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C’est a M. Hartogs¹) que nous devons 1’idee d'introduire la fonction mentionnee et aussi la demonstration qu’a tout nombre non-fini m correspond une valeur de cette fonction.

M. Tars ki a etabli (entre autres) les suivantes proprietes de la fonction X (m) (evidemment, sans avoir recours a l’axiome du choix):

76    (7). On a: x (m 4- n) = X (m) + x (n) = x (m. n) = = X (m). x (n).

77    (7). Si m n, alors x (nt) ^ X (it). •

78    (7*). Les suivantes conditions sont equivalentes:

(a) m est un aleph; (b) ni < X (m); (c) m et X (m) sont com-parables, c.-a-d.: m X (ni) ou bien X (ni) m; (d) [ni + X (m)] —

— m = X (m); (e) m + x (m) = m. x (ni); (f) m -f x (ni) = [ni -j- K (m)]².

79    (7). x(m)<>2-”, et par suitę 2‘^s(m)<; 2'~ (etx(m)<2²² ).

80. x (m) O 2^m\ et par suitę 2^s<^n,)    2²‘ⁿ (et x (m) <C 2³ ' ).

L’inegalite X (nt) < 2² du dernier theoreme a ete etablie par M. Sierpiński.

Lorsque m = X_a, X (m) = X_v x; donc on peut considerer la proposition suivante comme corollaire du th. 80:

81 (7). a etant un nombre ordinal arbitraire, X_{7 l}^*2^ss

donc 2“*H < 2(et X_a+l < 2²*«).

On connait une decomposition effective de 1’ensemble de tous les nombres reels (de puissance 2^S) en X, parties disjointes non-vides^J). L’analyse de la demonstration du th. 81 conduit au resultat de naturę plus generale: a une decomposition effective de 1’ensemble de puissance 2^M« (a etant un nombre ordinal arbitraire) en X_y j parties disjointes non-vides.

En completant les resultats precedemment publies de M. Tarski^:i), on peut prouver (entre autres) que:

82. L’axiome du choix equivaut a chacune des proposi-tions suivantes:

1

^!) Math. Ann. 76 (1914), pp. 436-443; cf. aussi W. Sierpiński, Fund Math. 2 (1921), p. 118.

2

) H. Lebesgue, Journ. de Math. (6) 1 (1905), p. 213.

3

⁸) Fund. Math. 5 (1923), _PP. 147-154.