3262347675

Macierz A to różnica pomiędzy macierzami kowariancji odpowiednio (i (każdego estymatora rozważanej klasy, w wypadku twierdzenia GM - klasy estymatorów liniowych i nieobciążonych) a P (estymatora-kandydata do najlepszości, w naszym wypadku estymatora MNK)

Co to jest macierz określona nieujemnie? Jeśli macierz A jest symetryczna (więc i kwadratowa; dla takich macierzy definiuje się określoność) stopnia k, to:

A jest określona nieujemnie •» \/ z' Az > 0

I69t‘\{0}

W szczególności nieujemnie określona macierz A ma wszystkie przekątniowe elementy większe lub równe zero. Na przekątnej macierzy kowariancji są wariancje, czyli definicja efektywności mówi że:

var (PJ > var(Pj) dla i = 1,... ,k (Pi oznacza i-ty element wektora P)

Oznacza to, że estymator jest najlepszy w danej klasie jeśli po odjęciu jego wariancji od wariancji każdego innego członka klasy zostaje zero lub więcej. Dla najlepszego estymatora p wariancja każdego elementu wektora (var(Pj)) jest mniejsza (lub równa) od odpowiednich wariancji wszystkich innych estymatorów danej klasy (var(pi)) . Istnienie najlepszego estymatora jest nietrywialne i w szerokich klasach może go nie być wcale.

Przystąpmy do realizacji następującego planu: dowiedziemy liniowości i nieobciążoności P, a następnie pokażemy, że P jest najlepszy w klasie B estymatorów liniowych i nieobciążonych, czyli będziemy musieli dowieść, że macierz będąca różnicą macierzy kowariancji p i p jest nieujemnie określona, wszystko to przy prawdziwości założeń KMRL (1° - 5°):

1°    y = X p + e

(Txl) (T*k)    (Txl)

2°    X jest znaną macierzą nielosową

3°    rz(X) = k

4°    E(s) = 0

(Txl)

V(e) = c² I_T

Chcemy dowieść że:

P=(X’Xr'X'y

jest efektywny w klasie estymatorów liniowych i nieobciążonych, i ma to wynikać z l°-5°

W tezie (czyli w powyższym wzorze) wykorzystano już założenie 3, bo ono gwarantuje że (X’X)‘ istnieje i można tak zapisać. (3°)

Przypomnijmy definicję estymatora liniowego:

«y) = G y + i,;

(kxl> (kxT)(Txl) O*)

Możemy zapisać, że:

P = (X'X)"¹ X'y = Cy ;gdzie :