POCHODNA FUNKCJI
Definicja (iloraz ró\
nicowy)
Niech funkcja f będzie określona na przedziale (a,b), -" d" a < b d" " oraz niech x0 " (a, b),
x0 + "x " (a, b). Ilorazem ró\
nicowym funkcji f w punkcie x0 odpowiadajÄ…cym przyrostowi "x `" 0
def
"f f (x0 + "x) - f (x0 )
zmiennej niezale\
nej nazywamy liczbÄ™ =
"x "x
Rys. 1 Ilustracja definicji ilorazu ró\
nicowego
Definicja (pochodna właściwa funkcji)
Niech funkcja f będzie określona na przedziale (a, b), -" d" a < b d" " oraz niech x0 " (a, b),
x0 + "x " (a, b). Pochodną właściwą funkcji f w punkcie x0 nazywamy granicę skończoną
def
f (x) - f (x0) "f
/
f (x0) = lim = lim .
xx0
x - x0 "x0 "x
Uwaga.
Je\
eli istnieje pochodna właściwa funkcji f w punkcie x0, to mówimy, \
e funkcja f jest ró\
niczkowalna
w tym punkcie. Do oznaczenia pochodnej funkcji f w punkcie x0 stosowane sÄ… tak\
e symbole
df
(x0 ), Df (x0 ) .
dx
Interpretacja geometryczna pochodnej
Niech ą oznacza kąt między styczną do wykresu funkcji f w punkcie (x0, f(x0)) i dodatnią częścią osi Ox
(rys. 2).
/
Wtedy f (x0 ) = tgÄ… .
/
Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x0, f(x0)) ma postać: y = f (x0 ) + f (x0 )(x - x0 ) .
Rys. 2 Interpretacja geometryczna pochodnej
Twierdzenie (warunek konieczny ró\
niczkowalności funkcji)
Je\
eli funkcja jest ró\
niczkowalna w punkcie, to jest ciągła w tym punkcie.
Uwaga.
Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa. Np. funkcja f(x) = |x| jest ciągła w punkcie x0 = 0, ale pochodna
2
f 0 nie istnieje.
( )
Definicja (ró\
niczkowalność funkcji na przedziale)
Funkcja jest ró\
niczkowalna na przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy jest ró\
niczkowalna w ka\
dym
punkcie tego przedziału.
2
Funkcję określoną na przedziale, której wartości w punktach x tego przedziału są równe f x nazywamy
( )
2
pochodnÄ… funkcji f na przedziale i oznaczamy przez f .
Uwaga.
Ró\
niczkowalność funkcji na przedziale domkniętym [a, b] oznacza jej ró\
niczkowalność w ka\
dym
punkcie przedziału otwartego (a, b) oraz istnienie pochodnej lewostronnej właściwej w punkcie b i
prawostronnej właściwej w punkcie a.
Definicja (pochodna niewłaściwa funkcji)
Niech funkcja f będzie określona na przedziale (a,b), -" d" a < b d" " oraz niech będzie ciągła w punkcie
x0 " (a,b). Funkcja f ma w punkcie x0 pochodną niewłaściwą wtedy i tylko wtedy, gdy
f (x) - f (x0 ) f (x) - f (x0 )
lim = " albo lim = -" .
xx0 xx0
x - x0 x - x0
Uwaga.
W tym przypadku styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x0, f(x0)) ma postać x=x0.
TWIERDZENIA O POCHODNEJ FUNKCJI
Twierdzenie (o pochodnej sumy, ró\
nicy, iloczynu i ilorazu funkcji)
Je\
eli funkcje f i g są ró\
niczkowalne w punkcie x0, to
/ /
a) funkcja f ą g jest ró\
niczkowalna w punkcie x0 oraz ( f Ä… g)/ (x0 ) = f (x0 ) Ä… g (x0 ) ,
/
b) funkcja cf jest ró\
niczkowalna w punkcie x0 oraz (c Å" f )/ (x0 ) = c Å" f (x0) , gdzie c " ! ,
/ /
c) funkcja f Å" g jest ró\
niczkowalna w punkcie x0 oraz ( f Å" g)/ (x0 ) = f (x0 ) Å" g(x0 ) + f (x0 ) Å" g (x0 ) ,
f
d) przy zało\
eniu, \
e g(x0) `" 0 funkcja jest ró\
niczkowalna w punkcie x0 oraz
g
/
/ /
ëÅ‚ öÅ‚ f (x0 ) Å" g(x0 ) - f (x0 ) Å" g (x0 )
f
ìÅ‚ ÷Å‚ (x0 ) = .
ìÅ‚ ÷Å‚ 2
g g (x0 )
íÅ‚ Å‚Å‚
Twierdzenie (o pochodnej funkcji zło\
onej)
Je\
eli
1. funkcja f jest ró\
niczkowalna w punkcie x0,
2. funkcja g jest ró\
niczkowalna w punkcie f(x0),
to funkcja zło\
ona jest ró\
niczkowalna w punkcie x0 oraz
g f
/
/ /
(g f ) (x0 ) = g ( f (x0 ))f (x0 ) .
Twierdzenie (o pochodnej funkcji odwrotnej)
Niech
1. funkcja f będzie ciągła na przedziale (a,b),
2. funkcja f będzie malejąca albo rosnąca na przedziale (a,b),
/
3. .
f (x0 ) `" 0, x0 "(a,b)
1
-1
-1
Wtedy funkcja odwrotna jest ró\
niczkowalna w punkcie y0 = f(x0) oraz ( f )/ (y0 ) = .
f
/
f (x0 )
2
POCHODNE WAśNIEJSZYCH FUNKCJI ELEMENTARNYCH
Funkcja Pochodna Zakres zmienności
c (funkcja stała) 0 c " R
x 1 x " R
Ä… " R, x > 0
xÄ… Ä…xÄ… -1
1 1
-
x `" 0
x x2
cos x
sin x x " R
cos x
- sin x x " R
1 Ä„
tg x
x `" + kĄ , gdzie k " Z
2
cos2 x
-1
ctg x x `" kĄ , gdzie k " Z
sin2 x
x x
0 < a `" 1, x " R
a a ln a
x x
x " R
e e
1
x <1
arcsin x
1 - x2
-1
arccosx x <1
1 - x2
1
arctgx
x " R
1 + x2
-1
arcctgx
x " R
1+ x2
1
loga x
0 < a `" 1, x > 0
x ln a
1
ln x x > 0
x
Uwaga.
g
Aby obliczyć pochodne funkcji postaci f oraz log g zapisujemy te funkcje w następujących postaciach:
f
g g ln f
ln g
f = e oraz
log g =
f
ln f
POCHODNE WYśSZYCH RZ
DÓW
Definicja (pochodna n-tego rzędu funkcji)
Pochodną n-tego rzędu funkcji f w punkcie x0 definiujemy indukcyjnie:
def
/
(n) (n-1)
,
f (x0 ) =[f ] (x0 ) dla n e" 2
def def
1 / (0)
gdzie . Ponadto przyjmujemy .
f (x0 ) = f (x0 ) f (x0 ) = f (x0 )
(n)
Je\
eli istnieje pochodna właściwa , to mówimy, \
e funkcja f jest n-krotnie ró\
niczkowalna
f (x0 )
w punkcie x0.
(n)
Funkcję określoną na przedziale, której wartości w punktach x tego przedziału są równe , nazywamy
f (x)
(n) // /// IV
pochodną n-tego rzędu funkcji f na tym przedziale i oznaczamy przez . Piszemy tak\
e zamiast
f f , f , f
(2) (3) (4)
zz
odpowiednio f , f , f . W fizyce gdy zmiennÄ… jest czas t stosuje siÄ™ oznaczenia zamiast odpowiednio
fz, f
/ //
.
f , f
Uwaga.
(n-1)
Dla istnienia n-tej pochodnej funkcji w punkcie x0 konieczne jest istnienie pochodnej (i co za tym idzie tak\
e
f
wszystkich poprzednich pochodnych) na pewnym otoczeniu punktu x0. Do oznaczania pochodnej n-tego rzędu
n n
d f d f
funkcji f w punkcie x0 stosuje siÄ™ tak\
e symbole , , a na przedziale symbole , .
Dn f (x0) Dn f
(x0 )
dxn dxn
3