Kraków, 25.05.2010
Maria Malejki
Wydzial Matematyki Stosowanej
AGH
                  -
Zagadnienia do egzaminu z przedmiotu Matematyka dla studiów stacjonarnych pierwszego
stopnia na kierunku Górnictwo i Geologia na Wydziale GiG, rok IA
            -
Semestr 2
1. Calka nieoznaczona, wzory podstawowe.
Calkowanie przez cz¸Å›ci.
e
Calkowanie przez podstawienie.
Calkowanie funkcji wymiernych.
Calkowanie funkcji niewymiernych. Calkowanie funkcji trygonometrycznych.
2. Calka oznaczona. Calka jako funkcja granicy calkowania. Przeksztalcanie calek oznaczonych.
Calki niewlaściwe.
Zastosowanie calek do obliczania pola obszaru i dlugości krzywej.
3. Macierze i wyznaczniki.
WlasnoÅ›ci wyznaczników. Dzialania na macierzach. Macierz odwrotna. Rz¸ macierzy, badanie
ad
rz¸ macierzy za pomoc¸ minorów.
edu a
4. Uklady równań liniowych. Wzory Cramera. Twierdzenie Kroneckera-Capelliego.
5. Geometria analityczna na plaszczyz
nie i w przestrzeni. Równania plaszczyzn i prostych w
przestrzeni. Iloczyn skalarny, wektorowy, mieszany, zastosowanie.
6. Liczby zespolone.
                         -
1
Przykladowe typy zadań na egzamin z Matematyki.
1. Obliczyć calki nieoznaczone:
sin x cos 3x dx, ln(x2 + 4)dx
2. Obliczyć calki nieoznaczone:
"
"
x3 - 2 x + 3
dx, x2 + 4x + 5 dx.
x
3. Obliczyć calki nieoznaczone:
"
x arcsinx x3 + 2 x - 5
"
dx, dx
x
1 - x2
4. Obliczyć calki nieoznaczone:
5x 4 5x
dx, dx, dx,
1 - x2 (x + 3)5 x2 + 3
5. Obliczyć calk¸ z funkcji wymiernej:
e
-x4 + 3x3 - 3x2 + 6x - 1
dx.
(x2 + 1)(x - 3)
6. Obliczyć calk¸ z funkcji wymiernej:
e
-3x4 + 6x - 1
dx.
x2 - 9
7. Obliczyć calki nieoznaczone:
5 sin x 3 - sin x
dx, dx.
1 - 4 cos2 x cos x + 1
8. Obliczyć calki nieoznaczone:
"
2x
"
dx, 5x2 + 3dx.
1 + x2
9. Obliczyć calk¸ oznaczon¸
e a:
0.5
arccosx
"
dx.
0 - x2
1
10. Obliczyć calk¸ oznaczon¸
e a:
1
2ex
2x - dx.
0 3 + ex
11. Obliczyć calk¸ oznaczon¸
e a:
4
(x - 2)e-xdx.
0
2
1 5
12. Obliczyć pole obszaru ograniczonego wykresami: hiperboli y = i prostej y = -x + .
x 2
Wykonać rysunek przdstawiaj¸ ten obszar.
acy
13. Obliczyć obj¸ bryly obrotowej powstalej z obrotu dookola osi OX wykresu funkcji y =
etość
"
1 + 3 x dla x " [0, 4].
" "
14. Obliczyć pole obszaru ograniczonego wykresami: y = x, y = 2 x i y = 1.
15. Obliczyć pole obszaru ograniczonego wykresami: y = -2x2 + 3 i y = x.
16. Obliczyć dlugość krzywej danej parametrycznie:
x = t2
" "
1
y = t - t3, t " [- 3, 3].
3
17. Obliczyć obj¸ bryly powstalej przez obrót obszaru ograniczonego wykresem funkcji y = sin x
etość
dla x " [0, Ä„] i osia OX dookola osi 0X.
¸
18. Obliczyć dlugość krzywej danej parametrycznie:
x = 1 + 2et cos(Ä„t)
y = -3 + 2et sin(Ä„t), t " [0, 5].
19. Obliczyć obj¸ bryly powstalej przez obrót obszaru ograniczonego wykresem funkcji y =
etość
Ä„
cos x dla x " [-Ä„ , ] i osia OX dookola osi 0X.
¸
2 2
20. Zbadać zbieżność calki niewlaściwej:
+"
xe-xdx.
0
21. Zbadać zbieżność calki niewlaściwej:
+"
5
dx.
1 x2
22. Zbadać zbieżność calki niewlaściwej:
1
1
" dx.
3
0 x
23. Podaj definicj¸ wyznacznika lub wzór Laplace a na wyznacznik dla macierzy A = [aij] rozmiaru
e
îÅ‚ Å‚Å‚
5 1 1 1
ïÅ‚ śł
0 4 2 2
ïÅ‚ śł
n × n dla n e" 1. Oblicz wyznacznik det ïÅ‚ śł .
ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 3 0
0 0 0 2
îÅ‚ Å‚Å‚
1
ïÅ‚ śł
2
ïÅ‚ śł
24. Dane s¸ macierze A = 1 0 -1 0 " M1×4 i B = ïÅ‚ śł " M4×1.
a
ðÅ‚ ûÅ‚
0
-1
Czy można wykonać nast¸ ace mnożenia tych macierzy: A B i B A ?
epuj¸
Wykonaj te mnożenia, które s¸ możliwe do wykonania.
a
3
25. Dla macierzy
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 1
1 1
ïÅ‚ śł
0 2 2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
A = ïÅ‚ śł , B = 0 4 ûÅ‚
ðÅ‚
ðÅ‚ -1 0 0
ûÅ‚
1 -1
3 0 0
obliczyć iloczyny macierzy: A · B oraz BT · AT .
Oblicz rzdy macierzy A i B.
îÅ‚ Å‚Å‚
0 1 0 0 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ 1 0 1 0 0 śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
26. Oblicz wyznacznik i rz¸ macierzy A = 0 1 0 1 0 .
ad
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 0 1 0 1
ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 0 3 0
27. Oblicz macierz odwrotn¸ (A-1) do macierzy
a
îÅ‚ Å‚Å‚
-1 0 5
ïÅ‚ śł
A = 0 1 1 .
ðÅ‚ ûÅ‚
-1 0 0
28. Oblicz wyznacznik
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 1 2
ïÅ‚ śł
-1 1 1 1
ïÅ‚ śł
det ïÅ‚ śł .
ðÅ‚ -1 -1 1 1
ûÅ‚
-1 -1 -1 1
29. Dane s¸ macierze
a
1 0 1 1 0 1
A = i B = i C =
-1 2 1 0 -1 0
Rozwiaż równanie macierzowe A · (X + B) = C.
¸
30. Dane s¸ macierze
a
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 6 1 1 1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
A = 0 -2 2 i B = 1 0 .
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 -1 2 -1
Rozwiaż równanie macierzowe A · X = B.
¸
31. Czy uklad równań
x + y - z = 1
2x + y + z = 0
posiada rozwiazanie? JeÅ›li rozwiazania tego równania istniej¸ wyznacz je.
¸ ¸ a,
32. Czy uklad równań
Å„Å‚
ôÅ‚ - 2z + t = 2
x
òÅ‚
2x + y + z = 0
ôÅ‚
ół
z + 2t = 0
posiada rozwiazanie? JeÅ›li rozwiazania tego równania istniej¸ wyznacz je.
¸ ¸ a,
4
33. Wyznacz równanie plaszczyzny przechodz¸ przez punkt P = (-1, -1, 2), prostopadlej do
acej
-

wektora u = [1, 1, -1]. Zbadaj czy punkt P1 = (-1, 0, 2) należy do tej plaszczyzny.
34. Napisać definicje i wzory na iloczyny skalarny i wektorowy. Oblicz iloczyn skalarny i wektorowy
- -
1 2
dla wektorów v = [1, 1, -1] i v = [0, -4, 3]. Wyznaczyć sinus k¸ zawartego mi¸ tymi
ata edzy
wektorami.
35. Wyznacz równanie prostej przechodz¸ przez punkt P = (-1, -1, 2), prostopadlej do plaszczyzny
acej
o równaniu x - 3y + z - 3 = 0. Zbadaj czy punkt P1 = (1, 0, 2) należy do tej prostej.
36. Oblicz obj¸ czworoÅ›cianu, którego wierzcholkami s¸ punkty: A = (1, 0, 0), B = (1, 1, 0), C =
etość a
(0, 0, 1), D = (1, 1, 5). Wyznacz równanie plaszczyzny zawieraj¸ punkty A, B i C oraz
acej
równanie prostej, która zawiera wysokość czworoÅ›cianu poprowadzon¸ z wierzcholka D.
a
37. Czym s¸ liczby zespolone? Wykonać dzialania na liczbach zespolonych, wynik przedstawić w
a
postaci kartezjańskiej:
2-i
a)
3+4i
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
b) (cos + i sin ) · (cos + i sin ).
6 6 3 3
38. Podać wzory na pierwiastki n-tego stopnia z liczby zespolonej. Obliczyć wszystkie pierwiastki
3-go stopnia dla liczby z = 1.
39. Rozwiazać równanie kwadratowe w zbiorze liczb zespolonych:
¸
" "
2z2 + ( 3 + 2i)z + i 3 = 0.
40. Wykonać dzialania na liczbach zespolonych, wynik przedstawić w postaci kartezjańskiej:
ëÅ‚ " öÅ‚24
3 i
íÅ‚ Å‚Å‚
- · (3 + 4i)2.
2 2
41. Rozwiazać równanie w zbiorze liczb zespolonych:
¸
z4 - (3 + 2i)z2 + 6i = 0.
42. Obliczyć pierwiastki 2-go stopnia:
" " "
4 - 3i, -3 - 4i, 24 + 10i.
5