7270841642

4.13 Modelowanie systemów dynamicznych za pomocą równań różniczkowych stanu

Stan x - najmniejsza liczba wielkości przypisanych do układu.

Aby przewidzieć zachowanie układu potrzebne są:

>    wartości zmiennych stanu w chwili początkowej i=t₀    *

(*W)

>    znajomość modelu systemu, czyli struktury powiązań    *

między zmiennymi stanu    ?/elR'

> znajomość przebiegu sterowania u(t) na całym    Rysunek 4.13: Układ dynamiczny przedziale [/₀/J

Wyjście y - wybrany zbiór wielkości procesowych, które są szczególnie interesujące z punktu widzenia modelowania lub systemu sterowania (np. należy je stabilizować).

Jako zmienne stanu w układach mechanicznych przyjmuje się przesunięcia, prędkości i przyspieszenia.

Jako zmienne stanu w układach elektrycznych przyjmuje się napięcia na pojemnościach C (kondensatorach) i prądy w indukcyjnościach L (cewkach).

Standardowa forma liniowego równania stanu dla układu stacjonarnego ma postać:

x(t)=Ax(t)+Bu(t) _t x(t₀)=x₀ y(t)=Cx(t)+Du(t)

DLA    x(t)€R",u{l)e\R^r,y(t)e\R"'

Gdzie:

n - ilość wejść r - ilość sterowań m - ilość wyjść

A - macierz stanu o wymiarach nXn B - macierz sterowania nXr C - macierz obserwacji mXn D - macierz wyjścia mXr Ogólne rozwiązanie *(/) ma postać:

x{t)=e'"'-'-^,xU,)+J e    _T)dr

A funkcja wyjścia y{t) :

y(t)=Ce^A{,~'^x{t₀)+c] e^M'~^T)Bu(T)dT+Du(t)

I Dla f_o=⁰ otrzymujemy:

x(t)=e^A'x₀+j e^A{'~^r)Bu(r)dT

Przykładowo dla «(/)=l(r) i przy założeniu nieosobliwości A ( \A\^0 ) rozwiązanie ma postać:

x(t)=e^Alx₀+A~'\e^A,-l\B=e^A,\x₀+A~' b\-A~' B

Podstawy sterowania 19