5469091772

Własności funkcji holomorficznych:

1.    Jeśli f,ge H(D), to (f ± g) E H{D) oraz fg E H(D).

2.    Jeśli f,ge H(D), to i € H(D\(g~'(0)).

3.    Jeśli g e H(D), f € H(f(D)), to (/ o g) e H(D).

3 Funkcje elementarne

3.1 Funkcja wykładnicza

Funkcję wykładniczą w dziedzinie zespolonej zdefiniujemy tak samo jak w analizie rzeczywistej tzn.    _n

exp(z) := lim ^1 + —^ .

Wykażemy istnienie tej granicy dla każdego z E C.

1. Najpierw pokażemy zbieżność modułów tzn.

(3.1)

(3.2)

J5ŁI (^Ł+Ś)"l⁼*■*

Skorzystamy z własności, że \zⁿ\ = \z\ⁿ. Zatem

1 + - = 1 + - +-

l\ n/ I L^v n' ⁷

Przechodząc do granicy otrzymamy, że

lim |(l + -)ⁿ| =e*.

n-»oo I V n/ I

czyli zachodzi (3.1).

2. Niech Arg z oznacza argument główny liczby 2. Pokażemy, że lim Arg ^1 + — ^ — y.

Zauważmy najpierw, że

/ z \    ²

Arg (1 + - ) = arctg—2 V n)    ł + n

Ponieważ Arg(zⁿ) = nArg(z), to

Arg 11 H—) = narctg I