5167288135

różne od wierzchołków. Udowodnić, że sfery opisane na czworościanach AKLM, BKNO, CLNP i DMOP przecinają się w jednym punkcie.

6.    Ahmed i Fredek zdecydowali się zagrać w grę. Tym razem mają nieskończoną szachownicę, początkowo pustą. Ruch polega na postawieniu swojego znaku (Ahmed gra kółkami, Fredek zaś krzyżykami, Ahmed rusza się pierwszy) na dowolnym pustym polu. Zwycięża gracz, któremu uda się ustawić n swoich znaków w sąsiadujących polach jednego wiersza, kolumny lub skosu. Rozstrzygnąć, czy istnieje takie n, dla którego przy dobrej grze Fredka Ahmed nie zdoła wygrać w skończonej liczbie ruchów.

7.    Znaleźć wszystkie wielomiany P takie, że dla każdego x rzeczywistego zachodzi równość

P(x² + 1) = (P(x))² + 1.

8.    Dany jest ciąg wektorów jednostkowych Vi,v₂,..., v_n. Rozstrzygnąć,

k

czy możemy dobrać taki ciąg znaków, że dla każdego k wektor    leży

i=l

w kole o promieniu 3.

9.    Znaleźć wszystkie rozwiązania równania x³ + 2x +1 = 2ⁿ w liczbach naturalnych.

10.    Okrąg o środku O jest styczny wewnętrznie do dwóch okręgów w jego wnętrzu w punktach S i T. Okręgi te przecinają się w punktach M i N, przy czym punkt N leży bliżej prostej ST. Udowodnić, że proste OM i MN są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy punkty 5, N, T leżą na jednej prostej.

11.    Niech a będzie liczbą naturalną większą od 1. Ciąg a_n definiujemy wzorem

a_n = aⁿ⁺¹ + o" - 1.

Wykazać, że istnieje podciąg ciągu a_n, którego dowolne dwa wyrazy są względnie pierwsze.

12.    Symetralne boków AB i BC nierównobocznego trójkąta ABC przecinają boki BC i AB odpowiednio w punktach A\\ C\. Dwusieczne

14