3545337088

1.2. Zmiana układu współrzędnych prostokątnych 5

O

x

y

y

a)

o

b)

X

Rys. 1. Prawo- (a) i lewoskrętny (b) układ współrzędnych prostokątnych na płaszczyźnie

1.2. Zmiana układu współrzędnych prostokątnych

Załóżmy, że na płaszczyźnie znajduje się układ współrzędnych prostokątnych o początku w punkcie O oraz osiach x (odcięta) iy (rzędna), który będziemy oznaczać Oxy. Jeśli w układzie tym znajduje się punkt/* o współrzędnych (x,_y), to po dowolnym przekształceniu układu Oxy do układu 0'x'y' współrzędne punktu ^zmienią się na ttc^/, y'). Związki pomiędzy współrzędnymi (xy¹) i (x,_y) przy różnych przekształceniach układu Oxy są podane w kolejnych podpunktach.

1.2.1. Przesunięcie równoległe osi współrzędnych

Jeśli układ współrzędnych prostokątnych Oxy zostanie przesunięty owektorv = t_x\ + j (zob. rys. 2), gdzie i oraz j oznaczają wektory jednostkowe w kierunku osi odpowiednio x oraz^, to współrzędne punktu P w starym i nowym układzie będą związane zależnością

x'=x-t_x, y' = y-t_y,    (1.1)

co można zapisać w postaci

(*'./) = ń(x,y).    (1.2)

Jeśli współrzędne punktu potraktujemy w naturalny sposób jako składowe wektora dwuwymiarowego, to przekształcenia (1.2) nie da się przedstawić w postaci mnożenia wektora przez macierz. Przedstawienie takie będzie możliwe, gdy przejdziemy do współrzędnych jednorodnych, w których punkty przestrzeni dwuwymiarowej M² będziemy uważać za elementy przestrzeni trójwymiarowej R³ leżące na płaszczyźnie z = 1. Wówczas przekształcenie T_y można zapisać jako macierz