9742848391

Notatki do lekcji, klasa matematyczna - Mariusz Kawecki, U LO w Chełmie

Metoda. Geometria jest nauką dedukcyjną. Oznacza to, że główną metodą, którą się posługuje jest dedukcja. W metodzie dedukcji przyjmuje się pewne, zwykle oczywiste i jasne stwierdzenia za prawdziwe. Zbiór tych stwierdzeń nazywamy zbiorek aksjomatów (albo zbiorem pewników). Przyjmujemy też za zrozumiałe pewne elementarne określenia (jakby podstawowe obiekty), nazywamy je pojęciami pierwotnymi i zakładamy, że są powszechnie zrozumiałe i nie ma potrzeby ich objaśniać. Trzecim elementem, który przyjmiemy za oczywisty są najprostsze relacje (zależności) między pojęciami pierwotnymi.

Mamy, wic trzy proste i zrozumiałe zbiory: pojęcia pierwotne, relacje i aksjomaty. Każdy inny obiekt, który zechcemy w naszej nauce osadzić powinien zostać zdefiniowany (określony) przy pomocy pojęć pierwotnych lub już zdefiniowanych obiektów. Każde twierdzenie powinno zostać wyprowadzone z przyjętych aksjomatów lub twierdzeń wcześniej uzasadnionych. Każda nowa relacja (zależność) między obiektami, powinna zostać zdefiniowana w oparciu o już istniejące obiekty bądź relacje.

Metoda dedukcyjna zakłada, że żadne twierdzenie nie zostanie przyjęte „na wiarę” bez należytego uzasadnienia. Oczywiście w nauce geometrii będziemy także posługiwali się innymi metodami np. rysunkiem, podobieństwem do przedmiotów rzeczywistych, ale należy pamiętać, że są to wszystko metody pomocnicze, które w żaden sposób nie zastąpią prawdziwego dedukcyjnego dowodu.

Pojęcia pierwotne. Za pojęcia pierwotne, które nie wymagają objaśnień i są same przez się zrozumiałe przyjmiemy: punkt, prostą i płaszczyznę. Starożytni próbowali definiować te pojęcia, jednak definicje te zawierały niejasności i niedomówienia.

Na początku Elementów Euklides podał określenia przyjętych przez nas pojęć pierwotnych. Punkt - zdaniem Euklidesa - jest to coś, co nie ma części. Linia - to długość bez szerokości. Prosta - jest to linia, która leży jednakowo względem wszystkich swoich punktów. Przyjmując takie określenia możemy zapytać - co to jest część? Albo - czym są długość i szerokość? Co znaczy „leżeć jednakowo”? Jak widać coś co miało wyjaśnić pojęcie, gmatwa je jeszcze bardziej. Określenia Euklidesa posiadają pewien walor poetycki, jednak nie o zgrabną wypowiedź tu chodzi.

Punkt, prosta, płaszczyzna są to, zatem pojęcia pierwotne, których definiować już nie będziemy. Zauważmy tylko, że poruszający się punkt wyznaczy prostą, poruszająca się prosta wyznaczy płaszczyznę a poruszająca się płaszczyzna wyznaczy przestrzeń. Zauważmy także, że punkt dzieli prostą, prosta dzieli płaszczyznę a płaszczyzna dzieli przestrzeń. Te pierwsze intuicje geometryczne w dalszej części zostaną przeanalizowane.

Aksjomaty. Zbiór aksjomatów, elementarnych, oczywistych twierdzeń przyjmowanych bez dowodu liczy kilkanaście zdań. Na pierwszych lekcjach geometrii aksjomaty te zostaną podane. Poczyńmy ważną uwagę. Podamy najważniejsze wykorzystywane przez nas aksjomaty, z których niektóre będą wynikały z już przyjętych. Szkolny kurs geometrii elementarnej nie może być przesadnie ścisły i akademicko precyzyjny gdyż zatraci walory edukacyjne. Część dowodów będzie, zatem szkicowa a zbiór aksjomatów nie będzie zupełny tzn. nie wprowadzimy wszystkich aksjomatów niezbędnych do uzasadnienia niektórych twierdzeń.

Najważniejszym aksjomatem z Elementów jest V postulat Euklidesa. We współczesnym sformułowaniu brzmi on następująco: Przez każdy punkt nie leżący na danej prostej przechodzi dokładnie jedna prosta równoległą do danej. Równoległa oznacza tu, że proste nigdzie się

2