720154748

14 Szczególne rodzaje ideałów

P. Ich obrazy przez odwzorowanie n to jedyne ideały w P/m. Oczywiście 7r(P) = P/m, jak wygląda 7r(m) ? Otóż, 7r(m) = m/m = {o + m, a € m} = 0p/_m. wobec tego P/m jest ciałem na podstawie własności 2.1.5.

Jeśli teraz P/m jest ciałem, to P/m nie posiada ideałów właściwych. Weźmy taki ideał 7 pierścienia P, że m C 7. Wtedy 7r(7) = 7/m = {o + m, a € 7} jest ideałem w P/m, zatem 7/m = (0) lub 7/m = P/m. W pierwszym przypadku widzimy, że jeśli a € 7, to a + m = 0 + mm czyli a € m co oznacza, że 7 = m. W drugim przypadku w szczególności 1 + m e 7/m czyli istnieje takie a € 7, żel + m = a + m skąd 1 — a = s dla pewnego s € m. Ale m C 7, więc 1 — a G 7 skąd 1 G 7 a tym samym 7 = P.    □

Własność 4.2.3 (własności ideału maksymalnego). Niech P będzie pierścieniem.

(1)    Każdy ideał właściwy w P zawiera się w pewnym ideałe maksymalnym.

(2)    Każdy ideał maksymalny w P jest ideałem pierwszym.

Dowód.

(1)    Ustalmy ideał 7 ^ P i rozważmy rodzinę (JoP : 7 C J / P}. Jest ona niepusta i uporządkowana częściowo przez inkluzję, ponadto dowolny łańcuch X w tej rodzinie posiada w niej majorantę (J X, (zauważmy, że ta suma nie może być całym pierścieniem bo należała by do niej jedynka, co by oznaczało, że 1 należałaby do któregoś z ideąłów z łańcucha a wtedy jak wiemy ideał ten musi być całym pierścieniem). Dzięki lematowi Kuratowskiego-Zorna istnieje w tej rodzinie element maksymalny i ideał ten spełnia tezę.

(2)    Jeśli ideał m jest maksymalny, to P/m jest ciałem. W szczególności P/m jest pierścieniem

całkowitym i własność 4.1.2 kończy dowód.    □

Przykład 4.2.4.

(1)    W pierścieniu Z ideały pierwsze to (0) oraz (p), gdzie p jest liczbą pierwszą. Ideały maksymalne są zaś postaci (p) dla liczby pierwszej p.

(2)    W pierścieniu wielomianów 7,[x\ (*) ideał (x) jest ideałem pierwszym, nie jest to jednak ideał maksymalny (bo Z[x\/(x) = Z jest pierścieniem całkowitym lecz nie ciałem).

Ćwiczenia - zestaw 2

zad.2.1. Udowodnić, że w dowolnym pierścieniu całkowitym o skończonej liczbie elementów każdy niezerowy element jest odwracalny.

zad.2.2. Sprawdzić, czy zbiór 7 = {/ € P : /(O) = /(1) = 0} jest ideałem w pierścieniu funkcji rzeczywistych ciągłych na odcinku [0,1] (pierścieniem z działaniami dodawania i mnożenia funkcji).

zad.2.3. Sprawdzić, czy zbiór 7 = {/ e P : /(O) = 2/(1)} jest ideałem w pierścieniu funkcji rzeczywistych ciągłych na odcinku [0,1] (pierścieniem z działaniami dodawania i mnożenia funkcji).

(¹)Z definicją pierścienia wielomianów zapoznamy się niebawem.