1629289594

2.1. Przestrzenie afiniczne 13

Definicja 2.6. Niech T będzie niepustym podzbiorem przestrzeni afinicznej Rⁿ. Symbolem Conv(T) zbiór wszystkich środków ciężkości punktów z T o wagach nieujemnych.

To znaczy. Jeżeli po € T to Conv(T) —    ^aiPi I Pi € T, Yli=o ®i ⁼ 1» ^ai ^ o| =

- {po + a₀po,Po + Ei=i (HPo,Pi | Pi e T, £*₌₀ ^ai = 1, <H > o} =

= {po + Ei=i o.iPo,Pi , | Pi G T,£*=1 Oj < 1,di > o}.

Przykład 2.1. Uwypukleniem trzech punktów A = (0,0), B = (0,2)iC = (5,2) jest trójkąt A ABC = Conv({A, B,C}) = {aiA + a,2B + a^C | ai + 02 + 03 = 1,0* > 0} = {(503,202 + 203) | fli + 0,2 + 03 — 1, flj ^ 0} = {(0,0) + <22(0,2) + <13(5,2) | 02 + 0-3 ^ 1, cii ^ 0}

Twierdzenie 2.2. Conv(T) jest najmniejszym zbiorem wypukłym zawierającym T.

Dowód.

1)    Wypukłość.

Niech p = Yli=o ^aiPi ^oraz Q = Hf=o ^iPi będą dwoma punktami z Conv T. Zatem pj € T, di — l — J2i=o bi oraz di > 0, bi > 0. Dowolny punkt odcinka [p, ą] jest postaci (1 — t)p+tq, gdzie t € [0,1].

Teraz (1 -t)p + tq = (l-t)Ef=o <HPi + tYli=o ^biPi = £-L₀ ((1 - t)di + tbi)pi € Conv(T), gdyż £j_₀ ((1 — t)aj + tbi) = 1 i współczynniki są nieujemne.

2)    Minimalność.

Niech X będzie zbiorem wypukłym zawierającym T. Pokażemy przez indukcję względem długości zapisu kombinacji wypukłej, że każdy punkt z Conv(T) należy do X.

Niech p = £_tt₀ diPi € Conv T, gdzie p; € T, £*L₀ a, = 1 oraz aj > 0.

1° A: = 0. Wtedy p = p₀ € T C X.

2° Krok indukcyjny. Zakładamy, że A: > 0 i każda kombinacja wypukła długości < k należy do X.

Punkt p przedstawiamy w postaci kombinacji wypukłej p = £j_₀ diPi = aopo + (1 — ao)q, gdzie q — Yli=i jz^Pi- Ponadto punkt q G X z założenia indukcyjnego. Gdyby 1 — ao = 0 to P = Po-

□

Definicja 2.7. Hiperpłaszczyzną V podpierającą zbiór wypukły W C Rⁿ w punkcie p nazywamy taką podprzestrzeń afiniczną V, że: dimV = n — 1, p 6 V, W leży po jednej stronie V to znaczy istnieje taka półprzestrzeń H zawierająca W, że V — dH jest brzegiem i p G dH. Inaczej mówiąc V jest opisana równaniem V = {x G R" | a • x = 6},

gdzie a G Rⁿi b G R są takie, że a • x < b oraz a • p = b.

Twierdzenie 2.3. Jeżeli W jest zbiorem wypukłym i domkniętym ip G dW (p należy do brzegu W) to istnieje hiperpłaszczyzną podpierająca zbiór W w punkcie p.