357502978

13

1.3. ILOCZYN PROSTY I PÓŁPROSTY GRUP

Stąd wynika, że jeśli grupa G ma tylko jedną p— podgrupę Sylowa S, to S < G.

Liczba s(p, G) wszystkich p—podgrup Sylowa grupy G jest postaci 1 + pm, gdzie m > 0 jest liczbą całkowitą. Ponadto, s{p, G) dzieli rząd grupy G.

A więc jeśli grupa G ma więcej niż jedną p—podgrupę Sylowa, to ma ich co najmniej p + 1.

1.3 Iloczyn prosty i półprosty grup

1.3.1 Iloczyny wewnętrzne

Niech H i K będą podgrupami grupy G. Iloczyn kompleksowy HK nie jest na ogół podgrupą grupy G. Mamy jednak następujące kryterium na to by HK < G :

HK < G HK — KH.

Szczególnie interesujący jest przypadek, gdy HK = G. Oznacza to, że każdy element g grupy G można przedstawić w postaci g = hk gdzie h 6 H,k € K. Nasuwa się naturalne pytanie, kiedy takie przedstawienie każdego elementu g E G jest jednoznaczne.

Lemat 1.3.1. Niech H i K będą podgrupami grupy G. Następujące warunki są równoważne.

(a)    G — HK i H n K = 1.

(b)    Każdy element g E G ma dokładnie jedno przedstawienie w postaci g — hk gdzie h E H,k E K.

Dowód. Załóżmy (a) i przypuśćmy, że hk — h\k\ dla pewnych h, h\ E H oraz k, k\ E K. Wtedy h^^lh — k\k~^l E H fi K — 1. Stąd otrzymujemy h — hi i k — k\, co dowodzi (b).

Załóżmy (b) i przypuśćmy, że g E H n K. Wtedy g = g • 1 = 1 • g, skąd wobec (b) wynika, że 9 = 1.    □

Definicja 1.3.2. Grupę G nazywamy iloczynem ogólnym podgrup H i K jeśli spełniony jest jeden (zatem obydwa) z warunków (a) i (b) lematu 1.3.1.

Grupę G nazywamy iloczynem pólprostym podgrup H i K jeśli G jest iloczynem ogólnym tych podgrup oraz H <G lub K <G.

Grupę G nazywamy iloczynem prostym podgrup H i K jeśli G jest iloczynem ogólnym tych podgrup oraz H < G i K < G.

Istnieje wiele grup, które rozkładają się na iloczyn półprosty, ale nie mają rozkładu na iloczyn prosty nietrywialnych podgrup normalnych. A więc, na przykład,

D_n = Obr(n) • Odb(n),

Sn = An- {1,(12)},

O(n) = SO(n) ■ {l,r}, lsom£'ⁿ = Tranl?” • ObrEⁿ,

M(n,K) = TM(n,K)CM{n,K).

Tutaj użyliśmy następujących oznaczeń: Obr(n) oznacza n—elementową podgrupę obrotów i Odb(n) jakąkolwiek 2—elementową podgrupę zawierającą odbicie n—kąta foremnego, r oznacza jakąkolwiek nietrywialną symetrię względem hiperpłaszczyzny w przestrzeni euklidesowej, Tran i Obr oznaczają odpowiednio podgrupę translacji i podgrupę obrotów w grupie izometrii przestrzeni euklidesowej afinicznej, TAf i CAf oznaczają podgrupę translacji i podgrupę środkowo-afiniczną w grupie przekształceń afinicznych n—wymiarowej przestrzeni liniowej nad ciałem K. W każdym rozkładzie pierwszy czynnik jest podgrupą normalną, natomiast drugi nie jest podgrupą normalną w rozpatrywanej grupie.

Zauważmy, że w każdym z trzech rodzajów iloczynów podgrup H i K mamy HK — KH, gdyż iloczyn kompleksowy HK jest grupą. Ta przemienność podgrup H i K ma jednak specyficzny charakter w każdym z trzech przypadków.