ) .
W t a k i m p r z y p a d k u m o |l i w e j e s t w i e r n e o d t w o r z e n i e c i g Be g o s y g n a Bu o r y g i n a l -
n e g o p o p r z e z w y z n a c z e n i e t r a n s f o r m a t y o d w r o t n e j .
w i c z e n i e : P o k a |, |e s p l o t f u n k c j i f ( x ) o w i d m i e o g r a n i c z o n y m c z s t o [c i
f g , z f u n k c j s i n c n i e z m i e n i a k s z t a Bt u f u n k c j i f ( x ) , t j . f ( x ) —" s i n c ( x / a ) , p o d
w a r u n k i e m |e a < 1 / f g . W s k a z ó w k a : Z a s t o s u j t w i e r d z e n i e o s p l o c i e .
W p r z y p a d k u g d y
f s < 2 f g ,
w w y c i t y m w i d m i e p o j a w i a j s i w k Ba d y p o c h o d z c e o d s s i e d n i c h r z d ó w
w i d m o w y c h . N a k Ba d a n i e s i k o l e j n y c h r z d ó w w i d m a s y g n a Bu p o p r ó b k o w a n i u
o k r e [l a n e j e s t j a k o e f e k t a l i a s i n g u . E f e k t t e n p o w o d u j e z a k Bó c e n i a w o d t w o r -
z o n y m s y g n a l e .
T w i e r d z e n i e o p r ó b k o w a n i u , o k r e [l a n e t e | j a k o w a r u n e k N y q u i s t a -
S h a n n o n a m ó w i , |e c i g By s y g n a B f ( t ) o p a [m i e o g r a n i c z o n y m c z s t o t l i w o [c i
f g , m o |e z o s t a o d t w o r z o n y w i e r n i e p o d w a r u n k i e m , |e z o s t a n i e s p r ó b k o w a n y z
c z s t o [c i
f s > 2 f g .
W p r z y p a d k u d w u w y m i a r o w y m c i g Ba f u n k c j a g ( x , y ) p r ó b k o w a n a j e s t p r z e z
u k Ba d p u n k t ó w I I I ( x / X ) I I I ( y / Y ) . R e z u l t a t p r ó b k o w a n i a g D ( x , y ) j e s t f u n k c j
1 . 5 . P R Ó B K O W A N I E I F U N K C J E D Y S K R E T N E 3 7
d y s k r e t n
g D ( x , y ) = g ( x , y ) [ I I I ( x / X ) I I I ( y / Y ) ] .
W i d m o t a k s p r ó b k o w a n e g o s y g n a Bu
G D ( x , y ) = G ( f x , f y ) —" F { I I I ( x / X ) I I I ( x / Y ) } ,
g d z i e —" o z n a c z a s p l o t w d w u w y m i a r a c h . O d w o Bu j c s i d o p o p r z e d n i c h r o z w a |a D
( t r a n s f o r m a c j a f u n k c j i I I I i f u n k c j e s e p a r o w a l n e ) m o |e m y w y k a z a , |e
F { I I I ( x / X ) I I I ( y / Y ) } = X Y I I I ( X f x ) I I I ( Y f y ) .
Z a p i s u j c
" "
x y
X Y I I I ( X f x ) I I I ( Y f y ) = ´ f x - , f y -
N M
n = - " m = - "
i p a m i t a j c , |e s p l o t G z k a |d z p r z e s u n i t y c h o ( n / X , m / Y ) d e l t d a j e o d p o w i e d -
n i o p r z e s u n i t f u n k c j G , u z y s k u j e m y
" "
x y
G s ( f x , f y ) = G f x - , f y - .
N M
n = - " m = - "
W i d m o o r y g i n a l n e j f u n k c j i p o w i e l a n e j e s t w i c z o d p o w i e d n i m i p r z e s u n i c i a m i
w d w u w y m i a r a c h . P r z y j m i j m y , |e f u n k c j a g ( x , y ) p o s i a d a o g r a n i c z o n e w i d m o
w d w u w y m i a r a c h , t j . z n i k a g d y | f x | > B x , l u b | f y | > B y ( B j a k b o r d e r ) .
A n a l o g i c z n i e j a k w j e d n y m w y m i a r z e , w a r u n k i e m r o z s e p a r o w a n i a w i d m s k Ba d -
o w y c h w G s j e s t b y 1 / X > 2 B x o r a z 1 / Y > 2 B y . G d y w i d m a s r o z d z i e l o n e , t o
m o |n a z w i d m a G s p o b r a t y l k o w i d m o z e r o w e g o r z d u w y k o n u j c m n o |e n i e
f x f y
G 0 ( f x , f y ) = , G s ( f x , f y ) .
2 B x 2 B y
O d w r o t n a , d w u w y m i a r o w a t r a n s f o r m a c j a z t e g o w i d m a u m o |l i w i a o d t w o r z e n i e
f u n k c j i g ( x , y ) b e z j a k i c h k o l w i e k s t r a t c z y d e f o r m a c j i .
w i c z e n i e n u m e r y c z n e : Z a p i s z w z ó r n a p r |k i o d p o w i a d a j c e s t r u k t u r
p By t c e s t r e f o w e j F r e s n e l a i s p r ó b u j u z y s k a d w u w y m i a r o w y o b r a z t e j s t r u k t u r y
n a e k r a n i e k o m p u t e r a . Z w i k s z a j r o z m i a r t e j s t r u k t u r y n a e k r a n i e l u b / i z w i k -
s z a j w a r t o [ p a r a m e t r u w p By w a j c e g o n a g s t o [ p r |k ó w . P o s t a r a j s i z a o b s e r -
w o w a p o j a w i e n i e s i e f e k t ó w a l i a s i n g u .
Z j a w i s k o m o i r e
F u n k c j a
É1 - É1 É1 + É1
2 c o s ( É1 t ) c o s ( É2 t ) = c o s + c o s
2 2
3 8 R O Z D Z I A A 1 . P O D S T A W Y M A T E M A T Y C Z N E
R y s u n e k 1 . 1 2 : P r z y k Ba d e f e k t u a l i a s i n g u w d w u w y m i a r a c h . A l i a s i n g - w i d o c z n y
j a k o l o k a l n e p o j a w i a n i e s i k o l o r ó w w o b r a z i e c z a r n o - b i a Be g o w z o r u w p o s t a c i
s i a t k i F r e s n e l a . E f e k t w y n i k a z e s k o Dc z o n e g o o d s t p u p o m i d z y b a r w n y m i p i k -
s l a m i n a e k r a n i e . K o l o r y p o j a w i a j s i w m i e j s c a c h g d z i e l o k a l n a c z s t o [
s t r u k t u r y b l i s k a j e s t o d w r o t n o [c i o d s t p u p o m i d z y p i k s l a m i . ( O b r a z t e n s f o -
t o g r a f o w a n y b y B n a e k r a n i e t e l e w i z o r a w C h i n a c h . C z a r n o - b i a Ba s t r u k t u r a F r e s -
n e l o w s k a p o r u s z a Ba s i n a e k r a n i e . B a r w n e p l a m y p r z e m i e s z c z a By s i w r a z z n i ,
p r z y c z y m k o l o r p l a m y o s c y l o w a B p e r i o d y c z n i e w c z a s i e
.
1 . 5 . P R Ó B K O W A N I E I F U N K C J E D Y S K R E T N E 3 9
R y s u n e k 1 . 1 3 : E f e k t a l i a s i n g u u z y s k a n y n u m e r y c z n i e w d w u w y m i a r a c h . W
p r o g r a m i e z a d e k l a r o w a n y z o s t a B u k Ba d l i n i i z b i e g a j c y c h s i d o p u n k t u p o z a
o b r a z e m . W p e w n y m m i e j s c u l i n i e z b l i |a j s i d o s i e b i e n a o d l e g Bo [ m n i e j s z
n i | k r o k p r ó b k o w a n i a . W m i e j s c u g d z i e w i d o c z n a j e s t s z a r a p l a m a - c z s t o [
p r z e s t r z e n n a l i n i i p o k r y w a s i z c z s t o [c i p r ó b k o w a n i a . P o d o b n e e f e k t y d o s t r z e c
m o |n a w t e l e w i z j i w t r a k c i e o g l d a n i a t r a n s m i s j i s p o r t o w y c h z b a n e r a m i r e k l a m -
o w y m i w y k o n a n y m i z d i o d L E D s z c z e g ó l n i e w u j c i a c h w k t ó r y c h o d s t p
p o m i d z y o b r a z a m i d i ó d n a m a t r y c y k a m e r y z b l i |a s i d o o d l e g Bo [c i p o m i d z y
e l e m e n t a m i m a t r y c y
.
4 0 R O Z D Z I A A 1 . P O D S T A W Y M A T E M A T Y C Z N E
R y s u n e k 1 . 1 4 : D o [w i a d c z e n i e Y o u n g a - d y f r a k c j a f a l i n a d w u w s k i c h s z c z e l i n a c h
i i n t e r f e r e n c j a o b s e r w o w a n a n a e k r a n i e . S c h e m a t w y z n a c z a n i a r ó |n i c y d r ó g i n -
t e r f e r u j c y c h p r o m i e n i . ( F o t o g r a f i a r y s u n k u z p o d r c z n i k a s z k o By [r e d n i e j , u z u -
p e Bn i o n a o k i l k a d o d a t k o w y c h o z n a c z e D)
1 . 6 K i l k a p r z y k Ba d ó w
P o n i |e j p r z e d s t a w i m y k i l k a e l e m e n t a r n y c h p r z y k Ba d ó w o b i e k t ó w d w u w y m i a r o w y c h
i o d p o w i a d a j c y c h i m o b r a z ó w d y f r a k c y j n y c h w d a l e k i m p o l u . P r z y k Ba d y t r a k t u -
j e m y j a k o w i c z e n i e u m i e j t n o [c i d o s t r z e g a n i a o b e c n o [c i r e l a c j i F o u r i e r o w s k i c h
w d y f r a k c j i i o b r a z o w a n i u . P r z e p r o w a d z i m y t u u p r o s z c z o n a n a l i z , b e z o d w o By -
w a n i a s i d o c a Be k d y f r a k c y j n y c h , k t ó r e p r z e d s t a w i m y w k o l e j n y c h r o z d z i a Ba c h .
W k a |d y m p r z y p a d k u p o s t a r a m y s i o d n i e [ u z y s k a n e r e z u l t a t y d o o d p o w i e d -
n i c h t r a n s f o r m a t F o u r i e r a o b i e k t ó w . O b o k z g o d n o [c i k s z t a Bt ó w z w r a c a b d z i e m y
u w a g n a s k a l o w a n i e p o m i d z y r o z m i a r a m i g e o m e t r y c z n y m i i p o Bo |e n i e m ( x , y )
c h a r a k t e r y s t y c z n y c h m a k s i m ó w w o b r a z i e d y f r a k c y j n y m , a c z s t o [c i a m i p r z e s t r z e n -
n y m i ( f x , f y ) z a w a r t y m w p r z e d m i o c i e .
1 . 6 . 1 D o [w i a d c z e n i e Y o u n g a
D o [w i a d c z e n i e Y o u n g a p r z e p r o w a d z o n e z o s t a Bo w p i e r w s z y c h l a t a c h X I X w .
U z n a j e s i j e z a p o d s t a w o w y e k s p e r y m e n t w y k a z u j c y f a l o w n a t u r [w i a t Ba . W
d o [w i a d c z e n i u t y m [w i a t Bo d o p r o w a d z a n e j e s t w z g o d n e j f a z i e d o d w u s z c z e l i n
( o t w o r ó w ) , n a k t ó r y c h u l e g a d y f r a k c j i . W d a l e k i m p o l u L d ( r y s . 1 . 6 . 1 ) [w i a t Bo
p r z e c h o d z c e p r z e z o b i e s z c z e l i n y i n t e r f e r u j e . W y p r o w a d z i m y w z ó r n a p o Bo |e n i e
m a k s i m ó w k o l e j n y c h r z d ó w .
1 . 6 . K I L K A P R Z Y K AA D Ó W 4 1
Z r y s u n k u w i d z i m y , |e
" = r 2 - r 1 = d s i n ( ±) .
W a r u n e k n a n - t e m a k s i m u m i n t e r f e r e n c j i
"m a x = n »,
a n a m i n i m u m
"m i n = n » + »/ 2 ,
g d z i e n c a Bk o w i t e . P o k a | s Bu s z n o [ p o w y |s z y c h w a r u n k ó w i n t e r f e r e n c j i p r z e s u w a -
j c w z g l d e m s i e b i e d w i e f a l e i d o k o n u j c i c h s u p e r p o z y c j i .
W p r o w a d z a j c w a r u n e k n a n - t e m a k s i m u m i n t e r f e r e n c j i d o w z o r u n a r ó |n i c
d r ó g , u z y s k u j e m y
d s i n ( ±n ) = n »,
a s t d w a r u n e k n a k t o w e p o Bo |e n i e m a k s i m u m
»
s i n ±n = n . ( 1 . 7 9 )
d
A n a l o g i c z n e w y p r o w a d z e n i e p r z e p r o w a d z i m o |n a d l a u k Ba d u w i e l u s z c z e l i n ,
c z y l i t z w . s i a t k i d y f r a k c y j n e j o s t a Be j s i a t k i d . W s k a z a n e p o w y |e j w a r u n k i i n -
t e r f e r e n c j i d o t y c z p a r s s i e d n i c h s z c z e l i n w s i a t c e . D l a s i a t k i d y f r a k c y j n e j o b o w -
i z u j e t e n s a m w z ó r o k r e [l a j c y p o Bo |e n i a m a k s i m ó w . O b e c n o [ w i e l u s z c z e l i n
p o w o d u j e , |e m a k s i m a s w t y m p r z y p a d k u w s k i e .
S t o s u j c p a r e s z c z e l i n , l u b s i a t k d y f r a k c y j n m o |n a d o k o n y w a p o m i a r ó w
p o d s t a w i a j c
y n
s i n ±n =
2
y n + L 2
. G d y z n a m y d Bu g o [ f a l i », t o n a p o d s t a w i e p o m i a r u p o Bo |e D m a k s i m ó w w p o l u
i n t e r f e r e n c y j n y m w y z n a c z y m o |n a o d l e g Bo [c i p o m i d z y s z c z e l i n a m i
2
» y n + L 2
d = n = n » .
s i n ( ±n ) y n
M o |n a t e |, p r z y z n a n e j w a r t o [c i d w y z n a c z a d Bu g o [ f a l i
d s i n ( ±n ) d x n
» = = .
2
n
n y n + L 2
D l a m a By c h k t ó w s i n ( ±) H" y / L ( d o k Ba d n o [ t e g o p r z y b l i |e n i a s p r a w d z i m o |n a
2
z a p i s u j c n p . t r z y p i e r w s z e w y r a z y s z e r e g u T a y l o r a f u n k c j i f ( y ) = y n + L 2 ) ) .
P r z y j m u j c t o p r z y b l i |e n i e m o |e m y z a p i s a w a r u n e k n a p o Bo |e n i e n - t e g o m a k -
s i m u m
y n »
= n .
L d
4 2 R O Z D Z I A A 1 . P O D S T A W Y M A T E M A T Y C Z N E
W p r o w a d z a m y p o j c i e c z s t o [c i p r z e s t r z e n n e j
f y = 1 / d
. Z w r ó u w a g , |e w d z i e d z i n i e c z a s u c z s t o t l i w o [ j e s t o d w r o t n o [c i o k r e s u f =
1 / T . O k r e s e m s i a t k i d y f r a k c y j n e j j e s t o d l e g Bo [ d p o m i d z y j e j s z c z e l i n a m i w i c
c z s t o [ p r z e s t r z e n n a j e s t z d e f i n i o w a n a p r a k t y c z n i e t a k s a m o j a k c z s t o t l i w o [,
t y l e |e n i e w d z i e d z i n i e c z a s u , a w p r z e s t r z e n i . D l a t e g o j e d n o s t k n i e j e s t H z =
1 / s , a o d w r o t n o [ m e t r a 1 / m ( m i l i m e t r a 1 / m m ) . P r z y k Ba d o w o : j e |e l i l i n i e
s i a t k i o d d a l o n e s o n p . 0 . 0 2 m m , t o m ó w i m y |e c z s t o [ p r z e s t r z e n n a
s i a t k i w y n o s i 5 0 l i n i i n a m i l i m e t r .
Z a u w a |m y , |e p o w p r o w a d z e n i u c z s t o [c i p r z e s t r z e n n e j d o w z o r u n a p o Bo |e n i a
m a k s i m ó w o t r z y m u j e m y ( u w a g a - w t y m m i e j s c u w p o p r z e d n i e j w e r s j i
d o k u m e n t u b y B b Bd ! ! ! )
m a x
y m a x = »L f y
l u b
y m a x
m a x
f y =
»L
. Z a p a m i t a j t o s k a l o w a n i e p o m i d z y w a r t o [c i c z s t o [c i p r z e s t r z e n n e j , a p o Bo |e -
n i e m p u n k t u r e p r e z e n t u j c e g o j n a e k r a n i e . ( W p r z y p a d k u z a s t o s o w a n i a
z a s i a t k s o c z e w k i , z a s t p u j e m y o d l e g Bo [ L p r z e z o g n i s k o w f 2 ) .
1 . 7 D y f r a k c j a n a s z c z e l i n i e
S t o s u j c t r a n s f o r m a c j F o u r i e r a d o f u n k c j i p r o s t o k t n e j o s z e r o k o [c i a - ( x / a )
u z y s k u j e m y j e j t r a n s f o r m a t w p o s t a c i a s i n c ( a f x ) . ( U m i e j t n o [ w y l i c z e n i a
t r a n s f o r m a t y F o u r i e r a f u n k c j i p r o s t o k t n e j o s z e r o k o [c i a j e s t o b o w -
i z k o w a ! ! ! . ) D y f r a k c j a [w i a t Ba w d a l e k i m p o l u j e s t o p i s a n a p o p r z e z p r z e s k a l o w a n
t r a n s f o r m a t F o u r i e r a t r a n s m i t a n c j i t ( x , y ) . J e |e l i p o j e d y n c z a s z c z e l i n a n i e
j e s t n i e s k o Dc z e n i e w s k a , t o r o z k Ba d p o l a d y f r a k c y j n e g o w d a l e k i m p o l u o p i s u j e
f u n k c j a t y p u s i n c .
P o n i |e j w y z n a c z y m y s k a l t e g o o b r a z u d y f r a k c y j n e g o p o s Bu g u j c s i p r o s t y m
s c h e m a t e m g e o m e t r y c z n y m . W t y m c e l u w y z n a c z y m y p o Bo |e n i e p i e r w s z e g o m i n -
i m u m w p o l u d y f r a k c y j n y m t a k i e j s z c z e l i n y .
W t y m c e l u r o z p a t r u j e m y d w a p r o m i e n i e w y c h o d z c e z p u n k t ó w [r o d k o w y c h
o b y d w u p o Bó w e k s z c z e l i n y ( r y s . 1 . 7 ) . Z e r o w a n i e a m p l i t u d y i n t e r f e r e n c y j n e j n a s t p u j e
g d y r ó |n i c a i c h d r ó g w y n o s i »/ 2 , c z y l i
a / 2 s i n ( ±0 ) = »/ 2 ,
c o p r o w a d z i d o
»
s i n ±0 = ( 1 . 8 0 )
a
1 . 7 . D Y F R A K C J A N A S Z C Z E L I N I E 4 3
R y s u n e k 1 . 1 5 : S z c z e l i n a o s z e r o k o [c i a i p a r a p r o m i e n i o d l e g By c h o a / 2 .
M o |e m y w y k a z a , |e w t y m m i e j s c u i n t e r f e r e n c j a w s z y s t k i c h p r o m i e n i o p u s z c z a -
j c y c h s z c z e l i n d a a m p l i t u d z e r o w . W y s t a r c z y u Bo |y w s z y s t k i e p r o m i e n i e
w y c h o d z c e z e s z c z e l i n y p o d k t e m ±m i n w p a r y w z a j e m n i e o d l e g Be o a / 2 .
P o s t a w z o r u 1 . 8 0 j e s t b a r d z o p o d o b n a d o w z o r u d l a p a r y s z c z e l i n 1 . 7 9 .
Z w r ó j e d n a k u w a g , |e t a m c h o d z i Bo o p o Bo |e n i a m a k s i m ó w , a d o z n a c z a Bo
o d l e g Bo [ p o m i d z y d w i e m a s z c z e l i n a m i , t u w z ó r d o t y c z y m i n i m u m , a a - t o s z e -
r o k o [ s z c z e l i n y .
O b s e r w u j c o b r a z d y f r a k c y j n y t e j s z c z e l i n y n a e k r a n i e , w o d l e g Bo [c i L z a o b -
y 0
s e r w u j e m y t o m i n i m u m w p u n k c i e y 0 . P o d s t a w i a j c s i n ±m i n H" u z y s k u j e m y
L
w a r u n e k n a p o Bo |e n i e p i e r w s z e g o b o c z n e g o m i n i m u m
»
y 0 = L ( 1 . 8 1 )
a
F u n k c j i p r o s t o k t n e j o s z e r o k o [c i j e d n o s t k o w e j o d p o w i a d a t r a n s f o r m a t a F o u r i -
e r a w p o s t a c i f u n k c j i s i n c :
s i n ( Àf y )
( y ) ”! s i n c ( f y ) =
Àf y
. P i e r w s z y p u n k t z e r o w a n i a t e j f u n k c j i w y s t p u j e w p u n k c i e | f y | = 1 . P r o s t o k t
o s z e r o k o [c i a o p i s a n y j e s t f u n k c j ( y ) . Z t w i e r d z e n i a o s k a l o w a n i a w y n i k a
a
z w i z e k
y s i n ( Àa f y )
”! | a |
a Àa f y
. P i e r w s z e z e r o t e j f u n k c j i w y s t p u j e w m i e j s c u z e r o w a n i a f u n k c j i s i n u s , a w i c
d l a Àa f x = À l u b
f y 0 = 1 / a ( 1 . 8 2 )
4 4 R O Z D Z I A A 1 . P O D S T A W Y M A T E M A T Y C Z N E
R y s u n e k 1 . 1 6 : S i a t k a d y f r a k c y j n a o s t a Be j d . O g n i s k o w a n i e p r o m i e n i w p i e r -
w s z y m r z d z i e d y f r a k c y j n y m . P a m i t a j m y , |e [w i a t Bo u l e g a d y f r a k c j i t a k |e w
i n n e r z d y d y f r a k c y j n e 0 , - 1 , . . . .
P o r ó w n a j m y p o Bo |e n i e p u n k t u z e r o w e g o n a e k r a n i e 1 . 8 1 i j e g o o d p o w i e d n i k a
w d z i e d z i n i e c z s t o [c i p r z e s t r z e n n y c h 1 . 8 2 . Z g o d n o [ o b u w z o r ó w u z y s k u j e m y
p r z e z p o d s t a w i e n i e
y 0
f y 0 = .
»L
Z g o d n o [ p o m i d z y o b r a z e m o p t y c z n y m n a e k r a n i e ( x , y ) w d a l e k i m p o l u , a
r o z k Ba d e m w d z i e d z i n i e c z s t o [c i p r z e s t r z e n n y c h ( f x , f y ) w y z n a c z a n y m z t r a n s -
f o r m a c j i F o u r i e r a , s t o s u j c z w i z e k
x
f x = .
»L
y
f y = .
»L
T a r e l a c j a w y s t p i Ba t e | w n a s z y c h r o z w a |a n i a c h n a t e m a t d o [w i a d c z e n i a Y o u n g a ,
a p r z e d e w s z y s t k i m w i |e o n a p o s t a c a Bk i d y f r a k c y j n e j w d a l e k i m p o l u
z e w z o r e m o k r e [l a j c y m d w u w y m i a r o w t r a n s f o r m a t F o u r i e r a .
1 . 8 S i a t k a d y f r a k c y j n a i s o c z e w k a
U m i e s z c z a m y s i a t k d y f r a k c y j n o o d l e g Bo [c i m i d z y s z c z e l i n a m i d p r z e d s o c z e w k
o o g n i s k o w e j f 2 . S i a t k a o [w i e t l o n a j e s t [w i a t Be m m o n o c h r o m a t y c z n y m o d Bu g o [c i
f a l i ».
S t o s u j c a r g u m e n t a c j a n a l o g i c z n d o p r z e d s t a w i o n e j p r z y o k a z j i o m a w i a n i a
d o [w i a d c z e n i a Y o u n g a , m o |e m y p o k a z a , |e w a r u n k i e m w z m o c n i e n i a i n t e r f e r -
1 . 8 . S I A T K A D Y F R A K C Y J N A I S O C Z E W K A 4 5
e n c y j n e g o w k i e r u n k u o k r e [l o n y m p r z e z k t ± j e s t
»
s i n ( ±) = .
d
W i e m y , |e r ó w n o l e g Ba w i z k a [w i a t Ba o g n i s k o w a n a j e s t w p u n k c i e w p Ba s z c z y zn i e
o g n i s k o w e j . Z r y s u n k u w i d a , |e p o Bo |e n i e t e g o p u n k t u o k r e [l a r e l a c j a
y m a x
= t a n ( ±)
f 2
. D l a m a By c h k t ó w s i n ( ±) H" t a n ( ±) . Z p o w y |s z e g o m o |e m y w y p r o w a d z i
z w i z e k n a p o Bo |e n i e m a k s i m u m
y m a x »
=
f 2 d
Z a p i s a l i [m y z n a k r ó w n o [c i , a n i e p r z y b l i |e n i a , b o p r z y o d p o w i e d n i e j k o n s t r u k c j i
s o c z e w k i ( a w Ba [c i w i e o b i e k t y w u ) r ó w n o [ z a c h o d z i t a k |e d l a w i k s z y c h k t ó w .
Z a u w a |m y , |e s i a t k a o s t a Be j d z a w i e r a p o d s t a w o w c z s t o [ p r z e s t r z e n n f y =
1
. M a m y w i c
d
y m a x = »f 2 f y .
R e l a c j a s k a l o w a n i a p o m i d z y c z s t o [c i a m i p r z e s t r z e n n y m i f y , a p o Bo |e n i e m m a k -
s i m u m j e s t p o d o b n a d o u z y s k i w a n e j p o p r z e d n i o , z t r ó |n i c , |e o d l e g Bo [
p r z e d m i o t - e k r a n L z a s t p i Ba o g n i s k o w a s o c z e w k i f 2 . T a r e l a c j a w i |e d o w o l n e
c z s t o [c i p r z e s t r z e n n e ( f x , f y ) s t r u k t u r w y s t p u j c y c h w p r z e d m i o c i e z p o Bo |e -
n i e m ( x , y ) o d p o w i a d a j c y c h i m p u n k t ó w w p Ba s z c z y zn i e o g n i s k o w e j
1
( f x , f y ) = ( x 2 , y 2 ) .
»f 2
T r a n s m i t a n c j a s i a t k i s i n u s o i d a l n e j s i a t k a d y f r a k c y j n a o p i s a n a j e s t f u n k c j t ( x , y ) =
0 . 5 [ 1 + c o s ( 2 Ày / d ) ] , k t ó r e j w i d m o F o u r i e r o w s k i e s k Ba d a s i z t r z e c h d e l t D i r a c a
( u z a s a d n i j ) . U m i e s z c z a j c t a k s i a t k p r z e d s o c z e w k z o b a c z y l i b y [m y t r z y j a s n e
p u n k t y w p Ba s z c z y zn i e o g n i s k o w e j s o c z e w k i . S i a t k a b i n a r n a ( z Bo |o n a z p a s k ó w
c z a r n y c h i b i a By c h ) o p i s a n a j e s t o k r e s o w f u n k c j p r o s t o k t n . P a m i t a m y , |e
s z e r e g F o u r i e r a t a k i e j f u n k c j i z a w i e r a w i e l e w y r a z ó w w k o l e j n y c h , n i e p a r z y s t y c h
r z d a c h . T r a n s f o r m a t a F o u r i e r a m a t s a m s t r u k t u r i s k Ba d a s i z s z e r e g u
r ó w n o m i e r n i e r o z Bo |o n y c h d e l t D i r a c a w Bc z n i e z a n a l o g i c z n y m i d o t y c h z a -
w a r t y c h w o b r a z i e d y f r a k c y j n y m s i a t k i s i n u s o i d a l n e j . M ó w i m y , |e o k r e s o w a
f u n k c j a p r o s t o k t n a o p i s a n a j e s t p r z e z w y r a z s t a By p l u s f u n k c j a k o s i n u s o c z s -
t o [c i p o d s t a w o w e j i s z e r e g u f u n k c j i t y p u k o s i n u s o c o r a z w y |s z y c h c z s t o [c i a c h .
T a s u p e r p o z y c j a d o s t r z e g a l n a j e s t t e | w w i d m i e s i a t k i p r o s t o k t n e j .
O m ó w i o n e r e l a c j e p r z e k o n u j , |e o b r a z w p Ba s z c z y zn i e o g n i s k o w e j s o c z e w k i
o d p o w i a d a p r z e s k a l o w a n e j t r a n s f o r m a c i e F o u r i e r a o b i e k t u . D a l e j b d z i e m y m ó w i
w p r o s t , |e w p Ba s z c z y zn i e o g n i s k o w e j o b s e r w u j e m y T r a n s f o r m a t F o u r i e r a t r a n s -
m i t a n c j i . N a z y w a m y n a w e t t p Ba s z c z y z n w p r o s t p Ba s z c z y z n F o u r i e r o w s k .
4 6 R O Z D Z I A A 1 . P O D S T A W Y M A T E M A T Y C Z N E
1 . 9 T r a n s m i t a n c j a t ( x , y ) p r z e d s o c z e w k
W t y m p u n k c i e o d s y Ba m d o w y k Ba d u i p o d r c z n i k ó w , w k t ó r y c h p r o p o n u j
o d s z u k a w z ó r n a d y f r a k c j w d a l e k i m p o l u . P r o s z s o b i e t e n w z ó r p r z e p i s a
i m i e z e s o b . O c z e k u j , |e w z ó r n a d w u w y m i a r o w t r a n s f o r m a c j F o u r i e r a
u m i e m y p r z y w o Ba z p a m i c i . W o m ó w i e n i u n a l e |y u m i e j t n i e p o s Bu g i w a s i
p o j c i e m c z s t o [c i p r z e s t r z e n n y c h w d w u w y m i a r a c h ( f x , f y ) i u m i e t o p o j c i e
p o w i z a e l e m e n t a r n f u n k c j h a r m o n i c z n t y p u c o s [ 2 À( x f x + y f y ) ] .
1 . 1 0 U k Ba d o p t y c z n y 4 f
B u d u j e m y u k Ba d z e s t a w i o n y z d w u i d e n t y c z n y c h s o c z e w e k o o g n i s k o w e j f 2 k a |d a .
U k Ba d z e s t a w i o n y j e s t j a k n a r y s . 1 . 1 7 - w s z y s t k i e e l e m e n t y ( r z e c z y w i s t e i u m o w n e )
p Ba s z c z y z n a p r z e d m i o t u , s o c z e w k a p i e r w s z a , p Ba s z c z y z n a F o u r i e r o w s k a , d r u g a
s o c z e w k a i p Ba s z c z y z n a o b r a z o w a o d l e g Be s p a r a m i o f 2 , a w i c o c a Bk o w i t e j
d Bu g o [c i 4 f 2 . W u k Ba d z i e t y m m o |n a w y k r e [l i b i e g p r o m i e n i o d p u n k t u w
p Ba s z c z y zn i e p r z e d m i o t o w e j . W i d a , |e p u n k t y t e s k u p i a j s i p o n o w n i e w p Ba s z c z y zn i e
o b r a z o w e j , t w o r z c o b r a z o d w r ó c o n y o p o w i k s z e n i u - 1 .
W t y m s a m y m u k Ba d z i e r o z p a t r y w a d y f r a k c j [w i a t Ba n a s i a t c e d y f r a k c y j n e j
r y s . 1 . 1 8 . J a k p o k a z a l i [m y w p o p r z e d n i m p u n k c i e , w p Ba s z c z y zn i e o g n i s k o w e j
p i e r w s z e j s o c z e w k i p o j a w i s i j a s n e p u n k t y o d p o w i a d a j c e t r a n s f o r m a c i e p r z e d -
m i o t u . W d r u g i m e t a p i e , z a p Ba s z c z y z n F o u r i e r o w s k , [w i a t Bo r o z e j d z i e s i
s t o |k o w o z k a |d e g o z t y c h p u n k t ó w , a z a s o c z e w k u t w o r z y o d p o w i e d n i o n a c h y -
l o n e w i z k i r ó w n o l e g Be , k t ó r e i n t e r f e r o w a b d z e s o b w p Ba s z c z y zn i e o b r a -
z o w e j . M o |n a w y k a z a , |e s t r u k t u r a t a k u z y s k a n y c h p r |k ó w b d z i e i d e n t y c z n a
z s i a t k d y f r a k c y j n u m i e s z c z o n w p Ba s z c z y zn i e p r z e d m i o t o w e j . J e |e l i z g o d z -
i m y s i , |e d o w o l n a t r a n s m i t a n c j a t ( x , y ) u m i e s z c z o n a w p Ba s z c z y zn i e p r z e d -
m i o t o w e j d a j e s i p r z e d s t a w i w p o s t a c i s u p e r p o z y c j i s i a t e k s i n u s o i d a l n y c h , t o
k a |d y z t y c h k o m p o n e n t ó w o d t w a r z a n y j e s t w p Ba s z c z y zn i e o b r a z o w e j p o p r z e z
i n t e r f e r e n c j [w i a t Ba p o c h o d z c e g o z o d p o w i e d n i c h p u n k t ó w w p Ba s z c z y zn i e
F o u r i e r o w s k i e j . T a k n a s t p u j e w i e r n e , k o h e r e n t n e o d t w o r z e n i e p r z e d m i o t u w
o b r a z i e . ( B l o k o w a n i e p e w n y c h o b s z a r ó w w p Ba s z c z y zn i e F o u r i e r o w s k i e j u m o |l i -
w i a m o d y f i k a c j o b r a z u . Z a b i e g t a k i o k r e [l a m y j a k o f i l t r a c j w d z i e d z i n i e c z s -
t o [c i p r z e s t r z e n n y c h . ) P o j a w i a s i w i c d r u g a m e t o d a w y j a [n i e n i a d z i a Ba n i a
u k Ba d u o d w z o r o w u j c e g o , o b o k o d w z o r o w a n i a w y j a [n i o n e g o b i e g i e m p r o m i e n i
m o |e m y t Bu m a c z y f u n k c j o n o w a n i e t e g o u k Ba d u o d w o Bu j c s i d o d y f r a k c j i n a
p r z e d m i o c i e i d o i n t e r f e r e n c j i w o b r a z i e . O c z y w i [c i e t e n d r u g i s p o s ó b j e s t p e Bn i e j s z y
i b l i |s z y r z e c z y w i s t o [c i . P o n a d t o u j a w n i a m o |l i w o [ p r z e t w a r z a n i a i n f o r m a c j i
o b r a z o w e j p o p r z e z i n t e r w e n c j w p Ba s z c z y zn i e F o u r i e r o w s k i e j .
T r z e c i , b l i s k i d r u g i e m u , s p o s ó b m ó w i e n i a o f u n k c j o n o w a n i u p o w y |s z e g o u k Ba d u
o d w o Bu j e s i w p r o s t d o t r a n s f o r m a c j i F o u r i e r a . M a m y p r z e d m i o t t ( x , y ) a w
p Ba s z c z y zn i e o g n i s k o w e j p i e r w s z e j s o c z e w k i r o z k Ba d p r o p o r c j o n a l n y d o j e g o t r a n s -
f o r m a t y F { t } . K o l e j n a s o c z e w k a r e a l i z u j e t a k |e t r a n s f o r m a c j F o u r i e r a , m a m y
w i c w j e j p Ba s z c z y zn i e o g n i s k o w e j r o z k Ba d t y p u F { F { t } } . O d w o Bu j c s i d o
1 . 1 0 . U K AA D O P T Y C Z N Y 4 F 4 7
R y s u n e k 1 . 1 7 : B i e g p r o m i e n i w u k Ba d z i e o p t y c z n y m 4 f
d e f i n i c j i t r a n s f o r m a c j i i j e j o d w r o t n o [c i m o |n a p o k a z a , |e
F { F { t ( x , y ) } } = F - 1 { F { t ( - x , - y } } = t ( - x , - y ) ,
c o o z n a c z a , |e n a w y j [c i u d w u k r o t n i e w y k o n a n e j t r a n s f o r m a c j i F o u r i e r o w s k i e j
u z y s k u j e m y f u n k c j w e j [c i o w w p o w i k s z e n i u - 1 .
4 8 R O Z D Z I A A 1 . P O D S T A W Y M A T E M A T Y C Z N E
R y s u n e k 1 . 1 8 : I l u s t r a c j a o b r a z o w a n i a w p r o c e s o r z e k o h e r e n t n y m 4 f
1 . 1 1 . D Y F R A K C J A 4 9
1 . 1 1 D y f r a k c j a
R o z w a |m y r ó w n a n i e f a l i g e n e r o w a n e j p r z e z zr ó d Bo p u n k t o w e d l a f a l i m o n o c h r o -
m a t y c z n e j o k r e [l o n e j p r z e z l i c z b f a l o w k = 2 À/ »
"2 È + k 2 È = ´( r )
g d z i e ´( r ) j e s t f u n k c j d e l t a o k r e [l o n w t z r e c h w y m i a r a c h . S y m e t r i a z a g a n i e n i a
u m o |l i w i a p o s z u k i w a n i e r o z w i z a n i a w e w s p ó Br z d n y c h s f e r y c z n y c h
1 "2
"2 = ( r È) .
r "r 2
R o z w i z a n i e m j e s t s k a l a r n a f u n k c j a G r e e n a
e i k r
È( r ) = ,
4 Àr
k t ó r a j e s t m n o |o n a p r z e z c z y n n i k c z a s o w y e - i Ét F u n k c j a G r e e n a d l a |r ó d Ba
p o Bo |o n e g o w p u n k c i e r 2 o p i s a n a j e s t p o p r z e z
2
e i k | r - r |
È( r | r 2 ) =
4 À| r - r 2 |
O z n a c z a j c p o l e o p t y c z n e w a p e r t u r z e w e j [c i o w e j j a k o u ( x 2 , y 2 ) , s t o s u j c z a s a d
s u p e r p o z y c j i , m o |e m y w y z n a c z y p o l e o p t y c z n e w p u n k c i e r z a a p e r t u r p o p r z e z
c a Bk p o w i e r z c h n i o w
e x p ( i k | r - r 2 | )
u ( r ) " U ( x 2 , y 2 ) d x 2 d y 2 ,
4 À| r - r 2 |
£
Æ
g d z i e z a s t o s o w a n o r 2 = x 2 x + y 2 w.
Æ
r 2 = x 2 x + y 2 w
W d a l e k i m p o l u f u n k c j a G r e e n a m o |e b y z a p i s a n a u p r a s z c z a s i d o p o s t a c i
e i k r
È( r | r 2 ) = e x p [ - i k ( r 2 · Æ
r ) ]
4 Àr
g d z i e
Æ = s i n ¸ c o s Æx + s i n ¸ s i n Æ w + c o s ¸‘
r Æ
W d a l e k i m p o l u m a m y
e i k r
u ( r ) " u ( x 2 , y 2 ) e x p ( - i k ( r 2 · Æ d x 2 d y 2 ,
r ) )
4 Àr
£
P o d s t a w i a j c
Æ
r 2 = x 2 x + y 2 w
5 0 R O Z D Z I A A 1 . P O D S T A W Y M A T E M A T Y C Z N E
m a m y w d a l e k i m p o l u
e i k r
u ( r ) " u ( x 2 , y 2 ) e x p ( - i k s i n ¸( c o s Æx 2 + s i n Æy 2 ) ) d x 2 d y 2 .
4 Àr
£
D a l e j s t o s u j c
k x = k s i n ¸ c o s Æ
i
k y = k s i n ¸ s i n Æ.
T e r a z r o z k Ba d w d a l e k i m p o l u o p i s a n y j e s t w z o r e m
e i k r
u ( x 2 , y 2 ) " u ( x 2 , y 2 ) e x p ( - i ( k x x 2 + k y y 2 ) ) d x 2 d y 2 .
4 Àr
£
W z ó r t e n , z d o k Ba d n o [c i d o c z y n n i k a f a z o w e g o i s t a Be j p r z e d c a Bk o k r e [l a
d w u w y m i a r o w t r a n s f o r m a c j f u n k c j i u ( x , y ) . P o d s t a w i e n i e [ k x , k y ] = 2 À[ f x , f y ]
p r o w a d z i d o p o s t a c i , k t ó r s t o s u j e m y t u c z [c i e j
e i k r
u ( x 2 , y 2 ) " u ( x 2 , y 2 ) e x p ( - 2 Ài ( f x x 2 + f y y 2 ) ) d x 2 d y 2 .
4 Àr
£
.
1 . 1 2 . S P E K T R U M K T O W E 5 1
1 . 1 2 S p e k t r u m k t o w e
W d r u j c a , h a r m o n i c z n a f a l a p Ba s k a r e p r e z e n t o w a n a j e s t p r z e z w y r a |e n i e
x
U e - i ( Ét - k æ%r ) = U e - i ( Ét - k x - k y y - k z z ) . ( 1 . 8 3 )
W p r z y p a d k u f a l i [w i e t l n e j U j e s t a m p l i t u d f a l i . P r z y j m u j e m y , |e w y r a |e n i e
U U " r e p r e z e n t u j e n a t |e n i e [w i a t Ba . A m p l i t u d z w i z a m o |n a z p o l e m e l e k -
t r y c z n y m U = E / · i m a g n e t y c z n y m U = H ·, g d z i e · r e p r e z e n t u j e i m p e d a n c j
o [r o d k a . N a t |e n i e j e s t m i a r e n e r g i p r z e c h o d z c e j w j e d n o s t k o w y m c z a s i e p r z e z
j e d n o s t k o w p o w i e r z c h n i I = U U " = E H ".
S k Ba d o w e w e k t o r a f a l o w e g o s p e Bn i a j r e l a c j
2
2 À
2 2 2
k x + k y + k z = k 2 = .
»
D l a o k r e [l o n e j c z s t o t l i w o [c i É w Ba s n o [c i d y s p e r s y j n e o [r o d k a w y z n a c z a j m o d u B
w e k t o r a f a l o w e g o k = É/ c . W z a p i s i e f a l i p o m i j a m y c z y n n i k c z a s o w y . F a l p Ba s k
w p Ba s z c z y zn i e ( x , y , 0 ) z a p i s a m o |n a
x
U e 2 Ài ( f x + f y y ) , ( 1 . 8 4 )
k x k y
g d z i e f x = , f y = t o c z s t o [c i p r z e s t r z e n n e . R o z k Ba d f a l i w p Ba s z c z y zn i e z
2 À 2 À
o k r e [l a w z ó r
1
2 2
x
»2
U e 2 Ài ( f x + f y y ) e 2 Ài - f x - f y z , ( 1 . 8 5 )
b o c z s t o [c i p r z e s t r z e n n e z w i z a n e s r e l a c j
1
2 2
f z = - f x - f y
»2
. W p r o w a d z a j c k o s i n u s y k i e r u n k o w e f a l i m a m y
f x = c o s ( ±x ) / », f y = c o s ( ±y ) / », f z = c o s ( ±z ) / » ( 1 . 8 6 )
J e |e l i p r z e z r o c z e t ( x , y ) o [w i e t l o n e j e s t f a l p Bs k o a m p l i t u d z i e A , t o p o l e
o p t y c z n e t u | z a n i m
u 0 ( x , y ) = A t ( x , y ) .
O z n a c z m y t r a n s f o r m a t F o u r i e r a t e g o p o l a j a k o U 0 ( f x , f y ) = A F { t } . M o |e m y
w i c z a p i s a t e r a z p o l e u 0 j a k o s u p e r p o z y c j
"
x
u 0 ( x , y ) = U 0 ( f x , f y ) e i 2 À( x f + y f y ) d f x d f y . ( 1 . 8 7 )
- "
P o l e t o p r o p a g u j e d a l e j w p ó Bp r z e s t r z e D z > 0 i m o |n a j e w t e j p ó Bp r z e s t r z e n i
r o z p a t r y w a j a k o s u p e r p o z y c j f a l p Ba s k i c h ( ) . W p Ba s z c z y zn i e z = 0 s u p e r p o z y -
c j a t a j e s t i d e n t y c z n a z 1 . 8 7 . K a |d a z p Ba s k i c h f a l s k Ba d o w y c h w p Ba s z c z y zn i e
z = 0 o p i s a n a j e s t p o p r z e z
x
U 0 ( f x , f y ) e i 2 À( x f + y f y ) ,
5 2 R O Z D Z I A A 1 . P O D S T A W Y M A T E M A T Y C Z N E
R y s u n e k 1 . 1 9 : S k Ba d o w e w e k t o r a f a l o w e g o i k t y z w i a z a n e z k o s i n u s a m i k i e r u n k -
o w y m i .
a w p Ba s z c z y zn i e z > 0 , a n a l o g i c z n i e d o 1 . 8 5
1
2 2
x
»2
U ( f x , f y ; z ) = U 0 ( f x , f y ) e i 2 À( x f + y f y ) e i 2 Àz - f x - f y .
S u p e r p o z y c j a f a l p Ba s k i c h w p Ba s z c z y zn i e z
"
1
2 2
x
»2
u ( x , y ; z ) = U 0 ( f x , f y ) e i 2 Àz - f x - f y e i 2 À( x f + y f y ) d f x d f y .
- "
Z a u w a |m y , |e u z y s k a l i [m y m e t o d w y z n a c z a n i a p o l a d y f r a k c y j n e g o z a p r z e z r o c z e m
t ( x , y ) z a p o [r e d n i c t w e m d w u w y m i a r o w e j t r a n s f o r m a c j i F o u r i e r a
"
1
2 2
x
»2
u ( x , y ; z ) = A F { t ( x , y ) } e i 2 Àz - f x - f y e i 2 À( x f + y f y ) d f x d f y . ( 1 . 8 8 )
- "
Z a u w a |m y , |e w i d m o p r z e z r o c z a m o d y f i k o w a n e j e s t , w r a z z o d l e g Bo [c i z , p r z y
c z y m e w o l u c j a k a |d e j z a m p l i t u d s k Ba d o w y c h o p i s a n a p r o s t y m w z o r e m
1
2 2
»2
U ( f x , f y ; z ) = A F { t ( x , y ) } e i 2 Àz - f x - f y .
P o w y |s z e f o r m u By o k r e [l a j e w o l u c j s p e k t r u m w t r a k c i e p r o p a g a c j i . Z w r ó m y
u w a g , |e f a l e s k Ba d o w e , w y s t p u j c e w s u p e r p o z y c j i 1 . 8 8 m o g b y f a l a m i
1 . 1 3 . S O C Z E W K A J A K O E L E M E N T R E A L I Z U J C Y P R Z E K S Z T A AC E N I E F O U R I E R A 5 3
1
2 2 2 2
p r o p a g u j c y m i , g d y d l a f x + f y < 1 / » i f z = - f x + f y j e s t w a r t o [c i
»2
r z e c z y w i s t . D l a o k r e [l o n e j d Bu g o [c i f a l i s t r u k t u r a d e t e r m i n u j e k t p r o p a g a c j i
w i z k i
1
2 2
c o s ( ±z ) = » - f x + f y .
»2
P r z e z r o c z e m o |e z a w i e r a s t r u k t u r y o o k r e s i e p r z e s t r z e n n y m k r ó t s z y m n i | d Bu -
2 2
g o [ f a l i . W t e d y f x + f y > 1 / » i s k Ba d o w a z - t o w a w e k t o r a c z s t o [c i p r z e s t r z e n -
2 2 2 2
2 2
n y c h s t a j e s i u r o j o n a f z = i f z , g d z i e f z = ± f x + f y - 1 / »2 . Z d w u m o |l i -
w o [c i w y b i e r a m y t e n z n a k , k t ó r y p o w o d u j e , |e r o z w i z a n i e p r z y b i e r a p o s t a f a l i
z a n i k a j c e j
2 2
x
z
e i 2 À( f x + f y y ) e - 2 Àf .
T e g o t y p u r o z w i z a n i a p o j a w i a j s i n p . c i e n k i e j w w a r s t w i e n a z e w n t r z s z k Ba ,
w p r z y p a d k u e f e k t u c a Bk o w i t e g o w e w n t r z n e g o o d b i c i a . O b e c n o [ p o l a f a l z a n i k a -
j c y c h n a l e |y z a w s z e r o z p a t r y w a z a j m u j c s i p o l e m f a l o w y m w o d l e g Bo [c i a c h
m n i e j s z y c h l u b p o r ó w n y w a l n y c h z d Bu g o [c i f a l i o d p r z e s z k ó d .
Z a s t p u j c c z s t o [c i k o s i n u s a m i k i e r u n k o w y m i 1 . 8 6 m a m y
c o s ±z
»
U ( c o s ±x / », c o s ±y / »; z ) = A F { t ( x , y ) } e i 2 Àz .
1 . 1 3 S o c z e w k a j a k o e l e m e n t r e a l i z u j c y p r z e k -
s z t a Bc e n i e F o u r i e r a
1 . 1 3 . 1 T r a n s m i t a n c j a s o c z e w k i
R y s u n e k 1 . 2 0 : S o c z e w k a
5 4 R O Z D Z I A A 1 . P O D S T A W Y M A T E M A T Y C Z N E
R o z p a t r z y m y s o c z e w k s k u p i a j c o w s p ó Bc z y n n i k u z a Ba m a n i a n . J e j g r u b o [
o p i s u j e f u n k c j a "( x , y ) . G r u b o [ w y n o s i w c e n t r u m "0 . Z m i a n a f a z y n a s o c z e w c e ,
l i c z o n a p o m i d z y p Ba s z c z y z n a m i s t y c z n y m i d o j e j w i e r z c h o Bk ó w ( r y s . 1 . 2 0 , w y n o s i
Æ( x , y ) = k n "( x , y ) + k [ "0 - "( x , y ) ] ,
g d z i e k n "( x , y ) - f a z a w p r o w a d z a n a p r z e z s z k Bo , a k [ "0 - "( x , y ) ] - f a z a z w i z a n a
z p r z e j [c i e m p r z e z p o z o s t a B w a r s t w p o w i e t r z n . T r a n s m i t a n c j a s o c z e w k i o p i s a n a
j e s t f u n k c j f a z o w
t s ( x , y ) = e x p [ i k "0 ] e x p [ i k ( n - 1 ) "( x , y ) ] .
G r u b o [ s o c z e w k i o p o w i e r z c h n i a c h s f e r y c z n y c h o k r e [l o n y c h p r o m i e n i a m i R 1 i
R 2 o p i s u j e f u n k c j a
2 2
R 1 - ( x 2 - y 2 ) R 2 - ( x 2 - y 2 )
"( x , y ) = "0 - R 1 1 - + R 2 1 -
2 2
R 1 R 2
R o z w a |a j c o b s z a r w p o b l i |u o s i s o c z e w k i ( o b s z a r p a r a k s j a l n y ) , g d z i e x 2 + y 2 < <
| R 1 | , | R 2 | , p o w y |s z e w y r a |e n i e r o z p i s a m o |n a w s z e r e g T a y l o r a . U w z g l d n i a j c
p i e r w s z e w y r a z y t e g o r o z p i s a n i a u z y s k u j e m y p r z y b l i |e n i e
x 2 + y 2 1 1
"( x , y ) = "0 - - .
2 R 1 R 2
T r a n s m i t a n c j a s o c z e w k i
x 2 + y 2 1 1
t s ( x , y ) = e x p [ i k n "0 ] e x p - i k ( n - 1 ) - .
2 R 1 R 2
P o r ó w n u j c p o w y |s z y w z ó r z e w z o r e m s o c z e w k o w y m
1 1 1
= ( n - 1 ) - ,
f R 1 R 2
u z y s k u j e m y f u n k c j t r a n s m i t a n c j i s o c z e w k i w p o s t a c i
i k
t s ( x , y ) = e x p - ( x 2 + y 2 ) ,
2 f 2
g d z i e p o m i n i t o s t a By c z y n n i k e x p ( i k n "0 ) .
1 . 1 3 . 2 P o l e o p t y c z n e w p Ba s z c z y zn i e o g n i s k o w e j s o c z e w k i
P r z e z r o c z e o t r a n s m i t a n c j i t ( x 1 , y 1 ) o [w i e t l o n e j e s t f a l p Ba s k , m o n o c h r o m a t y -
c z n o d Bu g o [c i f a l i » 1 . 1 3 . 1 . D l a t a k i e g o p r z e d m i o t u w y z n a c z y m y r o z k Ba d u 2 ( x 2 , y 2 )
p o l a o p t y c z n e g o w p Ba s z c z y zn i e o g n i s k o w e j s o c z e w k i . O b l i c z a n i e r o z p o c z n i e m y
1 . 1 3 . S O C Z E W K A J A K O E L E M E N T R E A L I Z U J C Y P R Z E K S Z T A AC E N I E F O U R I E R A 5 5
R y s u n e k 1 . 2 1 : S c h e m a t o p t y c z n e j r e a l i z a c j i p r z e k s z t a Bc e n i a F o u r i e r a
o d o p i s a n i a k o Dc o w e g o e t a p u p r o p a g a c j i p o p r z e z c a Bk d y f r a k c y j F r e s n e l a d l a
z = f
e x p ( i k f ) i k
2
u 2 ( x 2 , y 2 ) = e x p ( x 2 + y 2 ) ×
2
i »f 2 f
"
i k i k
× u + ( x , y ) e x p ( x 2 + y 2 ) e x p ( x x 2 + y y 2 ) d x d y
2 f f
- "
( 1 . 8 9 )
F u n k c j a u + ( x , y ) o z n a c z a r o z k Ba d p o l a t u | z a s o c z e w k , k t ó r y o p i s a n y j e s t p r z e z
i l o c z y n p o l a o p t y c z n e g o p r z e d n i u - ( x , y ) i f u n k c j i t r a n s m i t a n c j i a m p l i t u d o w o -
f a z o w e j s o c z e w k i
i k
u + ( x , y ) = P ( x , y ) e x p ( x 2 + y 2 ) u - ( x , y ) ,
2 f
g d z i e P ( x , y ) - f u n k c j a o t w o r o w a o p i s u j a c a o g r a n i c z e n i a o b s z a r u s o c z e w k i . M a m y
t e r a z
"
i k i k
2
u 2 ( x 2 , y 2 ) = C e x p ( x 2 + y 2 ) u - ( x , y ) e x p ( x x 2 + y y 2 ) d x d y
2
2 f f
- "
( 1 . 9 0 )
e x p ( i k f )
g d z i e s t a Ba C = , a f u n k c j a o t w o r o w a P ( x , y ) z o s t a Ba w Bc z o n a d o
i »f
u - ( x , y ) . W i d z i m y , |e r o z k Ba d p o l a o p t y c z n e g o w p Ba s z c z y zn i e o g n i s k o w e j j e s t
i d e n t y c z n y , z d o k Ba d n o [c i d o c z y n n i k a f a z o w e g o p r z e d c a Bk , z p r z e s k a l o w a n
t r a n s f o r m a t F o u r i e r a r o z k Ba d u u - ( x , y ) p r z e d s o c z e w k . W p r o w a d z a j c w p Ba s z c z y zn i e
x 2 y 2
o g n i s k o w e j p o d s t a w i e n i a f x = i f y = m a m y
f 2 » f 2 »
i k
2
u 2 ( f x , f y ) = C e x p ( x 2 + y 2 ) U 0 ( f x , f y )
2
2 f
5 6 R O Z D Z I A A 1 . P O D S T A W Y M A T E M A T Y C Z N E
g d z i e U 0 ( f x , f y ) = A F { t ( x , y ) } .
B i o r c p o d u w a g p r o p a g a c j s p e k t r u m o d p r z e z r o c z a d o p Ba s z c z y z n y s o c z e w k i
1
2 2
»2
U - ( f x , f y ; d ) = U 0 ( f x , f y ) e i 2 Àd - f x - f y .
R o z d z i a B 2
K o h e r e n c j a [w i a t Ba - w y b ó r
z a g a d n i e D
2 . 1 T w i e r d z e n i e V a n C i t t e r t a - Z e r n i k e g o
I n e n s y w n o [ w z a j e m n a o k r e [l a n a j e s t j a k o
J 1 2 a" u ( P 1 , t ) u "( P 2 , t ) ,
g d z i e o z n a c z a u [r e d n i e n i e w c z a s i e .
º 2 À
J ( Q 1 , Q 2 ) = I ( P 1 ) e x p - i ( r 2 - r 1 ) d S
¯ ¯
( ») 2 £ »
Z a k Ba d a j c , |e o d l e g Bo [ z j e s t z n a c z n i e w i k s z a o d r o z m i a r ó w p o p r z e c z n y c h
m o |e m y z a s t o s o w a p r z y b l i |e n i e
( x 1 - ¾) 2 + ( y 1 - ·) 2
r 1 = z 2 + ( x 1 - ¾) 2 + ( y 1 - ·) 2 <" z +
=
2 z
i
( x 2 - ¾) 2 + ( y 2 - ·) 2
r 2 = z 2 + ( x 2 - ¾) 2 + ( y 2 - ·) 2 <" z + .
=
2 z
W p r o w a d z a j c o z n a c z e n i a "x = x 2 - x 1 o r a z "y = y 2 - y 1 o r a z p r z y j m u j c , |e
n a t |e n i a [w i a t Ba I ( ¾, ·) m a w a r t o [ z e r o p o z a o b s z a r e m £ u z y s k u j e m y k o Dc o w
p o s t a t w i e r d z e n i a V a n C i t t e r t a - Z e r n i k e g o
ºe - i È " 2 À
J ( x 1 , y 1 ; x 2 , y 2 ) = I ( ¾, ·) e x p - i ( "x ¾ + "y ·) d ¾d ·,
¯ ¯
( ») 2 »z
- "
À 2 2
g d z i e f a z a È = ( x 2 + y 2 ) - ( x 2 + y 1 ) P o w y |s z e t w i e r d z e n i e w p o s t a c i z n o r -
¯ 2 1
»
m a l i z o w a n e j
2 À
e - i È " I ( ¾, ·) e x p - i »z ( "x ¾ + "y ·) d ¾d ·
¯
- "
µ ( x 1 , y 1 ; x 2 , y 2 ) = .
"
I ( ¾, ·) d ¾d ·
- "
5 7
5 8 R O Z D Z I A A 2 . K O H E R E N C J A ZW I A T AA - W Y B Ó R Z A G A D N I E C
<"
W s y t u a c j i g d y m o |n a p r z y j , |e I ( x 1 , y 2 ) I ( x 1 , y 2 ) , t o w a r t o [c | µ ( x 1 , y 1 ; x 2 , y 2 ) |
=
r e p r e z e n t u j e w i d o c z n o [ p r |k ó w g e n e r o w a n y c h p r z e z [w i a t Bo p o c h o d z c e o d
o b u p u n k t ó w .
P r z y k Ba d R o z p a t r z y m y p r z y k Ba d w y z n a c z e n i a z e s p o l o n e g o w s p ó Bc z y n n i k a k o -
h e r e n c j i µ 1 2 w d a l e k i m p o l u k o Bo w e g o zr ó d Ba n i e k o h e r e n t n e g o o p r o m i e n i u a
¾2 + ·2
I ( ¾, ·) = I 0 c i r c .
a
P a m i e t a m y , |e
2 2
¾2 + ·2 J 1 ( 2 Àa f x + f y )
F = a 2 .
a
2 2
a f x + f y
S t o s u j e m y s k a l o w a n i e c z s t o [c i p r z e s t r z e n n y c h
"x "y
f x = , f y = . P o d s t a w i a j c d o t w i e r d z e n i a V a n C i t t e r t a - Z e r n i c k e g o m a m y
¯ ¯
»z »z
J 1 ( 2 Àa ( "x ) 2 + ( "y ) 2 )
Àa 2 I 0 º
¯
»z
J ( x 1 , y 1 ; x 2 , y 2 ) = e - i È 2
¯ 2 Àa
( ») z
( "x ) 2 + ( "y ) 2
¯
»z
R o z m i a r y o b s z a r u k o h e r e n c j i s a n a l o g i c z n e d o r o z m i a r ó w p l a m e k d y f r a k -
c y j n y c h .
R o z d z i a B 3
D o d a t k i
3 . 0 . 1 F u n k c j e B e s s e l a
R y s u n e k 3 . 1 : F u n k c j e B e s s e l a p i e r w s z e g o r o d z a j u . I n d e k s o z n a c z a r z d f u n k c j i .
3 . 0 . 2 S p e k t r u m k t o w e f a l i s f e r y c z n e j
W p Ba s z c z y zn i e z = 0 s p e k t r u m k t o w e f a l i s f e r y c z n e j p o s i a d a p o s t a
" "
e x p ( i k x 2 + y 2 )
= d f x d f y S ( f x , f y ; z = 0 ) e x p ( i 2 À ( f x x + f y y ) ) .
x 2 + y 2
- " - "
( 3 . 1 )
5 9
6 0 R O Z D Z I A A 3 . D O D A T K I
g d z i e S ( f x , f y ) d w u w y m i a r o w a t r a n s f o r m a t a F o u r i e r a c e n t r a l n e g o p r z e k r o j u f a l i
s f e r y c z n e j
" "
e x p ( i k x 2 + y 2 )
S ( f x , f y , z = 0 ) = d x d y e x p ( - i 2 À ( f x x + f y y ) ) .
x 2 + y 2
- " - "
( 3 . 2 )
S t o s u j c k o s i n u s y k i e r u n k o w e ± = f x / », ² = f y / », w p r o w a d z a m y s p e k t r u m
k t o w e
" "
1 e x p ( i k x 2 + y 2 )
A ( ±, ²) = d x d y e x p ( - i 2 À ( f x x + f y y ) ) , ( 3 . 3 )
»2
x 2 + y 2
- " - "
l u b
" "
1 e x p ( i k x 2 + y 2 )
A ( ±, ²) = d x d y e x p ( - i k ( ±x + ²y ) ) ( 3 . 4 )
»2
x 2 + y 2
- " - "
3 . 1 F u n k c j e B e s s e l a
F u n k c j e B e s s e l a s t a n o w i r o z w i z a n i e r ó w n a n i a r ó |n i c z k o w e g o , o k r e [l a n e g o j a k o
r ó w n a n i e B e s s e l a
d 2 y d y
x 2 + x + ( x 2 - ±2 ) y = 0 ( 3 . 5 )
d x 2 d x
d l a r z e c z y w i s t e g o l u b z e s p o l o n e g o p a r a m e t r u ±. R ó w n a n i e B e s s e l a u z y s k u j e s i
w t r a k c i e r o z w i z y w a n i a r ó w n a n i a L a p l a c e a i r ó w n a n i a f a l o w e g o w e w s p ó Br z d -
n y c h c y l i n d r y c z n y c h l u b s f e r y c z n y c h . W p r z y p a d k u r o z w i z y w a n i a t y c h r ó w n a D
w e w s p ó Br z d n y c h c y l i n d r y c z n y c h u z y s k u j e s i f u n k c j e B e s s e l a r z d u c a Bk o w i t e g o
± = n . R o z w i z a n i a r ó w n a D w e w s p ó Br z d n y c h s f e r y c z n y c h d o s t a r c z a j f u n k c j e
1
r z d u p o Bó w k o w e g o ± = n + . R ó w n a n i e i f u n k c j e B e s s e l a p o j a w i a j s i w
2
r o z w i z a n i a c h z a g a d n i e D p r o p a g a c j i f a l w f a l o w o d a c h c y l i n d r y c z n y c h , p r o p a -
g a c j i c i e p Ba w p r e t a c h c y l i n d r y c z n y c h , w y z n a c z a n i a m o d ó w w Ba s n y c h d r g a D
c i e n k i e j m e m b r a n y k o Bo w e j i w z a g a d n i e n i a c h d y f r a k c j i n a o b i e k t a c h o s y m e t r i i
k o Bo w y c h .
P o n i |e j w y m i e n i a m y k i l k a w Ba [c i w o [c i f u n k c j i B e s s e l a .
F u n k c j a B e s s e l a r z e d u c a Bk o w i t e g o n d e f i n i o w a n a j e s t r ó w n a n i e m
À
1
J n ( x ) = e - i ( n Ä - x s i n Ä ) d Ä. ( 3 . 6 )
2 À
- À
F u n k c j e B e s s e l a r z d u c a Bk o w i t e g o s p e Bn i a j r e l a c j e J a c o b i - A n g e r a
"
e i z c o s Æ = i n J n ( z ) e i n Æ. ( 3 . 7 )
n = - "
R e l a c j a t a p r z y d a t n a j e s t w r o z p i s a n i u f a l i p Ba s k i e j w p o s t a c i s u m y f a l c y l i n d r y c z n y c h
[ B e s ] .
3 . 2 . W AA ZC I W O ZC I F U N K C J I P R O P A G A C J I F R E S N E L A H ( X , Y ; D ) 6 1
F u n k c j e B e s s e l a p i e r w s z e g o r o d z a j u , r z d u m o p i s u j e s z e r e g p o t g o w y
"
( - 1 ) n x 2 n + m
J m ( x ) = . ( 3 . 8 )
n ! ( m + n ) ! 2
n = 0
R ó w n a n i e r ó |n i c z o w e B e s s e l a j e s t r ó w n a n i e m r z d u d r u g i e g o . D l a d a n e g o
r z d u ± p o s i a d a w i c d r u g i e , l i n i o w o n i e z a l e |n e r o z w i z a n i e . R o z w i z a n i e t o
o k r e [l a n e j e s t j a k o f u n k c j a N e u m a n n a i z a w i e r a n i e o z n a c z o n o [ w z e r z e .
3 . 2 W Ba [c i w o [c i f u n k c j i p r o p a g a c j i F r e s n e l a h ( x , y ; d )
I d c z a [ C a t 7 4 ] z a j m i e m y s i w Ba [c i w o [c i a m i f u n k c j i o p o s t a c i
i k
h ( x , y ; d ) = e x p ( x 2 + y 2 ) ,
2 d
k t ó r a w y s t p u j e w z a g a d n i e n i a c h p r o p a g a c j i f a l i . W Ba [c i w o [c i t e j f u n k c j i p r z y -
d a t n e s w s z c z e g ó l n o [c i d l a o p i s u d y f r a k c j i w p o l u b l i s k i m - p r z y b i |e n i e F r e s n e l a .
3 . 2 . 1 C a Bk a
W y z n a c z m y c a Bk p d w ó j n
" "
i k
h ( x , y ; d ) = e x p [ ( x 2 + y 2 ) ] d x d y .
2 d
- " - "
Z a u w a |m y , |e p o w y |s z c a Bk m o |n a z a p i s a j a k o i l o c z y n
i k i k i k
e x p ( x 2 + y 2 ) d x d y = e x p x 2 d x e x p y 2 d y .
2 d 2 d 2 d
D l a k a |d e g o z c z y n n i k ó w i l o c z y n u m a m y
"
i k À2 d À2 d »
I = e x p x 2 d x = = = - i d »,
2 d i k i 2 À
i k
g d z i e o d w o Ba l i [m y s i d o w z o r u 1 . 4 . 2 z p o d s t a w i e n i e m ± = .
2 d
M a m y w i c
"
h ( x , y ; d ) d x d y = I 2 = i »d . ( 3 . 9 )
- "
3 . 2 . 2 T r a n s f o r m a t a F o u r i e r a
1
F { h ( x , y ; d ) } = i »d h ½x , ½y ; - .
»2 d
6 2 R O Z D Z I A A 3 . D O D A T K I
Z a p i s u j e m y t r a n s f o r m a c j d w u w y m i a r o w
"
i k
F { h ( x , y ; d ) } = e x p ( x 2 + y 2 ) e x p [ - i 2 À( x ½x + y ½y ) ] d x d y .
2 d
- "
W y k Ba d n i k i m o |n a p o Bc z y i d o s t r z e c m o |l i w o [ p r z e k s z t a Bc e n i a t y p u
i k i k i k »2 d
2
x 2 - i 2 Àx ½x = ( x - »½x d ) 2 - ½x .
2 d 2 d 2
M a m y
F { h ( x , y ; d ) }
"
i k »2 d i k
2 2
= e x p - ( ½x + ½y ) e x p ( x - »½x d ) 2 + ( y - »½y d ) 2 d x d y
2 2 d
- "
1
= i »d h ½x , ½y ; - .
»2 d
3 . 2 . 3 S p l o t d w u f u n k c j i t y p u h
i »d 1 d 2
h ( x , y ; d 1 ) —" h ( x , y ; d 2 ) = h ( x , y ; d 1 + d 2 ) , d 1 = - d 2 . ( 3 . 1 0 )
d 1 d 2
o r a z
h ( x , y ; 0 ) = h ( x , y ; d ) —" h ( x , y ; - d ) = | »d | 2 ´( x , y ) . ( 3 . 1 1 )
3 . 3 . D Y F R A K C J A B R A G G A 6 3
R o z p i s z e m y s p l o t o d w o Bu j c s i d o j e g o d e f i n i c j i
h ( x , y ; d 1 ) —" h ( x , y ; d 2 )
i k i k
= e x p ( s 2 + w 2 ) e x p [ ( x - s ) 2 + ( y - w ) 2 ] d s d w
2 d 1 2 d 2
i k
= e x p ( x 2 + y 2 )
2 d 2
i k 1 1 x y
× e x p + ( s 2 + w 2 ) e x p - 2 Ài s + w d s d w
2 d 1 d 2 »d 2 »d 2
d 1 d 2
= h ( x , y ; d 2 ) F h s , w ;
d 1 + d 2 , y
x
»d 2 »d 2
d 1 d 2 x y d 1 + d 2
= h ( x , y ; d 2 ) i » h , ; -
d 1 + d 2 2 2 »2 d 1 d 2
2 2
d 1 d 2 i k d 1 d 2 x y
= h ( x , y ; d 2 ) i » e x p »2 +
d 1 + d 2 - 2 d 1 + d 2 »d 2 »d 2
i »d 1 d 2 x y d 1 d 2
= h ( x , y ; d 2 ) h , ;
d 1 + d 2 »d 2 »d 2 d 1 + d 2
i »d 1 d 2 i k i k d 1
= e x p ( x 2 + y 2 ) - ( x 2 + y 2 )
d 1 + d 2 2 d 2 2 ( d 1 + d 2 ) d 2
i »d 1 d 2
= h ( x , y ; d 1 + d 2 )
d 1 + d 2
( 3 . 1 2 )
D l a w y k a z a n i a 3 . 1 1 , m o |e m y p o w t ó r z y p o w y |s z e w y p r o w a d z e n i e d 2 = - d 1 . P o
d r o d z e s k o r z y s t a m y z w Ba s n o [c i
h ( x , y ; ") = 1 .
h ( x , y ; d ) —" h ( x , y ; - d ) = h ( x , y ; d ) F { 1 } | ( , y
x
)
»d »d
x y x y
= h ( x , y ; d ) ´ , = ´ , = | »d | 2 ´( x , y ) .
»d »d »d »d
( 3 . 1 3 )
T a w Ba [c i w o [ p r o p a g a t o r a F r e s n e l o w s k i e g o w y s t p u j e w o p i s i e o d w z o r o w a n i a
z z a s t o s o w a n i e m s o c z e w k i . W y k o r z y s t y w a n a j e s t o n a t a k |e w p r o c e d u r a c h n u -
m e r y c z n e j r e k o n s t r u k c j i zr ó d e B, n a p o d s t a w i e p o m i a r ó w r o z k Ba d u z e s p o l o n e g o
p o l a d y f r a k c y j n e g o .
3 . 3 D y f r a k c j a B r a g g a
R ó w n o l e g Be , c i e n k i e w a r s t w y o d l e g Be p a r a m i o d z w i z a n e s z w e k t o r e m f a l o w y m
K p r o s t o p a d By m d o t y c h p o w i e r z c h n i , g d z i e K = 2 À/ ». W i z k a [w i a t Ba o d Bu -
g o [c i f a l i » i w e k t o r z e f a l o w y m k p a d a p o d k t e m ± d o n o r m a l n e j w z g l d e m
6 4 R O Z D Z I A A 3 . D O D A T K I
p o w i e r z c h n i . Z a k Ba d a m y , |e w a r s t w y s c z [c i o w o p r z e p u s z c z a l n e d l a [w i a t Ba .
O d b i c i e [w i a t Ba s p e Bn i a w t a k i e j s y t u a c j i d w a w a r u n k i :
" k t o d b i c i a r ó w n y j e s t k t o w i p a d a n i a ,
" r ó |n i c e f a z y w i z e k o d b i t y c h o d k o l e j n y c h w a r s t w s t a n o w i w i e l o k r o t n o [
2 À.
W t a k i e j s y t u a c j i w i z k i o d b i t e i n t e r f e r u j t w o r z c w i z k o d b i t o w e k t o r z e
f a l o w y m k 2 . D l a ± = 0 s p e Bn i e n i e w a r u n k u r ó |n i c y f a z m o |l i w e j e s t g d y » = d / 2 .
B i o r c p o d u w a g , |e w e k t o r y f a l o w e w i z k i p a d a j c e j i o d b i t e j s p e Bn i a j r e l a c j e
| k | = | k 2 | = 2 À/ » m o |e m y t e n w a r u n e k z a p i s a j a k o
k 2 = k + K .
J e |e l i f a l a p a d a p o d d o w o l n y m k t e m ±, t o w a r u n e k r ó |n i c y f a z
3 . 3 . 1 I r y d e s c e n c j a
R y s u n e k 3 . 2 : W a r s t w y p o w o d u j c e i r y d y s c e n c j e w s k r z y d l e m y U r a n i a o r a z
m o t y l a M o r p h o
h t t p : / / n e w t o n . e x . a c . u k / r e s e a r c h / e m a g / b u t t e r f l i e s / i n t e r f e r e n c e _ i n _ m u l t i l a y e r s . h t m l
3 . 3 . D Y F R A K C J A B R A G G A 6 5
R y s u n e k 3 . 3 : W a r s t w y p o w o d u j c e i r y d y s c e n c j e w s k r z y d l e m y U r a n i a o r a z
m o t y l a M o r p h o
6 6 R O Z D Z I A A 3 . D O D A T K I
B i b l i o g r a f i a
[ {a k 7 0 ] L e k s i Ds k i {a k o w s k i . M a t e m a t y k a c z . I V . W N T , W a r s z a w a , 1 9 7 0 . 1 . 4
[ B e s ] B e s W i k i . 3 . 1
[ B u t 0 6 ] T . B u t z . F o u r i e r T r a n s f o r m a t i o n f o r P e d e s t r i a n s . S p r i n g e r , B e r l i n
H e i d e l b e r g , 2 0 0 6 . 1 . 4 . 3
[ C a t 7 4 ] W . T . C a t h e y . O p t i c a l I n f o r m a t i o n P r o c e s s i n g a n d H o l o g r a p h y . J o h n
W i l e y & S o n s , N e w Y o r k , L o n d o n , S y d n e y , T o r o n t o , 1 9 7 4 . 3 . 2
6 7
I n d e k s
f u n k c j a z e s p o l o n a , 1 2
f u n k c j e o r t o g o n a l n e , 7
i l o c z y n s k a l a r n y , 1 7
s z e r e g F o u r i e r a , 6
w e k t o r c z s t o [c i p r z e s t r z e n n y c h , 2 2
w e k t o r f a l o w y s t r u k t u r y , 2 3
6 8
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