6700449606

Zadanie 3.36. Znaleźć wyraz niezależny od x w wyrażeniu

4 Indukcja matematyczna

Dwa zwierciadła, czujące swych głębin powietrzność,

Jedno przeciw drugiemu ustawiam z pośpiechem,

I widzę szereg odbić, zasuniętych w wietrzność,

Każde dalszego zakrzepłym bliższego jest echem.

— Bolesław Leśmian, Prolog

Zadanie 4.38. Metodą indukcji matematycznej udowodnij, że

(a)    1₊2+...+n=^tli,    (c) 1³ + 2³ H-----1-n³ = (1 H-----1-n)²,

(b) 1² + 2² + • • • + n² = SfcŁUffi+U,    (d) 1-1! + 2-2!+-+n-n! = (n + 1)!-1.

Zadanie 4.39. Pokaż, że dla każdego n € IN mamy, że

(a) liczba n.³ + 2n jest podzielna przez 3,    (c) liczba 7" — 1 jest podzielna przez 3,

(b) liczba 4n² + 15n — 1 jest podzielna przez 9,    (d) liczba 2ⁿ⁺² +3²'^,+I dzieli się przez 7.

Zadanie 4.40. Wykazać, że:

(a)    dla każdego n > 2 zachodzi nierówność:

2" >2n+1,

(b)    dla każdego n € IN zachodzi nierówność:

(c) dla każdego n > 4 zachodzi nierówność: nⁿ⁺' > (n+ 1)ⁿ,

(d) dla każdego n 6 IN zachodzi nierówność:

Zadanie 4.41. Wykazać następujące własności symbolu Newtona