Całkowanie funkcji trygonometrycznych
(funkcji wymiernych od funkcji trygonometrycznych)
R(sin x,cos x)dx
R(u,v)
, - funkcja wymierna zmiennych u , v .
+"
Sprowadzamy do całek z funkcji wymiernych
x
t = tg
x "(- Ä„;Ä„ )
0. Podstawienie uniwersalne: ,
2
x = 2arctgt
2dt
dx =
2
1+ t
2
x x x
2sin cos 2tg
2t
2 2 2
sin x = = =
2 2
x
sin2 x + cos2 x tg +1 1+ t
2 2 2
2 2
x x 2
sin - cos2 x 1- tg
1- t
2 2 2
cos x = = =
2 2 2
x x
sin + cos2 x 1+ tg 1+ t
2 2 2
R(- u,v)= -R(u,v)
1.
t = cos x
podstawienie
R(u,-v)= -R(u,v)
2.
podstawienie t = sin x
R(- u,-v)= -R(u,v)
3.
t = tgx
podstawienie
dx
dt =
cos2 x
2
sin2 x tg x t2
sin2 x = = =
2 2
sin2 x + cos2 x tg x +1 t +1
cos2 x 1 1
cos2 x = = =
2
sin2 x + cos2 x tg x +1 t2 +1
sin x cos x tgx t
sin x cos x = = =
2 2 2
sin x + cos2 x tg x +1 t +1
1
Przykłady
1.
1
R(u, v) = t = cos x
dx - sin dx dt dt
u
= = - =
+" +"1 - cos2 = -+"1 - t2 =+"
sin x R(- u, v) = -R(u, v)dt = - sin xdx x t2 -1
1 1
t -1 cos x -1
ëÅ‚ öÅ‚dt 1
2 2
1
= ln t + 1 = ln = ln + C
÷Å‚
2
+"ìÅ‚ -1 + t +1Å‚Å‚ = ln t -1 - 2
t t + 1 cos x +1
íÅ‚
2.
t = sin x
R(u, v) = u2v3
2 2
xdx (1 (t2 - t4)dt =
+"sin x cos3 = R(u,-v) = -R(u, v)dt = cos xdx = +"t - t2)dt = +"
t3 t5 sin3 x sin5 x
= - = - + C
3 5 3 5
3.
1
5
1 dt
2
R(u,v)= t = tgx
dx (1+ t )
u8v4 1+ t2
= = dt =
8
+"sin xcos4 = R(- u,-v)= -R(u,v) dt = dx +" 4 +"
2
x t8
ëÅ‚ öÅ‚
cos2 x t2 1
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2
ìÅ‚1+ t4 ÷Å‚
t +1Å‚Å‚
íÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚
5
5
2k
ìÅ‚ ÷Å‚
"ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚k ÷Å‚Å"t
5
5
k =0
íÅ‚ Å‚Å‚ 2k-8 -8 -6 -2
= dt = ìÅ‚ ÷Å‚Å"t dt = (t + 5t +10t-4 +10t + 5 + t2)dt =
"ëÅ‚ öÅ‚
+" +" ìÅ‚k ÷Å‚ +"
t8
k =0
íÅ‚ Å‚Å‚
1 1 10 10 t3 tg3x 10 10 1 1
= - - - - + 5t + == + 5tgx - - - - + C
7
7t7 t5 3t3 t 3 3 tgx 3tg3x tg5x 7tg x
opracował Paweł Sztur
2