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Whitehead^{1 2 3}); on sait, en effet, que les types ordinaux ne sont qu’un cas special de cette espece des nombres.

§ Ą. Fondements de l\AritHmetiq\je des nombres

ordinaux (transfinis).

L’Arithmetique des nombres ordinaux peut etre consideree comme un systeme deductif a part ayant ses propres notions primitivęs et tout a fait independant d’un tel ou autre systeme de la Theorie des Ensembles. M. T a r s k i developpa (en 1923—1924)“) les fondements de PArithmetique ainsi conęue. La construction du systeme d’Arithmetique des nombres ordinaux n’exige, dans cette conception, que la connaissance de la logique mathematique limitee a la theorie de deduction et a celle des variables apparentes des „Principia Matfrematica”' ) ou bien a la Logistique et POntologie de M. Leśniewski.

La base du systeme est formee par quatre axiomes [I—IV] ou le signe „<T figurę comme Punique terme primitif. Nous allons donner deux enonces paralleles de ces axiomes: Pun dans le langage courant et Pautre dans la formę symbolique, intelli-gible pour qui connait „Principia Matfrematica"⁴). Si Pon formule ces axiomes dans le langage courant, il est commode de se servir de la notion du nombre ordinal, prealablement definie comme suit:

a est un nombre ordinal, lorsqu’il existe un tel S que

a < $ ou 4 < a.

Ord (a) . = s • [g 4] : a < 4. V • £ < a-

Voici les axiomes de M. Tars ki:

I (axiome du bon ordre). Si un nombre ordinal possede une propriete donnee, il existe un nombre ordinal |X possedant

1

^!) Op. cit., Vol. II, p. 331.

2

) Ces resultats ont ete presentes par M. Ta r s k i a la Seance du 9.V.1924 de la Soc. Pol. de Mathematique (Section de Varsovie). Cf. Annales Soc. Pol. Math. III, 1924, p. 148.

3

⁸) Vol. I, Part I, Sections 4, B.

4

■•) Le deuxieme modę d’enoncer les axiomes presente certaines sim-plifications par rapport au premier.