3262347674

Estymator liniowy to estymator który jest liniową funkcją obserwacji, w zapisie macierzowym:

f(,)=G y + <1

(kxl) <kxT)Crxl) ^<kxl) gdzie G i d to znane macierze (?)

Estymator nieobciążony to taki, którego wartość oczekiwana jest równa wartości nieznanego parametru: E(P) = E[f(y)] = p

W ujęciu preeksperymentalnym, y to wektor możliwych obserwacji,jia tym poziomie jest to wektor losowy : wektor możliwych wyników badania (patrz powyżej). Wobec tego p (oraz p) jako funkcja wektora losowego jest również wektorem losowym, co oznacza, że możemy opisywać p jako wielowymiarową zmienną losową. Możemy więc badać charakterystyki probabilistyczne estymatora p, w tym jego wartość oczekiwaną. Używanie do szacowania parametru p estymatora którego wartość oczekiwana jest różna od p wydaje się intuicyjnie problematyczne, co prowadzi do badania nieobciążoności. Problem efektywności estymatora intuicyjnie odpowiada zagadnieniu: jak daleko przeciętnie jest p od p?. (czyli nasz estymator od prawdziwej nieznanej wartości, czyli badamy np. „czy przeciętnie biorąc nasz estymator dobrze <trafia>”

Przykład: mamy dwa estymatory i przeprowadzamy dwa doświadczenia:

Pierwszy estymator dał w 1 doświadczeniu wartość: 0,9; w 2 doświadczeniu wartość: 1,1

Drugi estymator dał w 1 doświadczeniu wartość: 0,5; w 2 doświadczeniu wartość: 1,5

Oba majątę samą wartość oczekiwaną (są nieobciążone czyli patrz definicja).

Wolimy pierwszy, bo ma mniejsze rozproszenie i stosując go zyskujemy lepsze (dokładniejsze)

oszacowanie nieznanego parametru.

Estymator najlepszy w danej klasie to estymator efektywny, czyli o najmniejszym rozproszeniu (co zostanie dokładnie zdefiniowane poniżej).

12.2.1 Dowód Twierdzenia Gaussa i Markowa

Chcemy dowieść twierdzenia GM tj. pokazać, że w klasie estymatorów liniowych i nieobciążonych najlepszy (efektywny) jest estymator MNK p. Sam dowód nie jest trudny, tylko dużo jest kroków przygotowawczych:

Musimy skonstruować klasę, czyli znaleźć ogólną postać estymatora liniowego i nieobciążonego.

Musimy dowieść, że Pjest liniowy i nieobciążony - czyli że należy w ogóle do klasy w której ma być najlepszy.

Potem zapiszemy estymator p jako członka tej klasy i wykorzystamy dobrze dobrany zapis do wykazania, że jest on najlepszy.

Zapis klasy estymatorów:

B - rozważana klasa estymatorów parametru wektorowegop; p e B to element tej klasy.

Zapis efektywności w klasie:

Definicja: p najlepszy w klasie B wtedy i tylko wtedy, gdy:

\/ A = V(P)-V(P) jest macierzą określoną nieujemnie

Nb