490575230

11

1.2. DZIAŁANIE GRUPY NA ZBIORZE

of quasithin groups (razem ponad 1200 stronic), które według przekonania autorów definitywnie usuwają znalezione luki i w ten sposób stanowią ostatnie ogniwo w klasyfikacji skończonych grup prostych (zob. informację bibliograficzną w Notices of the AMS Vol. 51 No. 8 (2004), p. 977). Jednakże kompletny dowód twierdzenia klasyfikacyjnego nie jest jeszcze napisany i ciągle istnieją wątpliwości, czy nie pojawią się luki trudne do uzupełnienia. Trwa realizacja programu Gorensteina, Lyonsa i Solomona przedstawienia głównych części dowodu twierdzenia klasyfikacyjnego. W latach 1994-2005 opublikowano 6 monografii w wydawnictwie American Mathema-tical Society, ale program ten jest jeszcze daleki od finalizacji. Autorzy tego projektu przewidują, że uda im się napisać kompletny dowód twierdzenia klasyfikacyjnego w serii monografii, które w sumie będą miały około 3000 do 4000 stronic tekstu. Zapowiedź autorów w pierwszym tomie serii brzmi dość skromnie:

It is our purpose in these monographs to prove the following theorem:

Classification Theorem. Every finite simple group is cyclic of pńme order, an al-ternating group, a finite simple group of Lie type, or one of the twenty-six sporadic finite simple groups.

Historię całego przedsięwzięcia przedstawia interesująco praca Ronalda Solomona A brief history of the classification of the finite simple groups, Bulletin of the Amer. Math. Soc. Vol. 38 (2001), pp. 315-352. Sytuację po ukazaniu się książek Aschbache-ra i Smitha opisuje Micheal Aschbacher w artykule The status of the classification of finite simple groups, Notices of the Amer. Math. Soc. Vol. 51, No. 7 (2004), pp. 736-740.

Powracając do ciągu kompozycyjnego (1.4), jeśli faktory tego ciągu są abelowe (a więc izomorficzne z grupami Z_p dla liczb pierwszych p), to grupa G nazywa się grupą rozwiązalną. Wszystkie grupy małych rzędów są rozwiązalne. Najmniejszą grupą skończoną, która nie jest rozwiązalna jest grupa alternująca A₅ rzędu 60. Jest to mianowicie najmniejsza nieabelowa grupa prosta. Żadna nieabelowa grupa prosta G nie jest rozwiązalna, gdyż E < G jest jej ciągiem kompozycyjnym i jedyny faktor prosty G/E = G jest grupą nieabelową.

Najsławniejszym twierdzeniem o grupach rozwiązalnych jest zapewne twierdzenie Feita i Thompsona z 1963 roku mówiące, że każda grupa skończona rzędu nieparzystego jest rozwiązalna. Wynika stąd w szczególności, że każda nieabelowa skończona grupa prosta ma rząd parzysty.

1.2 Działanie grupy na zbiorze

Mówimy, że grupa G działa na zbiorze X jeśli jest dane odwzorowanie G x X —* X, (g, x) i—► gx, takie, że spełnione są dwa warunki:

(a)    f(gx) = (fg)x dla f,g€G, x € X,

(b)    lx = x dla x € X.

Uwaga 1.2.1. Każdy element g € G wyznacza odwzorowanie g' zbioru X w siebie g' : x -* X,    g'(x) = gx.