3754969722

ROZDZIAŁ 1. TEORIA KRZYWYCH

1.    Krzywizna jest określona w każdym punkcie.

2.    Jeśli ei,e2 reper Freneta, to zachodzi:

K_c(c(t))e₂(t) = c(t)

K_c(c(t)) = (ć(t),e₂(t)) l*c(c(t))l = |ć(t)|

3. Reper Freneta e\,e₂ spełnia:

{c = e[ = K_ce₂ e'₂ = —K_ce i

co można zapisać w postaci macierzowej jako:

d_ H ₌ f ⁰ Kc] M dt [e₂J [~K_C O J [e₂\

Dowód. Wektory ei(s), e₂(s) stanowią bazę ortonormalną M². Zapiszmy więc wektor ei(s + As) w tej bazie:

ei(s + As) = (ei(s + As), ei(s))ei(s) + (ei(s + As), e₂(s))e₂(s).

Niech A<p oznacza kąt <(ei(s),ei(s + As)). Wektory ei(s),e₂(s) są ortonormalne (dla każdego s), czyli w szczególności mają długość 1. Stąd iloczyn skalarny wektorów ei(s) i ei(s + As) równy jest kosinusowi kąta między nimi:

(ei (s + As), e_x (s)) = cos At/?.

Podobnie:

(ei(s + As), e₂(s)) = cos<(ei (s + As),e₂(s)).

Zauważmy również, że:

<(ei(s + As),e₂(s)) = <(e!(s),e₂(s)) + <(e!(s + As),ei(s)) = 7r - At/? Mamy więc, że:

(ei(s 4- As), e₂(s)) = sin Aip.

Czyli ostateczne:

e\ (s + As) = cos At/?ei (s) -i- sin At/?e₂ (s).

Sprawdzamy warunki z punktu 2 w treści twierdzenia. Policzmy drugą pochodną krzywej c. Z definicji ei(s) wiemy, że ć = e\. Policzymy więc pierwszą pochodną e\.

de i _ ei(s + As) - ei(s) _ ds    As—*o    As