D r h a b . i n |. W Ba d y s Ba w A r t u r W o zn i a k
W y k Ba d F I Z Y K A I
8 . G r a w i t a c j a
D r h a b . i n |. W Ba d y s Ba w A r t u r W o zn i a k
I n s t y t u t F i z y k i P o l i t e c h n i k i W r o c Ba w s k i e j
h t t p : / / w w w . i f . p w r . w r o c . p l / ~ w o z n i a k / f i z y k a 1 . h t m l
D r h a b . i n |. W Ba d y s Ba w A r t u r W o zn i a k
C I {E N I E P O W S Z E C H N E ( G R A W I T A C J A )
W z a j e m n e p r z y c i g a n i e s i c i a B j e s t zr d Be m j e d n e j z p o d s t a w o w y c h
s i B w f i z y c e s i B p r z y c i g a n i a , k t r e p o d l e g a j p r a w u p o w s z e c h n e g o
c i |e n i a ( g r a w i t a c j i ) . P r a w o t o p o d a B I s a a c N e w t o n ( 1 6 8 7 ; p i e r w s z e
o b s e r w a c j e j u | o d 1 6 5 5 ) :
m 1 m 2
F = G
r 2
M i d z y k a |d y m i d w o m a p u n k t a m i m a t e r i a l n y m i d z i a Ba s i Ba w z a j e m n e g o p r z y c i g a n i a ,
w p r o s t p r o p o r c j o n a l n a d o i l o c z y n u m a s t y c h p u n k t w ( m 1 i m 2 ) a o d w r o t n i e p r o p o r c j o n a l n a
d o k w a d r a t u o d l e g Bo [c i r m i d z y n i m i .
r
m 1 m 2
r
F 1 2 = -G r 1 2
W p o s t a c i w e k t o r o w e j p r a w o t o m o |n a z a p i s a j a k o :
3
r 1 2
r
r
F 1 2 t o s i Ba , z j a k p u n k t 2 d z i a Ba n a p u n k t 1 , t o p r o m i e D
r 1 2
w o d z c y , Bc z c y p u n k t d r u g i z p i e r w s z y m .
r
m 1 m 2
F 1 2
r
r 1 2
D r h a b . i n |. W Ba d y s Ba w A r t u r W o zn i a k
C I {E N I E P O W S Z E C H N E ( G R A W I T A C J A )
W s p Bc z y n n i k t o s t a Ba g r a w i t a c j i ,
G = 6 , 6 7 2 1 0 -1 1 N m 2 k g 2
w y z n a c z o n a p o r a z p i e r w s z y d o [w i a d c z a l n i e w 1 7 9 7 r . p r z e z H e n r y ` e g o
C a v e n d i s h a p r z y u |y c i u t z w . w a g i s k r c e D.
( d Bu g i e , c i e n k i e w B k n o k w a r c o w e , o Bo w i a n e k u l e )
P o m i a r R i c h a r d s a z 1 8 9 8 r
D r h a b . i n |. W Ba d y s Ba w A r t u r W o zn i a k
C I {E N I E P O W S Z E C H N E ( G R A W I T A C J A )
C i |a r c i a Ba ( i n a c z e j : s i Ba c i |e n i a ) s i Ba p r z y c i g a n i a , j a k a d z i a Ba n a
d a n e c i a Bo z e s t r o n y i n n e g o c i a Ba . W p o b l i |u Z i e m i b d z i e o n a r w n a :
P = m g
M Z
g = G
g d z i e g o z n a c z a t z w . p r z y s p i e s z e n i e z i e m s k i e r w n e : 2
R Z
M Z t o m a s a Z i e m i , R Z t o j e j p r o m i e D.
C i |a r p o z o r n y t o w s k a z a n i e w a g i s p r |y n o w e j , n a k t r e j w a |y m y c i a Bo ( m i a r a
s i By , k t r a n a n i e g o d z i a Ba , a k t r o n o z k o l e i d z i a Ba n a w a g ) . W p r z y p a d k u c i a B
p o r u s z a j c y c h s i z p e w n y m p r z y s p i e s z e n i e m , c i |a r p o z o r n y t o w y p a d k o w a s u m a
s i B w y n i k a j c y c h z p r z y c i g a n i a p r z e z i n n m a s ( n p . Z i e m i ) i s i B b e z w Ba d n o [c i ,
w y n i k a j c y c h z r u c h u z t y m p r z y s p i e s z e n i e m .
C i |a r f i z j o l o g i c z n y j e s t p r o p o r c j o n a l n y d o s i By , j a k d z i a Ba c i e c z n a z a k o Dc z e n i u
n e r w w w p Bk o l i s t y c h k a n a Ba c h u c h a w e w n t r z n e g o . . . ( i l e w y s i Bk u t r z e b a w Bo |y
w u n i e s i e n i e n p . g Bo w y l u b r a m i e n i a ) .
D r h a b . i n |. W Ba d y s Ba w A r t u r W o zn i a k
C I {E N I E P O W S Z E C H N E ( G R A W I T A C J A )
S i Ba g r a w i t a c j i j e s t p r o p o r c j o n a l n a d o m a s y c i a Ba j a k o m i a r y l i c z e b n o [c i
m a t e r i i ( n p . l i c z b y n u k l e o n w w j d r z e ) i m o g l i b y [m y j w o b e c t e g o n a z w a
m a s g r a w i t a c y j n . C z y j e s t t o t a s a m a m a s a , k t r a w y s t p u j e w z a s a d a c h
d y n a m i k i , a k t r n a z w i j m y m a s b e z w Ba d n ?
m 1 ' m 1
O z n a c z m y m a s g r a w i t a c y j n c i a Ba p r z e z a j e g o m a s b e z Ba d n p r z e z .
W t e d y m a s a b e z w Ba d n a , s p a d a j c a s w o b o d n i e w p o b l i |u Z i e m i o s i g n i e
p r z y s p i e s z e n i e :
a 1
M Z ' m 1 '
m 1 a 1 = G
2
R Z
P o d o b n e r w n a n i e m o |e m y n a p i s a d l a i n n e g o c i a Ba o m a s i e m 2 . D z i e l c
r w n a n i a s t r o n a m i , o t r z y m a m y :
m 1 a 1 m 1 '
=
m 2 a 2 m 2 '
C z y l i : j e [l i w s z y s t k i e c i a Ba s p a d a j z j e d n a k o w y m p r z y s p i e s z e n i e m , t o o b a
p o j c i a m a s s r w n o w a |n e ( o b i e m a s y s r w n e ) .
D r h a b . i n |. W Ba d y s Ba w A r t u r W o zn i a k
C I {E N I E P O W S Z E C H N E ( G R A W I T A C J A )
P r b y z b a d a n i a z a l e |n o [c i m i d z y m a s b e z w Ba d n a g r a w i t a c y j n :
- N e w t o n s t w i e r d z i B r w n o [ p r z y s p i e s z e D z d o k Ba d n o [c i d o 1 / 1 0 0 0 ;
- 1 9 0 1 r . R o l a n d E t v s s t w i e r d z i B t o z d o k Ba d n o [c i d o 1 0 8 ;
- 1 9 6 4 r . R . D i c k e ( U n i v e r s i t y o f P r i n c e t o n , U S A ) : 1 0 3 0 0 .
W y n i k i t y c h p o m i a r w s u g e r u j , |e d l a w s z y s t k i c h s u b s t a n c j i m a s a
g r a w i t a c y j n a j e s t r w n a m a s i e b e z w Ba d n e j > z a s a d a r w n o w a |n o [c i
p o d s t a w o w e p r a w o p r z y r o d y , o p i e r a j c e s i n a w y n i k a c h d o [w i a d c z e D.
K o n s e k w e n c j t e j z a s a d y j e s t n i e m o |n o [ r o z r |n i e n i a p r z y s p i e s z e n i a
g r a w i t a c y j n e g o o d p r z y s p i e s z e n i a n p . c a Be g o l a b o r a t o r i u m , w k t r y m
o d b y w a By b y s i p o m i a r y p u n k t w y j [c i a d o o g l n e j t e o r i i w z g l d n o [c i
E i n s t e i n a .
R w n i e | k w e s t i a w y k Ba d n i k a w p o t d z e o d l e g Bo [c i ( R - 2 ) j e s t z a g a d n i e n i e m ,
k t r e s t a n o w i s t a By p r z e d m i o t p o m i a r w .
D r h a b . i n |. W Ba d y s Ba w A r t u r W o zn i a k
C I {E N I E P O W S Z E C H N E ( G R A W I T A C J A )
Z a g a d n i e n i e o b l i c z e n i a s i B w z a j e m n e g o p r z y c i g a n i a d w c h c i a B o d o w o l n y c h
r o z m i a r a c h i k s z t a Bt a c h ( o d o w o l n y m r o z k Ba d z i e m a s y ) :
- r o z b i j a m y c i a Ba n a w i e l k l i c z b c z s t e c z e k t a k m a By c h , a b y m o |n a j e b y Bo
p o t r a k t o w a j a k o p u n k t y m a t e r i a l n e ;
- s u m u j e m y ( w e k t o r o w o ! ) w s z y s t k i e s i By p r z y c i g a n i a , d z i a Ba j c e n a d a n y p u n k t
j e d n e g o c i a Ba z e s t r o n y p u n k t w d r u g i e g o c i a Ba ;
- s u m u j e m y s i By d z i a Ba j c e n a k a |d y p u n k t d a n e g o c i a Ba a b y o t r z y m a
w y p a d k o w s i B, d z i a Ba j c n a c a Be c i a Bo .
n N
r
r
k
F = -G
m m r i k
i
3
r i k
i =1 k =1
W p r z y p a d k u c i a B o c i g By m r o z k Ba d z i e m a s y , n a l e |y z a s t o s o w a o c z y w i [c i e c a Bk o w a n i e
z a m i a s t s u m o w a n i a .
N e w t o n w s w y c h r o z w a |a n i a c h z a k Ba d a B, |e Z i e m i m o |n a p o t r a k t o w a t a k ,
j a k b y c a Ba m a s a b y Ba s k u p i o n a w j e j [r o d k u , a l e u d o w o d n i B t o d o p i e r o 2 0 l a t
p zn i e j ( s t d r o z b i e |n o [c i w p o d a w a n y c h d a t a c h o d k r y c i a p r a w a p o w s z e c h n e g o
c i |e n i a i s t d o p r a c o w a n i e p r z e z n i e g o p o d s t a w r a c h u n k u c a Bk o w e g o ! ) .
D r h a b . i n |. W Ba d y s Ba w A r t u r W o zn i a k
C I {E N I E P O W S Z E C H N E ( G R A W I T A C J A )
P o l e g r a w i t a c y j n e t o p r b a o p i s u w z a j e m n e g o o d d z i a By w a n i a c i a B ( n a w s k u t e k
i s t n i e n i a s i B w z a j e m n e g o p r z y c i g a n i a ) p o p r z e z p e w n w i e l k o [ w e k t o r o w ,
n i e z a l e |n o d c i a Ba , k t r e t o p o l e w y t w a r z a . J e s t t o i n a c z e j p r z y s p i e s z e n i e
g r a w i t a c y j n e w f u n k c j i p o Bo |e n i a . M o |n a w t e d y o b l i c z y s i B F , d z i a Ba j c n a
d a n m a s m , j a k o :
r
r
F = m g
g d z i e g j e s t n a t |e n i e m p o l a g r a w i t a c y j n e g o , c h a r a k t e r y z u j c y m s i By p o l a g r a w i t a c y j n e g o .
P o l e n a z y w a m y j e d n o r o d n y m , j e [l i n a t |e n i e w e w s z y s t k i c h j e g o p u n k t a c h j e s t
j e d n a k o w e .
P o l e n a z y w a m y c e n t r a l n y m , j e |e l i w e w s z y s t k i c h j e g o p u n k t a c h w e k t o r y
n a t |e n i a s k i e r o w a n e s w z d Bu | p r o s t y c h , p r z e c i n a j c y c h s i w j e d n y m p u n k c i e ,
n i e r u c h o m y m w z g l d e m d o w o l n e g o u k Ba d u i n e r c j a l n e g o ( p u n k t t e n n a z y w a m y
[r o d k i e m s i B) .
P o l e c e n t r a l n e n a z y w a m y k u l i s t o - s y m e t r y c z n y m , j e [l i l i c z b o w a w a r t o [ w e k t o r a
n a t |e n i a p o l a z a l e |y t y l k o o d o d l e g Bo [c i o d [r o d k a s i B.
D r h a b . i n |. W Ba d y s Ba w A r t u r W o zn i a k
C I {E N I E P O W S Z E C H N E ( G R A W I T A C J A )
Z a s a d a s u p e r p o z y c j i p l ( n a k Ba d a n i a s i p l ) : p r z y n a Bo |e n i u s i k i l k u
p l ( n p . c i |e n i a ) , n a t |e n i e p o l a w y p a d k o w e g o r w n a s i s u m i e
w e k t o r o w e j n a t |e D w s z y s t k i c h t y c h p l .
P o l a c h a r a k t e r y z u j e s i r w n i e | p e w n w i e l k o [c i s k a l a r n , z w a n
p o t e n c j a Be m p o l a . R w n y j e s t o n s t o s u n k o w i e n e r g i i p o t e n c j a l n e j p u n k t u
m a t e r i a l n e g o d o j e g o m a s y :
E p
V
m
W p r z y p a d k u p o l a g r a w i t a c y j n e g o p o j e d y n c z e g o p u n k t u m a t e r i a l n e g o o m a s i e m ,
p o t e n c j a B t e g o p o l a w y r a |a s i w z o r e m :
G m
V g = -
r
r
g = -g r a d (V g )
Z w i z e k p o m i d z y n a t |e n i e m p o l a i j e g o p o t e n c j a Be m :
D r h a b . i n |. W Ba d y s Ba w A r t u r W o zn i a k
C I {E N I E P O W S Z E C H N E ( G R A W I T A C J A )
P o l e g r a w i t a c y j n e w e w n t r z i n a z e w n t r z j e d n o r o d n e j k u l i :
G M
- p o l e g r a w i t a c y j n e n a z e w n t r z p u s t e j c z a s z y k u l i s t e j
g =
( b d z p e Bn e j k u l i ) o m a s i e M i p r o m i e n i u R :
R 2
- p o l e w e w n t r z t e j |e c z a s z y :
g = 0
r
- p o l e w e w n t r z j e d n o r o d n e j k u l i o g s t o [c i :
4 r
G M
g (r ) = prG r =
3 R 2 R
P r z y k Ba d : p o l e g r a w i t a c y j n e Z i e m i
D r h a b . i n |. W Ba d y s Ba w A r t u r W o zn i a k
P R A W A K E P L E R A
N a u k i A r y s t o t e l e s a i P t o l e m e u s z a : w s z y s t k i e p l a n e t y i g w i a z d y p o r u s z a j s i
w o k B Z i e m i p o s k o m p l i k o w a n y c h t o r a c h ( b d c y c h s u p e r p o z y c j a m i r u c h w p o
o k r g a c h ) ;
M i k o Ba j K o p e r n i k ( 1 5 4 0 ) : p l a n e t y k r |
w o k B S Bo Dc a , K s i |y c w o k B Z i e m i .
G i o r d a n o B r u n o - z w o l e n n i k t e o r i i
h e l i o c e n t r y c z n e j K o p e r n i k a - > s t o s ( 1 6 0 0 ) .
G a l i l e u s z ( r w n i e | p r z e Bo m X V I i X V I I
w i e k u ) : o d w o Ba B p u b l i c z n i e s w o j e t e o r i e w
o b a w i e p r z e d s t o s e m .
D r h a b . i n |. W Ba d y s Ba w A r t u r W o zn i a k
P R A W A K E P L E R A
J o h a n n e s K e p l e r ( k o r z y s t a j c z o b s e r w a c j i T y c h o B r a c h e )
p o d a B w y p r o w a d z o n e e m p i r y c z n i e p r a w a r u c h u p l a n e t p r a w a t e
m o |n a w y p r o w a d z i z p r a w a p o w s z e c h n e g o c i |e n i a N e w t o n a .
T y c h o B r a h e ( w Ba [c . T y g e O t t e s e n B r a h e , t a k |e
( m y l n i e ) T y c h o d e B r a h e ; u r . 1 4 g r u d n i a 1 5 4 6 r . w
J o h a n n e s K e p l e r
z a m k u K n u t s t o r p w S k a n i i z m . 2 4 p a zd z i e r n i k a
( u r . 2 7 g r u d n i a 1 5 7 1 r . w W e i l d e r S t a d t ,
1 6 0 1 r . w P r a d z e )
z m . 1 5 l i s t o p a d a 1 6 3 0 r . w R a t y z b o n i e )
D r h a b . i n |. W Ba d y s Ba w A r t u r W o zn i a k
P R A W A K E P L E R A
P i e r w s z e p r a w o K e p l e r a :
K a |d a p l a n e t a k r |y p o o r b i c i e e l i p t y c z n e j ,
z e S Bo Dc e m w j e d n y m z o g n i s k t e j e l i p s y .
D r u g i e p r a w o K e p l e r a ( p r a w o r w n y c h
p l ) :
L i n i a Bc z c a S Bo Dc e i p l a n e t z a k r e [l a
r w n e p o l a w r w n y c h o d s t p a c h c z a s u .
T r z e c i e p r a w o K e p l e r a :
S z e [c i a n y p Bo s i w i e l k i c h o r b i t j a k i c h k o l w i e k
d w c h p l a n e t m a j s i t a k d o s i e b i e , j a k
3
k w a d r a t y i c h o k r e s w o b i e g u :
a 1 T 1 2
=
3
a 2 T 2 2
D r h a b . i n |. W Ba d y s Ba w A r t u r W o zn i a k
P R A W A K E P L E R A
r
F r
r
F = r
R o z p a t r z m y r u c h c i a Ba w p o l u s i B c e n t r a l n y c h :
r
r r
F r
r r r
M = r F = r r = 0
M o m e n t s i By F w z g l d e m [r o d k a p o l a j e s t r w n y z e r u :
r
d l a t e g o m o m e n t p d u t e g o c i a Ba w z g l d e m [r o d k a
r
r r
p o l a j e s t z a c h o w a n y :
K = r (m v ) = c o n s t
S t d z k o l e i w y n i k a , |e w c e n t r a l n y m p o l u s i B t o r r u c h u t e g o c i a Ba j e s t
k r z y w p Ba s k ( p Ba s z c z y z n a , z a w i e r a j c a w e k t o r y p o Bo |e n i a r i p r d k o [c i v n i e
z m i e n i a s w e j o r i e n t a c j i w z g l d e m [r o d k a p o l a ) .
D r h a b . i n |. W Ba d y s Ba w A r t u r W o zn i a k
P R A W A K E P L E R A
S k o r o k r z y w a r u c h u j e s t k r z y w p Ba s k , p o Bo |e n i e p u n k t u w
j,
p r z e s t r z e n i o k r e [l i m y w e w s p Br z d n y c h b i e g u n o w y c h , a p r d k o [
r
v r
r o z Bo |y m y n a p r o s t o p a d Be s k Ba d o w e : r a d i a l n i t r a n s w e r s a l n
( p o p r z e c z n ) :
v j
d r
v r =
d t
r r r
v = v r + v j
d j
v j = r
d t
M o m e n t p d u u k Ba d u z a l e |y t y l k o o d p r d k o [c i p o p r z e c z n e j :
r
r r
K = r (m v j )= c o n s t
W a r t o [ m o m e n t u p d u j e s t r w n a :
d j
K = m r 2 = c o n s t
d t
D r h a b . i n |. W Ba d y s Ba w A r t u r W o zn i a k
P R A W A K E P L E R A
r
P r o m i e D w o d z c y z a k r e [l a p r z y s w o i m o b r o c i e o m a By k t w c z a s i e
r d j
d t
w y c i n e k k o Bo w y , k t r e g o p o l e j e s t r w n e :
1
d A = r 2 d j
2
v p v p d A = 1 r 2 d j
s t d w i e l k o [ :
d t 2 d t
n a z y w a m y p r d k o [c i p o l o w ( w y c i n k o w ) .
B i o r c p o d u w a g p o w y |s z d e f i n i c j i z a s a d z a c h o w a n i a m o m e n t u p d u ,
o t r z y m u j e m y :
K
v p = = c o n s t
2 m
P r z y r u c h u c i a Ba w p o l u s i By c e n t r a l n e j j e g o p r d k o [ p o l o w a
( r o z u m i a n a j a k o p o l e z a k r e [l a n e p r z e z p r o m i e D w o d z c y w
j e d n o s t c e c z a s u ) j e s t s t a Ba . ( I I p r a w o K e p l e r a )
D r h a b . i n |. W Ba d y s Ba w A r t u r W o zn i a k
P R A W A K E P L E R A
A b y w y p r o w a d z i I i I I I p r a w o K e p l e r a , s k o r z y s t a j m y z z a s a d y
z a c h o w a n i a m o m e n t u p d u ( b y Ba ) i z a s a d y z a c h o w a n i a e n e r g i i :
E = E k + E p = c o n s t
2
2 2 K 2
m v 2 m d r d j m d r
E k = = + r = +
2 2 d t d t 2 d t
m r
2
s k d o t r z y m u j e m y :
d r 2 K
= (E - E p )-
d t m m r
d j K
w i c o s t a t e c z n i e :
=
a p o n i e w a |:
d t m r 2
K r 2
d j = d r
2
( )
2 m E - E p - (K r )
D r h a b . i n |. W Ba d y s Ba w A r t u r W o zn i a k
P R A W A K E P L E R A
A b y r o z w i z a p o d a n e r w n a n i e t r a j e k t o r i i r u c h u , m u s i m y p o d s t a w i
k o n k r e t n e w y r a |e n i e n a e n e r g i p o t e n c j a l n , k t r a w p r z y p a d k u p o l a
g r a w i t a c y j n e g o m a p o s t a :
b
E p = g d z i e : b = -G M m
r
O s t a t e c z n e r o z w i z a n i e m o |n a p r z e d s t a w i w p o s t a c i :
p
r (j) =
1 + e c o s j
2
K
2 E K 2
g d z i e :
p =
e = +1
2
m b
m b
D r h a b . i n |. W Ba d y s Ba w A r t u r W o zn i a k
P R A W A K E P L E R A
2
K
p =
m b
p
r (j) =
2 E K 2
e = +1
2
1 + e c o s j
m b
T o r r u c h u ( o r b i t a ) , j e s t k r z y w d r u g i e g o s t o p n i a ( k r z y w s t o |k o w ) ,
p r z y c z y m p j e s t j e j p a r a m e t r e m o g n i s k o w y m a e - m i m o [r o d e m .
W z a l e |n o [c i o d t e g o , j a k a j e s t e n e r g i a c a Bk o w i t a c i a Ba , m o |l i w e s
n a s t p u j c e r o z w i z a n i a r w n a n i a t o r u ( t r a j e k t o r i i ) :
" d l a E < 0 ( c z y l i e < 1 ) j e s t t o o r b i t a e l i p t y c z n a ;
" d l a E = 0 ( e = 1 ) j e s t t o o r b i t a p a r a b o l i c z n a ;
" d l a E > 0 ( e > 1 ) j e s t t o o r b i t a h i p e r b o l i c z n a ;
" d l a K = 0 ( e = 1 , p = 0 ) j e s t t o t o r p r o s t o l i n i o w y , p r z e c h o d z c y p r z e z
[r o d e k p o l a .
D r h a b . i n |. W Ba d y s Ba w A r t u r W o zn i a k
P R A W A K E P L E R A
D l a p l a n e t , p o r u s z a j c y c h s i w p o l u g r a w i t a c y j n y m S Bo Dc a :
E < 0
a w i c t o r a m i r u c h u p l a n e t s e l i p s y ( I p r a w o K e p l e r a ) .
W t e d y r w n i e | m o |n a w y p r o w a d z i w z r n a o k r e s T o b i e g u
p l a n e t y p o t e j e l i p s i e :
2
4 p
2
T = a 3
G M
g d z i e a j e s t d u | o s i e l i p s y . S t d o t r z y m u j e m y I I I p r a w o K e p l e r a .
D r h a b . i n |. W Ba d y s Ba w A r t u r W o zn i a k
P R D K O ZC I K O S M I C Z N E
P i e r w s z p r d k o [c i k o s m i c z n ( p r d k o [c i k o Bo w ) d l a Z i e m i
n a z y w a m y p r d k o [, k t r p o w i n i e n m i e s a t e l i t a Z i e m i , o b i e g a j c y j
p o o r b i c i e k o Bo w e j .
Z n a j d z i e m y j z z a s a d y z a c h o w a n i a e n e r g i i :
b
- c a Bk o w i t a e n e r g i a s a t e l i t y n a o r b i c i e k o Bo w e j ( e = 0 ) :
E =
2 r
m v 2
E k =
- e n e r g i a k i n e t y c z n a s a t e l i t y :
2
b = -G M m
b
- e n e r g i a p o t e n c j a l n a s a t e l i t y :
E p =
r
s t d : p r z y p o w i e r z c h n i Z i e m i :
G M
v I =
v I = g Z R Z = 7 , 9 k m / s
r
D r h a b . i n |. W Ba d y s Ba w A r t u r W o zn i a k
P R D K O ZC I K O S M I C Z N E
D r u g p r d k o [c i k o s m i c z n ( p r d k o [c i p a r a b o l i c z n ) d l a Z i e m i
n a z y w a m y p r d k o [, k t r t r z e b a n a d a c i a Bu , a b y j e g o o r b i t a w p o l u
g r a w i t a c y j n y m s t a Ba s i p a r a b o l i c z n a t o z n a c z y , a b y c i a Bo m o g Bo
p o k o n a p r z y c i g a n i e z i e m s k i e i s t a s i s a t e l i t S Bo Dc a ( l o t n a i n n e
p l a n e t y ) .
Z n a j d z i e m y j z z a s a d y z a c h o w a n i a e n e r g i i :
- c a Bk o w i t a e n e r g i a s a t e l i t y n a o r b i c i e k o Bo w e j ( e = 1 ) :
E = 0
b
m v 2
- e n e r g i a k i n e t y c z n a i p o t e n c j a l n a : j a k p o p r z e d n i o
E p =
E k =
r
2
2 G M
a s t d :
v I I = = 2 v I
r
p r z y p o w i e r z c h n i Z i e m i :
v I I = 2 g Z R Z =1 1 , 2 k m / s
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