8857686332

1

MATEMATYKA W EKONOMII I ZARZĄDZANIU Leszek S. Zaremba Wykład 2-3 (Algebra Liniowa)

Wektorem nazywamy ciąg liczb (x_ltx₂,...,x_n), np. (5,6,7), (10,1,0,15) itp. W ekonomii koszyk dóbr zapisuje się jako wektory. Np. (5,6,7) jako koszyk dóbr na wyspie Hula Gula może oznaczać 5 jabłek, 6 bananów i 7 pomidorów. Wektory można dodawać i mnożyć przez dowolną liczbę rzeczywistą, to jest,

(1)    (x₂,x₂,...,x,)+ (y₂,y₂,.,y_n)= (c, +y,,x₂ +y₂,...,:c„ +yj

(2)    a(x_l,x₂,...,x_n) = (ax_l,ax₂,...,coc_n).

Anna zakupiła koszyk dóbr (5,6,7), zaś jej narzeczony Wojtek kupił koszyk dóbr (4,7,3). (a)De dóbr łącznie kupili?; Ani siostra kupiła 2 razy większy koszyk dóbr niż Wojtek, (b) Jaki to był koszyk?

Odpowiedź: (a) Kupili łącznie (5,6,7)+(4,7,3)=(9,13,10) dóbr; (b)2(4,7,3) = (8,14,6).

Iloczynem skalarnym dwóch wektorów (x,, x₂,..., x_n) oraz (_y,,y₂,...., y_n) nazywamy liczbę

(3)    {*,y) = 2 *,y, = *,y, + x₂y₂ +■■■ +    ■

Jeśli x =(x,,x₂,...,x„)jest koszykiem dóbr, zaś y =(y_l,y₂jest wektorem ich cen, to iloczyn skalarny wyraża koszt zakupu koszyka x. Jeśli na przykład na wyspie Hula Gula każde jabłko kosztuje 2 hulany, każdy banan 3 hulany, zaś każdy pomidor 4 hulany, to koszyk Wojtka można kupić za

<(4,7,3), (2,3,4)> = 8 + 21 + 12 = 41 hulanów.

W finansach wektor (5000^4000,7000) może oznaczać zakupy akcji firm A, B, C za odpowiednio 5000zł, 4000zł, 7000zł. Taki wektor możemy nazwać portfelem inwestora. Gdyby inwestor sprzedał krótko (to znaczy, pożyczył is sprzedał) akcje firmy B za 15 tys. zł, zaś kupił akcje firm A i C za odpowiednio 5000zł, lOOOOzł, to jego portfel P „wyglądałby” następująco: P = (5000, -15000,10000) i nie wymagałby rzecz jasna własnego kapitału!