Statystyka Opisowa
Szeregi czasowe
Literatura:
A. Iwasiewicz, Z. Paszek; Statystyka z elementami statystycznych metod
sterowania jakością; AE w Krakowie, 2004
J. Józwiak, J. Podgórski; Statystyka od podstaw; PWE, Warszawa, 1998
M . S o b c z y k , S t a t y s t y k a ; P W N ; W a r s z a w a 1 9 9 8 ( 2 0 0 0 , 2 0 0 2 )
M . W o z n i a k , S t a t y s t y k a o g ó l n a , A E w K r a k o w i e ; K r a k ó w 2 0 0 2
K . Z a j ą c ; W y k ł a d y z e s t a t y s t y k i , A E w K r a k o w i e , K r a k ó w 1 9 9 5
Zasoby internetu:
www.smkj.uek.krakow.pl
2
Szereg statystyczny (chronologicznym, rozwojowym lub dynamicznym) momentom czasu
lub jego okresom przyporządkowane są realizacje zmiennej (zmiennych) opisującej badane
z j a w i s k o .
D o j e g o a n a l i z y w y k o r z y s t u j e s i ę m i ę d z y i n n y m i :
* Przyrosty i indeksy indywidualne
* Indeksy agregatowe
3
Wśród przyrostów rozróżnia się:
- przyrosty absolutne,
- przyrosty względne.
Przyrosty absolutne i względne dzielą się na
- jednopodstawowe (o stałej podstawie)
- łańcuchowe.
Przyrost absolutny jednopodstawowy obliczamy według wzoru:
Dt / tb = yt - yt
b
yt
gdzie: - wartość zmiennej Y w okresie badanym t,
yt - wartość zmiennej Y w okresie bazowym.
b
Przyrost absolutny łańcuchowy wyznacza się w oparciu o wzór:
Dt /(t-1) = yt - yt-1
yt
yt-1
gdzie: i - wartości zmiennej Y w okresie t i t-1.
4
Przyrost względny jednopodstawowy:
yt - yt Dt / tb
b
d = 100 [%]= 100 [%]
t / tb
yt yt
b b
Natomiast, jeśli przyrost absolutny łańcuchowy w okresie t, podzielimy przez
wartość zmiennej Y w okresie t-1, to wówczas dostaniemy przyrost względny
łańcuchowy:
yt - yt-1 Dt / t-1
dt / t-1 = 100 [%]= 100 [%]
yt-1 yt-1
Przyrosty względne informują, o ile procent zmienił się (wzrósł lub zmalał) poziom
zjawiska w okresie badanym t w stosunku do okresu przyjętego za podstawę (tb lub
t-1).
5
Indeksy indywidualne:
- indeksy indywidualne jednopodstwowe
yt
g = 100 [%]
t / tb
yt
b
- indeksy indywidualne łańcuchowe
yt
g = 100 [%]
t / t-1
yt-1
Z a u w a ż m y r ó w n i e ż , ż e p o m i ę d z y p r z y r o s t e m w z g l ę d n y m a i n d e k s e m i n d y w i d u a l n y m ,
w y r a ż o n y c h w p r o c e n t a c h , z a c h o d z ą n a s t ę p u j ą c e r e l a c j e :
g = dt / tb + 100
t / tb
o r a z
g = dt / t-1 + 100
t / t-1
W a r t o ś ć i n d e k s u w i ę k s z a o d 1 0 0 % , o d p o w i a d a w y ż s z e m u p o z i o m o w i z j a w i s k a ( p r o c e s u ) w
o k r e s i e b a d a n y m w p o r ó w n a n i u z o k r e s e m p o d s t a w o w y m , n a t o m i a s t w a r t o ś ć m n i e j s z a o d
1 0 0 % , o z n a c z a s p a d e k w a r t o ś c i p o z i o m u p r o c e s u w o k r e s i e b a d a n y m w p o r ó w n a n i u z
6
o k r e s e m p o d s t a w o w y m .
Jeżeli zachodzi konieczność określenia przeciętnego tempa zmian badanego zjawiska w
c a ł y m o b j ę t y m b a d a n i e m p r z e d z i a l e c z a s o w y m , t o w ó w c z a s m o ż n a p o s ł u ż y ć s i ę ś r e d n i ą
g e o m e t r y c z n ą z i n d e k s ó w ł a ń c u c h o w y c h . D o t e g o c e l u u ż y w a s i ę w z o r u :
N-1
g = g g g ...g
g 2/1 3/ 2 4/3 N / N-1
l u b p o j e g o p r z e k s z t a ł c e n i u :
logg + logg + logg + ...+ logg
2 /1 3/ 2 4 / 3 N / N -1
logg =
g
N -1
g d z i e :
N liczba obserwacji.
Średnia ta jest stosowana przede wszystkim w sytuacji, gdy zachodzi konieczność uśrednienia
w a r t o ś c i c h a r a k t e r y z u j ą c y c h s t o s u n k i p o m i ę d z y d w i e m a w i e l k o ś c i a m i . P r z y k ł a d e m t a k i m s ą
g g
g
w ł a ś n i e w a r t o ś c i i n d e k s ó w i n d y w i d u a l n y c h ł a ń c u c h o w y c h . Ś r e d n i a w a r t o ś ć i n d e k s u
p o s i a d a n a s t ę p u j ą c ą w ł a s n o ś ć :
N -1
yN = y1 g
g
7
k t ó r e j n i e p o s i a d a ś r e d n i a a r y t m e t y c z n a .
Przykład
Liczba zarejestrowanych bezrobotnych [w tys.] w Polsce w kolejnych miesiącach
2001 roku wynosiła odpowiednio:
Tablica robocza 5.2
Przyrosty Przyrosty indeksy
absolutne względne indywidualne
Bezro-
Dt / tb Dt
botni
d g log(g )
dt / t-1 g
Miesiąc t
/(t -1)
t / t-1
t / tb t / t-1
w tys. t / tb
tb = t1
yt
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
I 1 2836 - - - - 100,00% - -
II 2 2877 41 41 1,45% 1,45% 101,45% 101,45% 2,0062
III 3 2899 63 22 2,22% 0,76% 102,22% 100,76% 2,0033
IV 4 2878 42 -21 1,48% -0,73% 101,48% 99,28% 1,9968
V 5 2841 5 -37 0,18% -1,30% 100,18% 98,71% 1,9944
VI 6 2849 13 8 0,46% 0,28% 100,46% 100,28% 2,0012
VII 7 2872 36 23 1,27% 0,80% 101,27% 100,81% 2,0035
VIII 8 2893 57 21 2,01% 0,73% 102,01% 100,73% 2,0032
IX 9 2920 84 27 2,96% 0,92% 102,96% 100,93% 2,0040
X 10 2944 108 24 3,81% 0,82% 103,81% 100,82% 2,0036
XI 11 3022 186 78 6,56% 2,58% 106,56% 102,65% 2,0114
XII 12 3115 279 93 9,84% 2,99% 109,84% 103,08% 2,0132
= 22,0408
yródło: Obliczenia własne
8
Średni miesięczny przyrost (tempo) bezrobocia:
22,0408
logg = = 2,003705
11
stąd:
g = 102,003705 = 100,8567.
Średnie miesięczne tempo wzrostu bezrobocia wynosi, zatem ok. 0,86%.
9
Wyznaczanie tendencji rozwojowych
Wyznaczenie tendencji rozwojowych sprowadza się do eliminacji wpływu wahań
przypadkowych (losowych) oraz wahań okresowych. Proces ten nazywa się wygładzaniem
szeregów czasowych. Do podstawowych metod wygładzania szeregów czasowych należą:
metoda średnich ruchomych (metoda mechaniczna) oraz metoda najmniejszych kwadratów
(metoda analityczna)
10
Metoda średnich ruchomych
Metoda średnich ruchomych sprowadza się do zastąpienia wartości empirycznych
y1, y2,..., yt ,..., yN
yt
, o d p o w i e d n i m i ś r e d n i m i . S p o s ó b w y z n a c z a n i a ś r e d n i e j z a l e ż y o d
l i c z b y o k r e s ó w , z k t ó r y c h j e s t o n a w y z n a c z a n a o r a z o d t e g o c z y l i c z b a t a j e s t p a r z y s t a c z y
n i e p a r z y s t a . Ś r e d n i ą r u c h o m ą d l a n i e p a r z y s t e j l i c z b y o k r e s ó w n a p r z y k ł a d t r z e c h - o b l i c z a
s i ę n a s t ę p u j ą c o :
y1 + y2 + y3
y2 = ,
3
y2 + y3 + y4
y3 = ,
3
.
.
.
yt-1 + yt + yt+1
yt = .
3
11
Kurs yt (cena zamknięcia) akcji Banku Handlowego S.A.
cena
t =
t data zamknięcia t=4
5,c
yt
1 16.11.01 58,2
2 19.11.01 58,6
3 20.11.01 58,8 58,74
4 21.11.01 59,0 58,80 58,65
5 22.11.01 59,1 58,98 58,88
6 23.11.01 58,5 59,22 58,85
7 26.11.01 59,5 59,42 59,03
8 27.11.01 60,0 59,62 59,28
9 28.11.01 60,0 59,96 59,50
10 29.11.01 60,1 60,12 59,90
11 30.11.01 60,2 60,32 60,08
12 03.12.01 60,3 60,44 60,15
13 04.12.01 61,0 60,52 60,40
14 05.12.01 60,6 60,78 60,53
15 06.12.01 60,5 61,12 60,60
16 07.12.01 61,5 61,16 60,90
17 10.12.01 62,0 61,24 61,15
18 11.12.01 61,2 61,34 61,30
19 12.12.01 61,0 61,24 61,43
20 13.12.01 61,0 61,30
21 14.12.01 61,0 61,05
12
Kurs akcji Banku Handlowego S.A.
63,0
62,0
61,0
60,0
59,0
58,0
57,0
56,0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
yt t = 5,c t=4
t
13
t
y
Metoda analityczna
Najprostszą spośród metod umożliwiających oszacowanie parametrów funkcji
trendu jest, poznana we wcześniejszym rozdziale, metoda najmniejszych kwadratów.
Załóżmy, że obrazem tendencji rozwojowej będzie funkcja liniowa postaci:
wt = at + b
,
gdzie:
a współczynnik trendu, wskazuje, jaki jest przeciętny wzrost lub spadek badanego
zjawiska w jednostce czasu t.
t = 0
b określa poziom badanego zjawiska w okresie (momencie) .
14
Stosując metodę najmniejszych kwadratów otrzymamy układ równań:
N N
a + bN = yi
t
i=1 i=1
N N N
a i2 + b = i yi
t t x
i=1 i=1 i=1
który należy rozwiązać ze względu na parametry a i b.
Otrzymamy wówczas:
N N N
N ytt - yt
t
t=1 t=1 t=1
a =
2
N N
2
N
t - ćt
t=1 Ł t=1 ł
N N
yt - a
t
t=1 t=1
b =
N
15
Aby zmierzyć dobroć dopasowania funkcji trendu można wykorzystać odchylenie
standardowe składnika resztowego postaci:
N
2
(y - wt )
t
t=1
se =
N
którego wartość, informuje nas o ile średnio będą się odchylać wartości empiryczne szeregu
od wartości hipotetycznych wyznaczonych w oparciu o funkcję trendu.
16
Przykład
Tabela przedstawia dane dotyczące liczby samochodów osobowych
zarejestrowanych na 1000 mieszkańców
rok t yt
1997 1 221
1998 2 230
1999 3 240
2000 4 259
2001 5 272
2002 6 289
2003 7 294
2004 8 314
2005 9 329
Sum 45 2448
Śr 5 272,0
Wyznacz równanie trendu liniowego.
Oceń dopasowanie modelu.
Ile samochodów na tysiąc mieszkańców będzie zarejestrowanych w 2006 roku?
17
Przykład cd
(t - tsr) e =
rok t yt yt - ysr (yt - ysr)2 (t - tsr) (t - tsr)2 (yt- y^t yt - (yt - y^t)2 t2 yt t
ysr) y^t
1997 1 221 -51,0 2601,00 -4 16 204,00 217,20 3,80 14,4400 1 221
1998 2 230 -42,0 1764,00 -3 9 126,00 230,90 -0,90 0,8100 4 460
1999 3 240 -32,0 1024,00 -2 4 64,00 244,60 -4,60 21,1600 9 720
2000 4 259 -13,0 169,00 -1 1 13,00 258,30 0,70 0,4900 16 1036
2001 5 272 0,0 0,00 0 0 0,00 272,00 0,00 0,0000 25 1360
2002 6 289 17,0 289,00 1 1 17,00 285,70 3,30 10,8900 36 1734
2003 7 294 22,0 484,00 2 4 44,00 299,40 -5,40 29,1600 49 2058
2004 8 314 42,0 1764,00 3 9 126,00 313,10 0,90 0,8100 64 2512
2005 9 329 57,0 3249,00 4 16 228,00 326,80 2,20 4,8400 81 2961
Sum 45 2448 11344,00 60,00 822,00 82,6000285,00 13062
Śr 5 272,0 var 1260,4444
sy = 35,5027
y = at + b
a = 13,700 f2 = 0,73% se2 = 11,8000
b = 203,500 R2 = 99,27% se = 3,4351
18
Samochody osobowe zarejestrowane / 1000 mieszkańców
340
y = 13,7x + 203,5
320
R2 = 0,9927
300
280
260
240
220
200
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t
19
yt
Trend krzywoliniowy
20
Trend krzywoliniowy
Bezrobocie w okresie od 01.2001 do 07.2007
3400,0
3200,0
3000,0
2800,0
2600,0
2400,0
2200,0
2000,0
1800,0
1600,0
I IV VII X I IV VII X I IV VII X I IV VII X I IV VII X I IV VII X I IV VII t
21
t
y [tys.os.]
Bezrobocie w okresie od 01.2001 do 07.2007
3400,0
3200,0
3000,0
2800,0
y = -10,761 t + 3314,1
R2 = 0,4942
2600,0
2400,0
2200,0
2000,0
1800,0
1600,0
I IV VII X I IV VII X I IV VII X I IV VII X I IV VII X I IV VII X I IV VII t
22
t
y [tys.os.]
Bezrobocie w okresie od 01.2001 do 07.2007
3400,0
3200,0
3000,0
y = 3496,5 t -0,059
2800,0 R2 = 0,1637
2600,0
y = 3367,6e-0,0041 t
R2 = 0,493
2400,0
2200,0
2000,0
1800,0
1600,0
I IV VII X I IV VII X I IV VII X I IV VII X I IV VII X I IV VII X I IV VII
t
23
t
y [tys.os.]
Bezrobocie w okresie od 01.2001 do 07.2007
3400,0
3200,0
3000,0
2800,0
y = -0,4975 t2 + 29,042 t + 2776,8
R2 = 0,9335
2600,0
2400,0
2200,0
2000,0
1800,0
1600,0
I IV VII X I IV VII X I IV VII X I IV VII X I IV VII X I IV VII X I IV VII t
24
t
y [tys.os.]
Trend paraboliczny
Wzór opisujący trend:
yt = a0 + a1t + a2t2
P o s t a c i e m a c i e r z y :
y1
ł
1 1 1
ł
ęy ś
a0
ę1 2 22 ś ł
2
ę ś
ę ś
ęa ś
y =
X =
a =
1
ę ś
ę ś M
M M M
ę ś
ęy ś
ę ś
ę ś
2
a
1 n n2
n
R o z w i ą z a n i e :
-1
T T
a =(X X) X Y
25
Trend paraboliczny (bezrobocie)
Pierwsze Kwartały
3500,0
3000,0
2500,0
2000,0
y = -77,696x2 + 509,29x + 2495,8
1500,0
R2 = 0,9864
1000,0
500,0
0,0
t
2001_1 2002_1 2003_1 2004_1 2005_1 2006_1 2007_1
Pierwsze y t
kwartały [ t y s . ]
2 0 0 1 2 8 9 9 , 0
2 0 0 2 3 2 6 0 , 0
2 0 0 3 3 3 2 1 , 0
2 0 0 4 3 2 6 5 , 8
2 0 0 5 3 0 5 2 , 6
2 0 0 6 2 8 2 2 , 0
2 0 0 7 2 2 3 2 , 5
26
yt
Trend paraboliczny (bezrobocie)
1 1 1
ł
ę1 2 4 ś
ę ś
ę ś
1 3 9
ę1 4 16ś
X =
1 1 1 1 1 1 1
ę ś ł
ę1 2 3 4 5 6 7 ś
ę1 5 25ś X =
ę ś
ę ś
ę ś
ę1 6 36ś
1 4 9 16 25 36 49
ę1 7 49ś
2,42857 -1,28571 0,14286
ł
-1
T ę-1,28571 0,79762 - 0,09524ś
(X X ) =
ę ś
ę ś
0,14286 - 0,09524 0,01190
27
Trend paraboliczny (bezrobocie)
1 1 1
ł
ę1 2 4 ś
ę ś
ę ś
1 3 9
ę1 4 16ś
X =
1 1 1 1 1 1 1
ę ś ł
ę1 2 3 4 5 6 7 ś
ę1 5 25ś X =
ę ś
ę ś
ę ś
ę1 6 36ś
1 4 9 16 25 36 49
ę1 7 49ś
2,42857 -1,28571 0,14286
ł
-1
T ę-1,28571 0,79762 - 0,09524ś
(X X ) =
ę ś
ę ś
0,14286 - 0,09524 0,01190
28
Trend paraboliczny (bezrobocie)
2899,0
ł
ę3260,0ś
ę ś
ę ś
3321,0
ę ś
Y =
ę3265,8ś 20852,90
ł
ę3052,6ś T ę ś
X Y = 80267,70
ę ś
ę ś
ę
ę2822,0ś
385380,30ś
ę2232,5ś
2495,7571
ł
ę
a = 509,2893ś
ę ś
ę - 77,6964
ś
29
Indeksy agregatowe
W wielu przypadkach interesujemy się zmianami określonych agregatów (grup)
zjawisk. Przykładem takich agregatów mogą być koszyki dóbr i usług
zaspokajających określoną grupę potrzeb.
Wśród agregatowych wskazników dynamiki wyróżnia się zwykle:
- agregatowy indeks wartości
- agregatowe indeksy ilości (masy towarowej),
- agregatowe indeksy cen.
30
Agregatowy indeks wartości jest stosunkiem sumy wartości określonego
agregatu dóbr w okresie badanym do sumy określonego agregatu dóbr w okresie
podstawowym:
N
q p1.i
1.i
i=1
Iw = 100 [%]
N
q p0.i
0.i
i=1
gdzie:
q1.i - ilość dobra i w okresie badanym,
q0.i - ilość dobra i w okresie podstawowym,
p1.i - cena dobra i w okresie badanym,
p0.i - cena dobra i w okresie podstawowym.
Wartość tego indeksu informuje badacza, o ile wzrosła wartość określonego
31
agregatu dóbr w okresie badanym w stosunku do okresu podstawowego.
Indeks cen Laspeyresa obliczany jest przy założeniu, że ilość dóbr pozostaje
ustalona na poziomie z okresu podstawowego. Oznacza to, że ceny dóbr w obydwu
jednostkach czasu są ważone ilościami dóbr z okresu podstawowego. Agregatowy
indeks cen Laspeyresa wyznaczamy stosując wzór:
N
q p1.i
0.i
i=1
IP.L = 100 [%]
N
q p0.i
0.i
i=1
Wartość powyższego indeksu informuje nas, o ile procent wzrośnie lub zmaleje - w
okresie badanym - wartość dóbr, na wskutek zmiany cen, przy założeniu, że ilość
dóbr pozostanie na poziomie okresu podstawowego.
32
Indeks cen Paaschego wyznaczany jest przy zakładając, że ilość sprzedanych
lub skonsumowanych dóbr kształtować się będzie na poziomie okresu badanego.
Agregatowy indeks cen Paschego opisuje następujący wzór:
N
q p1.i
1.i
i=1
IP.P = 100 [%]
N
q p0.i
1.i
i=1
Wartość indeksu wskazuje, w jakim stopniu zmiana cen spowodowała zmianę
wartość dóbr w okresie badanym, jeżeli ilość dóbr zostanie ustalona na poziomie z
okresu badanego.
33
Agregatowy indeks ilości Laspeyresa jeżeli cena dóbr zostanie ustalona na
poziomie okresu podstawowego, to wówczas otrzymamy:
N
q p0.i
1.i
i=1
Iq.L = 100 [%]
N
q p0.i
0.i
i=1
Indeks ten informuje, w jakim stopniu zmiana wartości dóbr w okresie badanym
zależy od zmiany ilości dóbr, przy założeniu, że ceny tych dóbr będą na poziomie z
okresu podstawowego.
34
Agregatowy indeks ilości Paaschego jeżeli założymy stałość cen na poziomie
okresu badanego, to wówczas otrzymamy:
N
q p1.i
1.i
i=1
Iq.P = 100 [%]
N
q p1.i
0.i
i=1
Indeks ten informuje nas, w jakim stopniu zmiana ilości dóbr spowoduje zmianę
wartości dóbr w okresie badanym, jeżeli założymy, że ceny dóbr będą na poziomie
z okresu badanego.
35
Mając agregatowe indeksy Laspeyresa i Paaschego można wyznaczyć indeksy
cen i ilości Fishera:
IP.F = IP.L IP.P
oraz
Iq.F = Iq.L Iq.P
Wyznaczając wartości powyższych indeksów dowiemy się ile wynosił średni wzrost
lub spadek cen lub ilości rozważanego agregatu dóbr.
36
Dystrybuanta rozkładu normalnego U ~ N(0;1)
F(u)
u 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177
1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319
1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441
1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545
1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633
1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706
1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767
2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817
2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857
2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890
2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916
2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936
2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952
2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964
2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974
2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981
2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986
3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990
Wybrane wartości P(U > ua) dla U ~ N(0,1)
0,10 0,08 0,05 0,04 0,025 0,02 0,01 0,005
a
37
1,28 1,34 1,64 1,75 1,96 2,05 2,33 2,58
ua
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Analiza stat ścianki szczelnejfunction statfunction statMet mat i stat w inz chem W 1ERRATA stat 2003Met mat i stat w inz chem W 2Stat LWZ LZZ wyklad1stat zk3 (1)help stat 2Met mat i stat w inz chem W 3wysw led statSTAT 10 W11Stat wyklad2 11 na notatkiC 03 chki statwięcej podobnych podstron