8344044628

strona 16

29 września 2008, godzina 17:13

f r g wtedy i tylko wtedy, gdy / — g jest funkcją liniową.

Znaleźć moc zbioru ilorazowego relacji r i moc każdej klasy abstrakcji.

168.    Pokazać że jeśli A = m oraz 0 / n < m, to istnieje relacja równoważności r w zbiorze A spełniająca warunek A/r = n.

169.    Jakiej mocy jest zbiór wszystkich skończonych (nieskończonych, przeliczalnych, mocy €) podzbiorów R?

170.    Niech ip : Z[x] xK-*R będzie taka, że <p({p,r)) — p(r). Jaka jest moc zbioru <p~¹(Q—Z) i zbioru Z[x] x R/keripi Udowodnić, że jeśli X\, X% C R oraz X\V\Z i X% flZ są niepuste, to zbiory p~¹(Xi) i ip~¹(X2) są równoliczne.

171.    Podzbiór W zbioru liczb wymiernych Q nazywamy wypukłym, jeśli dla dowolnych trzech liczb wymiernych a < b < c, jeśli a, c E W, to także b E W. Ile jest wszystkich podzbiorów Q, które są wypukłe? Ile jest podzbiorów, które nie są wypukłe?

172.    Niech I / 0 będzie ustalonym zbiorem i niech a E X będzie ustalonym elementem. W zbiorze P(A) określamy następującą relację równoważności: A ~ B wtedy i tylko wtedy gdy A = B lub a £ AUB. Zbadać moc P(X)/^, w zależności od mocy zbioru X.

173.    Czy istnieje zbiór mocy mniejszej niż zbiór jego wszystkich skończonych podzbiorów?

174.    Czy istnieją takie zbiory A i B, że A < B, ale A^B i B^A są równoliczne?

175.    Jakiej mocy jest zbiór wszystkich funkcji okresowych z Z do Z? A zbiór wszystkich funkcji okresowych z Q do Q? (Przyjmujemy, że funkcja / : X —► X jest okresowa, jeżeli nie jest stała, oraz istnieje takie d, 6 X, że d > 0 i dla dowolnego x E X zachodzi f(x + d) = f(x).)

176.    Jakiej mocy jest zbiór wszystkich wypukłych podzbiorów R²?

177.    Jakiej mocy jest zbiór punktów leżących na powierzchni kuli?

178.    Ile jest wszystkich relacji przechodnich R C N x N?

179.    Ile jest funkcji z N do N: (a) nierosnących? (b) niemałejących?

180.    Udowodnić, że jeśli w rodzinie podzbiorów zbioru liczb naturalnych każde dwa różne zbiory mają co najwyżej jeden element wspólny, to rodzina ta jest przeliczalna.

181.    Czy teza poprzedniego ćwiczenia pozostaje prawdziwa przy założeniu, że:

(a)    każde dwa różne zbiory z danej rodziny mają co najwyżej k wspólnych elementów?

(b)    każde dwa różne zbiory z danej rodziny mają skończony iloczyn?

182.    Jakiej mocy jest zbiór funkcji monotonicznych z R w R ?

183.    Jakiej mocy jest zbiór wszystkich funkcji różnowartościowych z R do R?

184.    Znaleźć moc zbioru wszystkich funkcji różnowartościowych z N do P(N) i moc zbioru wszystkich surjekcji z N na P(N).