Ekonometria semestr III  Ćwiczenia 4  PL
1. Dana jest tablica sympleksowa pewnego zadania PL z kryterium minimalizacji. W postaci wyj ciowej w
zadaniu s trzy (nieujemne) zmienne decyzyjne x1, x2 i x3, oraz dwa nieelementarne warunki ograniczaj ce
postaci nierówno ci typu . Do warunków tych zostały wprowadzone zmienne dodatkowe x4 i x5,
odpowiednio do pierwszego i drugiego.
a) dla jakich warto ci współczynnika funkcji celu przy zmiennej x2 podana tablica b dzie ostatni tablic
simpleksow (wyznaczaj c RO tego zadania)?
b) dla jakich warto ci współczynnika funkcji celu przy zmiennej x1 zbiór Dopt ulegnie zmianie?
c) jaki jest zakres zmienno ci współczynnika funkcji celu przy zmiennej x2?
d) jak zmieni si minimalna warto funkcji celu gdy zwi kszymy warto ci wsp. funkcji celu przy zmiennej
x1 o jeden?
e) jak zmieni si minimalna warto funkcji celu gdy zwi kszymy warto ci wsp. funkcji celu przy zmiennej
x3 o jeden?
f) po dodaniu warunku ograniczaj cego 2x2 + 3x3 d" Ä… sprawdzi , dla jakich warto ci Ä… zmieni si zestaw
zmiennych bazowych
g) poda RO dla Ä…=62
2. Dane jest zadanie PL
a)1x1 + 2x2 max
p. w.: 3x1 + 5x2 d" 30
4x1 + 3x2 d" 24
5x1 + 8x2 d" 40
x1 e" 0, x2 e" 0
oraz cz ciowa tablica simpleksowa jego BRO
1 2 0 0 0
x1 x2 x3 x4 x5 b
x3 -1/8 -5/8 5
x4 17/8 1 -3/8 9
x2 5/8 1/8 5
cj - zj 170
a) uzupełni tablic simpleksow
b) w jakim zakresie mog jednocze nie zmienia si współczynniki funkcji celu przy x1 i x2 bez naruszania
optymalno ci tego rozwi zania?
c) jaki jest zakres zmienno ci wyrazu wolnego w trzecim warunku dla podanego BRO?
d) jakie rozwi zanie optymalne otrzymamy je li warto wyrazu wolnego w drugim warunku wyniesie 15?
e) czy doło enie warunku ograniczaj cego x1>3 zmieni zestaw zmiennych bazowych w RO? Jak zmieni si
warto funkcji celu?
f) czy doło enie warunku ograniczaj cego x1  x2 e" 1 zmieni zestaw zmiennych bazowych?
3. Dane jest zadanie PL w postaci klasycznej z n zmiennymi decyzyjnymi z maksymalizacj funkcji celu
f(x1, x2) = c1x1+c2x2. Wiemy, e zbiór jego rozwi za optymalnych jest jednoelementowy a RO jest
niezdegenerowane.
Odpowiedz: prawda czy fałsz? Odpowied uzasadnij.
a) Celem ustalenia zakresu zmienno ci współczynnika funkcji celu przy zmiennej b d cej zm. niebazow w
RO nale y rozwi za tylko jedn nierówno typu cj  zj d" 0.
b) Zakresem zmienno ci współczynnika cj mo e by suma niepustych przedziałów rozł cznych
c) Doł czenie do zadania dowolnego warunku ograniczaj cego, w którym nie wyst puje adna zmienna
bazowa w RO spowoduje zmian rozwi zania optymalnego
d) Je li x1 jest zmienn bazow w pierwszym ograniczeniu a zakresem zmienno ci wyrazu wolnego b1 z tego
ograniczenia jest przedział <4,25> to zmiana warto ci b1 na dowoln liczb z tego przedziału spowoduje
jedynie zmian warto ci zmiennej x1 w RO
e) Dowolny wzrost lub spadek warto ci wyrazu wolnego w warunku lu nym w rozwi zaniu optymalnym nie
spowoduje zmiany zestawu zmiennych bazowych w RO.
4. (zadanie 10.4) Dla danego zadania PL przedstawiono tablic simpleksow odpowiadaj c jednemu z
BRO. Za jej pomoc wyznaczy zbiór Xopt i Dopt tego zadania.
(si i ai oznaczaj odpowiednio zmienn dodatkow i zmienn sztuczn )
b) 2x1 + ½ x2 max
p.w.
x1 + x2 e" 1; 2x1  x2 d" 4; -x1 +2x2 d" 4; 4x1 + x2 d" 12; x1 e" 0; x2 e" 0
2 1/2 0 -M 0 0 0
z.b. x1 x2 s1 a1 s2 s3 s4 xB
x1 1 0 0 0 1/6 0 1/6 8/3
s1 0 0 1 -1 -1/2 0 ½ 3
s3 0 0 0 0 3/2 1 -1/2 4
x2 0 1 0 0 -2/3 0 1/3 4/3
cj - zj 0 0 0 -M 0 0 -1/2
c) 2x1  x2 min
p.w.
-3x1 + x2 d" 4; 2x1 - x2 e" 5; x1 e" 0; x2 e" 1
2 -1 0 0 0 0
z.b. x1 x2 s1 s2 s3 a3 xB
s3 0 0 -2 3 1 -1 6
x1 1 0 -1 1 0 0 1
x2 0 1 -2 3 0 0 7
cj - zj 0 0 0 1 0 M
d) 2x1 + ½ x2 min
p.w.
-3x1 + x2 d" 4; 2x1  x2 e" -5; 4x1 + x2 d" 12; x2 e" 0; x2 e" 1
2 -2 1/2 0 0 0 M
z.b. x1+ x1 x2 s1 s2 s3 a3 xB
x1 -1 1 0 1/3 0 1/3 -1/3 1
s2 0 0 0 -2/3 1 1/3 -1/3 2
x2 0 0 1 0 0 -1 1 1
cj - zj 0 0 0 2/3 0 7/6 -7/6+M
f) 2x1 + 4x2  2x3 max
p.w.
2x1  x2 d" 2; x1 +2x2 - x3 d" 3; x1 + x2 e" 1; x1 e" 0; x2 e" 0; x3 e" 0
2 4 -2 0 0 0 -M
z.b. x1 x2 x3 s1 s2 s3 a3 xB
s1 5/2 0 -1/2 1 1/2 0 0 7/2
s3 -1/2 0 -1/2 0 1/2 1 -1 1/2
x2 1/2 1 -1/2 0 1/2 0 0 3/2
cj - zj 0 0 0 0 -2 0 -M
g) 7x1 + 6 x2 max
p.w.
-3x1 + x2 d" 1; 5x1 +x2 d" 15; x1 + x2 e" 10; x1 e" 0; x2 e" 0
7 6 0 0 0 -M
z.b. x1 x2 s1 s2 s3 a3 xB
x2 0 1 5/8 3/8 0 0 25/4
x1 1 0 -1/8 1/8 0 0 7/4
a3 0 0 -1/2 -1/2 -1 1 2
cj - zj 0 0 -M/2-14/8 -M/2-25/8 -M 0
5. Wykaza wykorzystuj c ide metody kar, e poni szy układ warunków jest
sprzeczny:
x1 + 3x2 e" 4
2x1 + x2 e" 6
x1 + x2 d" 3
x1 e" 0, x2 e" 0