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On peut montrer notamment, en se basant sur les resultats de M. Neumann1 2 3), que le systeme U ad met une interpretation dans celui de MM. Zermelo-Fraenkel.
2 (T). Si les axiomes du systeme U sont compatibles, chacun d'eux est independant des autres (en d'autres termes: n'est pas une conseąuence des autres).
Pour justifier cette assertion, M. Tarski a donnę les inter-pretations dans le systeme U de chacun des systemes [I', II, III, IV], [I, II', III, IV], etc. („P'” designant d'une faęon generale la negation de la proposition P); il a defini notamment quatre rela-
tions: <Cp <CU, etc. dont chacune satisfait a trois axiomes du systeme U sans en satisfaire au quatrieme. Voici les definitions de ces relations:
C <J 7j veut dire que C < \ ou £ = 7j, ou C et 7] sont des nombres ordinaux.
C <Cn 7) veut dire que C <C 7) et 7] < w.
ę <Im 7J veu* d*re Cl06 e* 7] C 12.
C <IV 7) veut dire que £ «< tj et 7] c (o(t).
II est a remarquer que la demonstration de l'independance de l'axiome III (a savoir, la demonstration que la relation <IU verifie l'axiome IV) necessite 1'application de l'axiome du choix.
Le probleme si le systeme U est categorique (au sens de M. V e b 1 e n ")) ou non—est intimement lie a celui de l'existence des nombres initiaux reguliers a indices de 2-de espece ;), qui n'est pas resolu jusqu'a present. Nous appellerons „hypothese H” la proposition qui en affirme l'existence. M. Tarski a etabli les faits suivants:
3 (T). Si les axiomes du systeme U sont compatibles, l'hypothese H est independante de ce systeme.
Voici la definition de la relation <H qui verifie tous les axiomes du systeme U sans verifier 1'hypothese H:
veut dire que l'on a a la fois: (a) (b) si les
nombres initiaux reguliers a indices de 2-de espece existent et £ en est le plus petit, on a tj < i.
') Acta litt. scient. Univ. Fr.-Jos., Sectio scient. math., I, Szeged 1923, pp. 199-208.
) Trans. Am. Math. Soc. 5 (1904), p. 346.
) Cf. F. H a u s d o r f f, Grundzuge der Mengenlehre (1914), p. 131.
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