Marian Mazur, 1966, le z matematyki. Argumenty, nr 36 (430), rok X, 4 wrze nia,
Warszawa, s. 5 i 10. W artykule brak informacji o cyklu  O szkole cybernetycznie .
Przepisał: Mirosław Rusek ([e-mail]), wytłuszczenia w tek cie od Autora.
Gdyby zaproponowa , eby programy nauczania matematyki były opracowywane
przez nauczycieli humanistów, np. historyków, polonistów itp., to najprawdopodobniej
sprzeciwiliby si temu sami humani ci, w prze wiadczeniu, e opracowane przez nich
programy byłyby do niczego. Niew tpliwie sprzeciwiliby si temu równie nauczyciele
matematyki, zreszt z tego samego powodu. Mo na bez adnego ryzyka wyrazi
przypuszczenie, e gdyby nauczyciele humani ci mieli opracowa program nauczania
matematyki w oparciu o ich własn wiedz w tej dziedzinie, to w tpliwe jest, czy program ten
wykraczałby poza tabliczk mno enia i cztery działania arytmetyczne.
I tu dotykamy kapitalnej sprawy. Okazuje si , e mo na by dobrym nauczycielem
historii, j zyka polskiego, j zyków obcych i wielu innych przedmiotów, nie maj c poj cia
o pierwiastkach równa , tangensach, logarytmach i ró nych innych zmorach
matematycznych. To samo mo na by powiedzie o wielu innych zawodach, np. literatach1),
muzykach, malarzach, dziennikarzach, prawnikach. Skoro tak, to mo na by zapyta , po co
naucza si w szkole matematyki.
Na to pytanie otrzymuje si zwykle odpowied , e matematyka uczy metod
rozumowania. To prawda, ale chyba nie ta matematyka, której si naucza w szkole. Ani
sposób, ani zakres jej nauczania na pewno do tego nie prowadz . Gdyby za da od
dowolnego maturzysty, eby wymienił metody rozumowania, których go nauczono na
lekcjach matematyki, to obawiam si , e jedyn jego reakcj byłoby przera enie. I nic
dziwnego, poniewa metody matematyczne w szkole, to mitologia. W rzeczywisto ci szkolne
zadania matematyczne s w przewa aj cym stopniu zagadkami. Aby je rozwi za , trzeba
wpa na pomysł. Na przykład, przy wyprowadzaniu wzoru na bok dziesi ciok ta foremnego
trzeba wykorzysta okoliczno , e k t przy wierzchołku elementarnego trójk ta wynosi 360,
a wi c k ty przy podstawie wynosz po 72 stopnie. Je li si przeprowadzi dwusieczn
jednego z nich, to powstan dwa trójk ty podobne, z której to okoliczno ci wynika wzór na
bok dziesi ciok ta. Gdyby jednak ucze chciał zastosowa podobny sposób do
dziewi ciok ta lub jedenastok ta, lub te do jakiegokolwiek innego wielok ta foremnego, to
do niczego nie dojdzie. Gdzie wi c tu metoda?
1)
W oryginalnym tek cie jest bł dnie podany wyraz  literach  uwaga M. R.
Strona 1 z 7
Je li uzna , e szukanie pomysłów jest kształc ce, to równie (a mo e bardziej)
kształc ce jest rozwi zywanie szarad i rebusów w dziale rozrywek umysłowych w ró nych
czasopismach, nie mówi c ju o grze w szachy lub bryd a.
No dobrze, powie kto , ale przecie w ród uczniów s równie tacy, którzy zechc
pój na studia matematyczne lub fizyczne czy te na politechnik . Ci chyba powinni umie
sporo z algebry, geometrii czy trygonometrii. Gdzie mieli by si tego nauczy ?
To bardzo prosta sprawa. Trzeba dla nich po uko czeniu szkoły redniej
zorganizowa wst pny rok studiów na wy szych uczelniach. Rozwi zanie takie miałoby
mnóstwo zalet.
Po pierwsze, odpadłaby potrzeba urz dzania egzaminów konkursowych z ich
przypadkowo ciami i niesprawiedliwo ciami, jako e o wiele lepszym sprawdzianem
przydatno ci kandydatów byłyby oceny uzyskane przez nich na owym wst pnym roku
studiów.
Po drugie, mo na by skróci czas nauczania w szkole redniej dzi ki redukcji
programu nauczania matematyki, a jak wiadomo jest to przedmiot najcz ciej hamuj cy
przechodzenie z klasy do klasy.
Po trzecie, wst pny rok studiów mógłby obejmowa tak obszerny program, na jaki
w szkole ogólnokształc cej trzeba przeznacza kilka lat. Byłoby to mo liwe dzi ki temu, e
na wst pny rok studiów zgłosiliby si maturzy ci maj cy zamiłowanie i zdolno ci do
matematyki, podczas gdy w szkole redniej tempo nauczania matematyki musi by
dostosowane do uczniów o przeci tnych zdolno ciach do tego przedmiotu. Nie bez
znaczenia jest te okoliczno , e na wst pnym roku studiów znalazłaby si młodzie
starsza, a wi c powa niej traktuj ca sprawy zdobywania tej trudnej wiedzy. Na dowód tego
mo na przytoczy , e student politechniki w ci gu jednego roku opanowuje rachunek
ró niczkowy i całkowy.
Tylko patrze , jak przeciw takiemu rozwi zaniu zostanie wysuni ty ulubiony argument
pseudoekonomistów:  nie sta nas na to . Co wart jest ten argument, łatwo si przekona
stosuj c elementarne obliczenie. W klasie maturalnej, licz cej przeci tnie 30 uczniów, na
studia matematyczne lub techniczne wybiera si zwykle jeden lub dwóch uczniów  no
powiedzmy, trzech (to dla tych trzech zam cza si matematyk pozostałych dwudziestu
siedmiu!), czyli co najwy ej 10 proc. Aby na wst pnym roku studiów utworzy klas zło on
z 30 uczniów, trzeba by wybra po 3 ch tnych z 10 szkół2), to za oznacza, e na wst pnym
roku studiów jeden nauczyciel matematyki zrobiłby to, co obecnie robi 10 nauczycieli (w 10
szkołach). Je li przy tym wzi pod uwag , e nauczanie matematyki na wst pnym roku
2)
Autor w tych i dalszych rozwa aniach zastosował ł cznie dwa bł dne zało enia: 1) w jednej szkole jest zawsze
tylko jedna klasa z danego rocznika, 2) jeden nauczyciel matematyki uczy tylko klasy ( ci lej klas ) z jednego
rocznika, - uwaga M. R.
Strona 2 z 7
studiów mogłoby obejmowa program ostatnich trzech lat obecnej szkoły ogólnokształc cej
(dzi ki okoliczno ciom omówionym powy ej), to w proponowanym rozwi zaniu jeden
nauczyciel zast piłby trzydziestu. Czy rzeczywi cie nie sta nas na zmniejszenie kosztów ze
100 proc. do 3 proc? W przemy le takie zmniejszenie kosztów jest niedo cigłym marzeniem,
a dla zaoszcz dzenia cho by paru procent tworzy si instytuty naukowo-badawcze i
wyposa a w kosztowne laboratoria.
Dodajmy te , e korzy ci nie ograniczyłyby si do oszcz dno ci na kosztach
nauczania. Odczuwamy przecie deficyt nauczycieli matematyki, gdy dyscyplina ta
odstrasza swoj trudno ci wielu kandydatów, a przy tym zdolniejsi matematycy wol po
uko czeniu studiów pracowa (i lepiej zarabia ) w przemy le, gdzie rozwój zastosowa
maszyn matematycznych otworzył im nie znane dawniej mo liwo ci, ni uczy matematyki
w szkole. Nie mówi c ju o tym, e nauczyciel matematyki na wst pnym roku studiów
mógłby mie ju status asystenta wy szej uczelni, doktoryzowa si itp., a to jest bardziej
atrakcyjne ni etat nauczyciela w szkole redniej. Dochodzi wi c dodatkowa korzy
polegaj ca na tym, e na wst pnym roku studiów matematyka byłaby nauczana przez
zdolniejszych nauczycieli, a wi c skuteczniej.
Nie zmierzam bynajmniej do zubo enia tre ci nauczania matematyki w szkole.
Przeciwnie, chodzi mi o jej wzbogacenie informacjami u ytecznymi dla wszystkich,
z jednoczesn redukcj szumu informacyjnego oraz przeniesieniem gdzie indziej informacji
mog cych mie u yteczno tylko dla nielicznych.
Na przykład mo na by z powodzeniem usun ze szkoły redniej zadania na
logarytmowanie (ograniczaj c si tylko do obja nienia jego zasad). Na zdobywanie wprawy
w logarytmowaniu zu ywa si w szkole mnóstwo czasu, a przecie dla 90 proc. uczniów jest
to umiej tno najzupełniej bezu yteczna. Zreszt i pozostałym 10 proc., wybieraj cym si
na studia techniczne, jest ona mało przydatna, gdy wszelkie obliczenia wykonuje si tam za
pomoc suwaka rachunkowego zwanego wprawdzie  logarytmicznym , ale do posługiwania
si nim nawet elementarna wiedza o logarytmach nie jest potrzebna, podobnie jak do
kr cenia gałkami telewizora nie trzeba by radiotechnikiem.
Wiele czasu marnuje si te na przekształcenia formalne, zwłaszcza na
sprowadzanie wyra e trygonometrycznych do postaci logarytmicznej, tym bardziej, e
znaczn rol odgrywa w nich czynnik zgadywania, a ju zupełnie niepoj te jest, dlaczego
wymaga si od uczniów pami tania wzorów na przekształcanie funkcji trygonometrycznych.
Wszelkie zakazy korzystania z tablic, podr czników, słowników, atlasów itp. w zadaniach
klasowych, to istna obsesja nauczycielska.
Głównym bł dem nauczania matematyki w szkole redniej jest to, e jest ono oparte
na indukcji, zamiast na dedukcji, na przechodzeniu od szczegółów do uogólnie , podczas
gdy powinno by przeciwnie. Nauczyciel matematyki przez lata całe ładuje w ucznia
Strona 3 z 7
mnóstwo szczegółów dotycz cych równa pierwszego i drugiego stopnia, aby mu da jakie
takie wyobra enie o funkcjach zamiast mu w ci gu pi ciu minut obja ni poj cie funkcji w
zapisie ogólnym y = f(x) i potraktowa wszystko inne jako szczególne przypadki. W rezultacie
maturzysta wychodzi ze szkoły obładowany szczegółami, które wkrótce zapomni (je eli nie
nale y do tych 10 proc. studiuj cych matematyk lub technik ) i niezdolny do my lenia
kategoriami ogólnymi. Z całej szkolnej matematyki pozostaj mu tylko koszmarne
wspomnienia.
Jest to wynik fałszywego systemu, opartego na historycznej doktrynie nauczania.
Zamiast o rzeczach najwa niejszych, ucze dowiaduje si najpierw o rzeczach
najwcze niejszych w rozwoju danej dziedziny wiedzy. Z historii  o Asyrii i Babilonie, z fizyki
 o pocieraniu bursztynu suknem, kamieniach rzucanych przez Galileusza z pochyłej wie y
w Pizie i abich udkach z do wiadcze Volty, z matematyki  o równaniach pierwszego
stopnia.
danie, eby kilkunastoletnim dzieciom obja nia poj cia ró niczki i całki,
wywołałoby pewnie popłoch w ród nauczycieli matematyki. Nawet na studiach
matematycznych lub technicznych student dopiero po dłu szym czasie zaczyna si
orientowa (humanista nie dochodzi do tego nigdy), e s to poj cia tak banalne, i
z powodzeniem mógłby si z nimi zapozna na wiele lat przed matur . Przecie w zasadzie
ró niczkowaniem jest wyznaczanie tempa wzrostu (produkcji, budownictwa, ludno ci itp.),
a całkowaniem - sumowanie przyrostów. A s to sprawy poruszane w gazetach niemal
w ka dym artykule na tematy ekonomiczne, socjologiczne itp.
Aby dzi ki matematyce ucze mógł wynie ze szkoły lepsz umiej tno my lenia,
nauczanie matematyki powinno by oparte przede wszystkim na wykresach. W szkole
korzysta si z wykresów tylko dla interpretacji równa , zapominaj c, e wykresy s
narz dziem samodzielnym, ogólniejszym ni równania i daj cym si zastosowa nawet tam,
gdzie si nie rozporz dza adnymi równaniami, a nawet nie wiadomo, jak mogłyby mie
one posta . Z tak sk pych danych, jak na przykład, e co wzrasta coraz wolniej,
niepodobna uło y równania, ale wykres mo na sporz dzi i to nawet nie korzystaj c z
adnych liczb. Co wi cej, zrozumienie samej sprawy przedstawionej wykre lnie pozwala
nieraz wskaza , w którym punkcie krzywa na wykresie musi si zacz , stwierdzi , e
przechodzi ona przez maksimum lub minimum albo e d y do jakiej granicy. Na takich
podstawach opiera si analiza jako ciowa zjawisk, umo liwiaj ca ogólne przewidywania, do
których równania lub pomiary dostarczaj ju tylko bli szych szczegółów.
Tego rodzaju podej cie jest przecie potrzebne ekonomistom, psychologom,
fizjologom, socjologom itp. Nawet zwykły czytelnik gazet dostaje cz sto informacje w postaci
wykresów, np. dotycz cych rozwoju przemysłu i handlu, przemian demograficznych, rozwoju
czytelnictwa, wykrywalno ci przest pstw, wydatków na budow szpitali, fluktuacji spo ycia
Strona 4 z 7
oraz wszelkich zale no ci w czasie i przestrzeni, bez adnego oparcia o wzory
matematyczne.
O ile równania mog by proste lub zawiłe, to wykresy zawsze s proste i łatwo
dost pne dla wyobra ni ka dego. Bez trudno ci mo na za ich pomoc przedstawia zakresy
i obszary zmienno ci, znajdowa pierwiastki równa bez ich rozwi zywania (a wi c nawet
równa uwikłanych), podawa nie tylko przebiegi zale ne od jednej zmiennej, lecz i od wielu
zmiennych (za pomoc rodzin krzywych) itp. Dlatego te podstawow umiej tno ci , jak
z zakresu matematyki ucze powinien wynie ze szkoły i zachowa na całe ycie, powinna
by umiej tno sporz dzania i interpretowania wykresów. T te drog nale y wpoi
uczniom ogólne poj cie funkcji, a nie, jak to si dzieje dotychczas, przez otumaniaj c
 dyskusj  trójmianu kwadratowego.
Matematyka nauczana w szkole jest wiedz absolutnie zdehumanizowan , nie
maj c zwi zku ze zwykłym yciem. Jest to swoista  sztuka dla sztuki . Zamiast
posługiwania si matematyk jako narz dziem do rozwi zywania zagadnie istotnych dla
ka dego, traktuje si operacje matematyczne jako cel sam dla siebie i dobiera do nich
fikcyjne zagadnienia. Co komu przyjdzie z tych wszystkich kół opisanych na trapezach, kul
wpisanych w sto ki ci te, ostrosłupów przeci tych płaszczyznami itp.?
A tymczasem jest mnóstwo yciowych spraw, wymagaj cych uj cia
matematycznego, których jednak na pró no byłoby szuka w szkolnych programach, jak na
przykład zagadnienia organizacji. Ucze powinien wynie ze szkoły rozumienie takich
poj jak harmonogram, programowanie, algorytm, metoda grafów itp. Przecie to brak
zrozumienia tych spraw powoduje, e ogromna wi kszo przeprowadzanych u nas akcji ma
charakter czystej improwizacji. A nie s to bynajmniej metody nadaj ce si do zastosowania
tylko w technice. Znajomo ich bardzo by si przydała ka demu, kto ma do czynienia
z organizacj jakichkolwiek przedsi wzi : re yserom filmowym, dyrektorom teatrów,
redaktorom czasopism, organizatorom zjazdów, wystaw, imprez sportowych, wyjazdów
turystycznych, konkursów itp., nie mówi c ju o codziennej pracy ka dej instytucji.
Ani słowem nie wspomina si w szkole o zagadnieniu tak doniosłym dla ka dego
człowieka, jak optymalizacja, czyli to, co si potocznie nazywa problemem  za krótkiej
kołdry . Nie dysponujemy nieograniczonymi zasobami energii, czasu, pieni dzy itp.
Zu ywaj c je do jakiegokolwiek celu, tracimy mo no zu ycia ich do innego celu i wskutek
tego zawsze staje przed nami pytanie, co wybra , czemu da pierwsze stwo.
Gdyby ci, co decydowali odbudow Teatru Wielkiego w Warszawie, mieli zrozumienie
dla zagadnie optymalizacji, to zamiast opery dla dwóch tysi cy widzów (deficytowej nawet
przy zapełnionej widowni) zbudowaliby lini kolei podziemnej (zwłaszcza wtedy, gdy mo na
j było tanio zbudowa po prostu w postaci rowu do pó niejszego przykrycia) dla stu tysi cy
pasa erów dziennie (i bez deficytu). Wydatki na ni ju by si zamortyzowały i mogłyby by
Strona 5 z 7
nast pnie przeznaczone na odbudow Teatru Wielkiego (je eli ju koniecznie musimy mie
 najwi kszy budynek operowy w Europie ). W wyniku optymalizacji mieliby my w Warszawie
i metro, i oper .
Nie buduje si u nas pomników monumentalnych, bo nas  nie sta  . A spróbujmy
sobie uzmysłowi , e je li spraw potraktowa z punktu widzenia optymalizacji, to nawet
pomniki mog by interesem bardzo dochodowym. Takie obiekty, jak A
uk Triumfalny i wie a
Eiffla w Pary u, pomnik Bitwy Narodów w Lipsku, Atomium w Brukseli i wiele innych, to istne
kopalnie złota. Same pocztówki i bilety wst pu (tak, to s pomniki, do których si wchodzi,
gdy w ich wn trzu jest co do obejrzenia) przyniosły milionowe zyski, nie mówi c ju o
dewizach, przywo onych przez turystów przybywaj cych, aby te pomniki cho raz w yciu
zobaczy . Z pomnika na pobojowisku pod Waterloo yje całe miasteczko.
Rzecz jasna, optymalizacja jest zagadnieniem numer jeden w przemy le, handlu,
transporcie itp., ale o tym wiedz tylko specjali ci od bada operacyjnych i programowania
maszyn matematycznych. Zwykły obywatel wynosi ze szkoły wyobra enie o matematyce
jako nauce słu cej do rozwi zywania zada w rodzaju:  ze stacji A wyruszył poci g... .
Fikcyjno zada matematycznych sprawia, e uwaga ucznia jest skierowana
wył cznie na operacje matematyczne. St d pochodzi nader rozpowszechnione mniemanie,
e matematyka jest nauk dostarczaj c najprawdziwszych informacji o rzeczywisto ci. Nic
obł dniejszego! Matematyka jest nauk maj c nam najmniej do powiedzenia
o rzeczywisto ci. W istocie bowiem ka de rozumowanie matematyczne jest zdaniem
warunkowym: je li dane wej ciowe s zgodne z rzeczywisto ci , a operacje matematyczne
zostały wykonane w sposób poprawny, to dane wyj ciowe s równie zgodne
z rzeczywisto ci . Ale kto stwierdza, e dane wej ciowe s zgodne z rzeczywisto ci ?
W adnym razie nie stwierdzaj tego matematycy; trud ten pozostawiaj oni tym
specjalistom, których zadaniem jest wła ciwe badanie rzeczywisto ci, a wi c fizykom,
chemikom, technikom, ekonomistom itp., i na ich odpowiedzialno . Nie jest to zarzut pod
adresem matematyków  oni s najzupełniej w porz dku. Nie trzeba tylko nigdy zapomina ,
e nawet najbardziej wymy lne i bezbł dne operacje matematyczne mog dawa wyniki
bezwarto ciowe, je eli dane wej ciowe były bezwarto ciowe.
Jak to kiedy dowcipnie zauwa ył pewien felietonista, istniej dwa rodzaje kłamstwa:
1) kłamstwo zwykłe, 2) statystyka.
Kłamstwo zwykłe jest na ogół łatwe do wykrycia, tote aby nada mu pozory
prawdziwo ci,  uszlachetnia si  je za pomoc matematyki. Polega ono wówczas na tym, e
fałszywe dane wyj ciowe otrzymuje si z fałszywych danych wej ciowych za pomoc
poprawnych operacji matematycznych. Im wi cej jest tych operacji, tym bardziej uwaga
odbiorcy jest skierowana na sprawdzanie ich poprawno ci, zamiast na sprawdzanie
prawdziwo ci danych wej ciowych. Urz dnik ksi gowo ci, odczuwaj cy w tpliwo ci czy
Strona 6 z 7
akceptowa rachunek na 4000 zł za prac zlecon , b dzie skłonny to zrobi , gdy rachunek
opiewa na 196 godzin po 21 zł za godzin , czyli 4116 zł, tj. kwot wynikaj c z dokładnie
sprawdzonego przecie mno enia.
Jakkolwiek kłamstwo zwykłe staje si elegantsze, gdy jest oparte na matematyce, to
jednak mimo wszystko ma ono t słab stron , e daje si zdemaskowa przez sprawdzenie
danych wej ciowych. Wiedz c o tym, inteligentny wystawca rachunku z przytoczonego
powy ej przykładu podaje 196 godzin, a nie np. na rzucaj c si okr gł liczb 200 godzin,
aby tym wywoła wra enie, e i dane wej ciowe wynikaj z jakiego szczegółowego
obliczenia, a wi c i w tym wzgl dzie odwołuje si on do rozpowszechnionego
prze wiadczenia, e matematyka gwarantuje zgodno z rzeczywisto ci .
Znacznie subtelniejszym rodkiem kłamstwa jest operowanie danymi wej ciowymi
prawdziwymi, ale niepełnymi, czyli statystyk . Kłamstwo statystyczne trudno wykry , skoro
bowiem dane wej ciowe s prawdziwe, a wykonane na nich operacje matematyczne s
poprawne, to niejeden dałby sobie głow uci , e i dane wyj ciowe b d prawdziwe.
Kłamstwem statystycznym jest na przykład fakt, e spo ród miast francuskich
najwi ksz miertelno wykazuj Wersal i Nicea (przynajmniej tak było przed wojn ),
z czego mo na by wnosi , e maj one najbardziej niezdrowy klimat. A tymczasem
w statystyce zgonów pomini to pewien drobiazg: e to emeryci na staro przenosz si
z Pary a do Wersalu, a z południowej Francji do Nicei, podnosz c tam wska nik
miertelno ci.
A oto przykład bardziej matematyczny. W Alanii produkcja czego tam wzrosła z 20
000 do 21 000 ton, co oznacza przyrost 1 000 ton, czyli 5 proc. W tym samym czasie
w Belanii produkcja tego samego rodzaju wzrosła z 200 do 300 ton, co oznacza przyrost 100
ton, czyli 50 proc. Co o tym s dz w Celanii? Je eli Alania jest dla Celanii krajem
sympatycznym, a Belania nie, to si z powy szych liczb przytacza, e w Alanii produkcja
wzrosła o 1 000 ton, a w Belanii zaledwie o 100 ton. Je eli za z sympatiami dla tych krajów
jest przeciwnie, to si mówi, e w Alanii produkcja wzrosła tylko o 5 proc., a w Belanii a o 50
proc. W obu przypadkach informacje s prawdziwe, ale sprzeczne, bo niepełne, i na tym
polega ich kłamliwo . U ycie rodków matematycznych ma stworzy pozory wiarygodno ci.
Do nauczania matematyki w szkole nale y wprowadzi podstawy rachunku
statystycznego, chocia by z tego wzgl du, e dla wielu uczniów czytanie danych
statystycznych b dzie w przyszło ci jedyn spraw maj c zwi zek z matematyk . Rzecz
jasna, szkoła powinna przy tym uczy nie tylko samych operacji matematycznych, lecz tak e
krytycyzmu do danych i do ich interpretacji.
Najwy szy czas zaniecha takiego nauczania matematyki, jak gdyby była ona
młynkiem do kawy, w którym wa ne jest tylko mielenie, z zupełnym brakiem
zainteresowania, co si do tego młynka wsypuje.
Strona 7 z 7