5600235754

5 Rekurencja 11

5 Rekurencja

Ciąg liczbowy o wartościach rzeczywistych to funkcja a : N —* R. Ciąg liczbowy możemy określić na kilka sposobów:

•    poprzez podanie wszystkich jego wyrazów, np. 1,0,1,0,1,...,

•    poprzez podanie jawnego wzoru w postaci jawnej, np. a_n = n²,

•    poprzez podanie przepisu jak tworzyć kolejne wyrazy wykorzystując wyrazy już znane, czyli rekurencyjnie.

Mówimy, że ciąg liczbowy a_n, n € N jest zadany rekurencyjnie, gdy

•    dane są jego początkowe wyrazy ao, ai,..., a*,, gdzie k > 0, oraz

•    dana jest reguła pozwalająca wyznaczyć wyraz a_n+i w zależności od wyrazów ao, ai,..., a_n, dla n > k.

Typowymi przykładami cięgów rekurencyjnych są ciągi arytemtyczne i geometryczne.

5.1 Ciąg arytmetyczny

Niech ao i r będą dowolnymi, ustalonymi liczbami rzeczywistymi. Reguła rekuren-cyjna

a_n+i ⁼ a_n r

definiuje ciąg arytmetyczny o początkowym wyrazie ao i różnicy r. Wzór w postaci jawnej tego ciągu wygląda następująco:

0*71 = a o + nr

dla dowolnego n e N.

5.2 Ciąg geometryczny

Niech ao i q będą dowolnymi, ustalonymi liczbami rzeczywistymi. Reguła rekuren-cyjna

^an+1 ^{= a}n ' ^

definiuje ciąg geometryczny o początkowym wyrazie ao i ilorazie q. Wzór w postaci jawnej tego ciągu wygląda następująco:

a_n =    • qⁿ

dla dowolnego n € N.