Zakład Elektrostatyki i Elektrotermii
Dr in\
. Dorota Nowak-Woz
ny
Procedura wyznaczania niepewności pomiarowych
Wstęp
Ka\
dy pomiar lub obserwacja obarczona jest pewną niepewnością (zamiast poprzednio
stosowanego pojęcia błędu pomiaru). Za błąd pomiaru uwa\
a siÄ™ wyraz
ne odstępstwo wyniku
pomiaru od wartości poprawnej (np. pomyłka odczytu). Błąd pomiaru nale\
y bezwzględnie
wyeliminować. Niepewność pomiaru jest związana z rozrzutem mierzonej wielkości.
Sprawozdanie powinno w sposób jasny i jednoznaczny przedstawiać wyniki pomiarów.
Zaleca siÄ™ podawanie ka\
dego wyniku pomiaru xpom danej wielkości x razem z oszacowaną
niepewnością "x w postaci:
x =< xpom > Ä…"x .
Takie przedstawienie wyników eksperymentalnych zawiera informację w jakim przedziale warto-
ści i z jakim prawdopodobieństwem zawiera się rzeczywista wartość mierzonej wielkości x.
Ze względu na sposób wyznaczania niepewności, niepewności pomiarowe dzieli się na
niepewność typu A i niepewność typu B. Niepewność typu A wyznacza się za pomocą metod
statystycznych, natomiast niepewność typu B za pomocą innych metod.
Rozpatrzmy niepewności pomiarowe dla pomiarów bezpośrednich i pośrednich. W pomia-
rach pośrednich wielkość mierzona jest funkcją wielkości mierzonych bezpośrednio.
Pomiary bezpośrednie
Niepewność typu A
Niepewność typu A ma charakter czysto przypadkowy. Do ich oceny stosuje się metody sta-
tystyczne dla serii "n" wyników. W szczególności określa się niepewność standardową "xst:
n
1
"xst = Å" - x )2 ,
"(xi
n(n -1)
i=1
gdzie x jest wartością średnią z serii n pomiarów:
n
1
x = .
"ni
n
i=1
Przy określaniu niepewności standardowej pełnej "x nale\
y uwzględnić współczynnik rozsze-
rzenia t: "x = t Å" "xst .
1
Wartość współczynnika t odczytuje się z tablic rozkładu normalnego dla licznej próby
(n>30) lub rozkładu t-Studenta dla próby mało licznej.
Wez
my liczną próbę. Chcemy wyznaczyć przedział, w którym zawarta jest nieznana war-
tość rzeczywista mierzonej wielkości z prawdopodobieństwem 0,99. Poniewa\
próba jest
liczna, dlatego odczytujemy wartość współczynnika rozszerzenia z tablicy rozkładu normal-
nego. Dla rozpatrywanego przypadku t = 2,6. StÄ…d
"x = 2,6 Å" "xst
Gdy wykonujemy serię 10 pomiarów (próba mało liczna n = 10) wtedy nale\
y skorzystać z
rozkładu t-Studenta. Dla 10 pomiarów liczba stopni swobody równa jest n-1 czyli 9. Dla po-
ziomu ufności 0,99 znajdujemy pole le\
ące na przecięciu wiersza stopnia swobody równego 9
i kolumny poziomu ufności równego 0,99. Otrzymana wartość równa jest 3,25. Wartość ta
jest większa od wartości otrzymanej dla rozkładu normalnego co jest zrozumiałe jeśli wziąć
pod uwagę ró\
nicę w liczności prób.
Tablica rozkładu normalnego
t Ś(t) Poziom ufności
Åš
Åš
Åš
0 0,0000 0,0000
0,1 0,0398 0,0796
0,2 0,0793 0,1586
0,3 0,1179 0,2358
0,4 0,1554 0,3108
0,5 0,1915 0,3830
0,6 0,2257 0,4514
0,7 0,2508 0,5016
0,8 0,2881 0,5762
0,9 0,3159 0,6318
1,0 0,3413 0,6826
1,1 0,3643 0,7286
1,2 0,3849 0,7698
1,3 0,4032 0,8064
1,4 0,4192 0,8384
1,5 0,4332 0,8664
1,6 0,4452 0,8904
1,7 0,4554 0,9108
1,8 0,4641 0,9282
1,9 0,4713 0,9426
2,0 0,4773 0,9546
2,1 0,4821 0,9642
2,2 0,4861 0,9722
2,3 0,4893 0,9786
2,4 0,4918 0,9836
2,5 0,4938 0,9876
2,6 0,4953 0,9906
2,7 0,4965 0,9930
2,8 0,4974 0,9948
2,9 0,4981 0,9962
3,0 0,4987 0,9974
2
Tablica rozkładu t-Studenta
Stopnie swobody
Poziom ufności
n-1
0,99 0,98 0,95 0,90 0,80 0,70
1 63,66 31,82 12,71 6,31 3,08 1,38
2 9,92 6,96 4,30 2,92 1,89 1,06
3 5,84 4,54 3,18 2,35 1,64 0,98
4 4,60 3,75 2,78 2,13 1,53 0,94
5 4,03 3,36 2,57 2,01 1,48 0,92
6 3,71 3,14 2,45 1,94 1,44 0,91
7 3,50 3,00 2,36 1,89 1,41 0,90
8 3,35 2,90 2,31 1,86 1,40 0,89
9 3,25 2,82 2,26 1,83 1,38 0,88
10 3,17 2,76 2,23 1,81 1,37 0,88
11 3,11 2,72 2,20 1,80 1,36 0,88
12 3,05 2,68 2,18 1,78 1,36 0,87
13 3,01 2,65 2,16 1,77 1,35 0,87
14 2,98 2,62 2,14 1,76 1,34 0,87
15 2,95 2,60 2,13 1,75 1,34 0,87
16 2,92 2,58 2,12 1,75 1,34 0,86
17 2,9 2,57 2,11 1,74 1,33 0,86
18 2,88 2,55 2,10 1,73 1,33 0,86
19 2,86 2,54 2,09 1,73 1,33 0,86
20 2,84 2,53 2,09 1,72 1,32 0,86
21 2,83 2,52 2,08 1,72 1,32 0,86
22 2,82 2,51 2,07 1,72 1,32 0,86
23 2,81 2,50 2,07 1,71 1,32 0,86
24 2,80 2,49 2,06 1,71 1,32 0,86
25 2,79 2,48 2,06 1,71 1,32 0,86
26 2,78 2,48 2,06 1,71 1,3` 0,86
27 2,77 2,47 2,05 1,70 1,31 0,85
28 2,76 2,47 2,05 1,70 1,31 0,85
29 2,76 2,46 2,04 1,70 1,31 0,85
30 2,75 2,46 2,04 1,70 1,31 0,85
Wartość współczynnika rozszerzenia t odczytuje się z pól le\
ących na przecięciu odpowiednich kolumn
poziomów ufności i liczby stopni swobody; np. dla poziomu ufności 0,99 i 19 stopni swobody (20 po-
miarów) współczynnik t przyjmie wartość równą 2,86.
Niepewność typu B
Niepewność typu B spowodowana jest błędami systematycznymi. y
ródłem tej niepewności
są błędy aparatury pomiarowej "xap. Wartość ich określa się wskaz
nikiem klasy przyrzÄ…du.
klasa Å" zakres
"xap =
100
3
 Przy zało\
eniu, \
e błędy aparatury mają charakter jednostajny, niepewność standardową
rozszerzonÄ… wyra\
a siÄ™ zale\
nością:
"xap
"x = k Å" "xst = k Å" .
3
Wartość współczynnika rozszerzenia k określa się w zale\
ności od \
Ä…danego poziomu ufno-
ści. Przyjmuje się wartości zamieszczone w tabeli.
k Poziom ufności
1 0,68
2 0,95
3 0,99
Pomiary pośrednie.
Przy zastosowaniu pośrednich metod pomiarowych, wielkość mierzona "y" jest funkcją
"m" wielkości xi (i = 1,2,..m) mierzonych bezpośrednio:
y = f (x1, x2,.., xm) .
Niepewność standardowa łączna jest splotem rozkładów o i-tych odchyleniach standardowych:
m
2
"y = ,
""yi
i=1
gdzie "yi jest pochodnÄ… czÄ…stkowÄ… danej funkcji y po zmiennej xi:
"y
"yi = Å" "xi .
"xi
"xi jest niepewnością standardową łączną wyznaczoną na odpowiednich poziomach ufności,
zgodnie z zaleceniami opisanymi w punkcie  pomiary bezpośrednie .
Przykłady
1. Wyznaczenie rezystancji na podstawie pomiarów spadku napięcia i natę\
enia prądu płyną-
cego w obwodzie.
Szacowanie niepewności przeprowadza się zgodnie z poni\
szÄ… procedurÄ…:
1. Opisać funkcją szukaną wielkość:
U
R = .
I
4
2. Oszacować niepewność wyznaczenia spadku napięcia:
" wyliczyć średnią z serii pomiarów (Uśr),
" oszacować niepewność standardową serii pomiarów,
" wyznaczyć pełną niepewność standardową dla \
ądanego poziomu ufności ("U).
3. Oszacować niepewność wyznaczenia natę\
enia prÄ…du ("I)  jak w punkcie 2.
4. Wyznaczyć "R metodą rózniczki zupełnej:
"R "R
"R = "U + "I ,
"U "I
"R 1
= ,
"U Isr
"R Usr
= - ,
"I
Isr 2
stÄ…d
"U Usr
"R = + "I .
Isr 2
Isr
lub "R/R metodą ró\
niczki logarytmicznej:
 zlogarytmujmy obie strony równania:
U
ln R = ln( ) = lnU - ln I ,
I
 policzmy pochodną lewej i prawej strony tak logarytmowanego równania:
"R "U "I
= + ,
R Usr Isr
 w ostatnim równaniu zamieniono znak "-" na znak "+" ze względu na to, \
e niepewno-
ści się dodają.
Po prostych przekształceniach mo\
na zauwa\
yć, \
e ostatnie równanie jest matematycznie
równowa\
ne równaniu otrzymanemu metodą ró\
niczki zupełnej. Ró\
nica tkwi jedynie w spo-
sobie przedstawienia niepewności. W przypadku ró\
niczki zupełnej mamy do czynienie z
niepewnością bezwzględną ("R) natomiast w przypadku ró\
niczki logarytmicznej z niepew-
nością względną ("R/R). Sposób wyboru metody zale\
y od wykonującego ćwiczenie lub od
wskazówek opiekuna dydaktycznego. Na ogół metodę ró\
niczki logarytmicznej stosuje siÄ™ w
przypadku gdy zale\
ność ma postać iloczynu lub ilorazu. Wtedy bowiem mo\
na uprościć so-
5
bie ró\
niczkowanie korzystając z własności funkcji logarytmicznej, a mianowicie takiej, \
e
logarytm iloczynu (ilorazu) jest sumą (ró\
nicą) poszczególnych składników. Je\
eli równanie
ma postać bardziej skomplikowaną, korzystanie z metody ró\
niczki logarytmicznej jest trud-
niejsze od metody ró\
niczki zupełnej.
Wyznaczenie sprawności urządzenia grzewczego
1. Określić zale\
ność sprawności w danym układzie:
m Å" c Å" "T
Ä
· = ,
U Å" I
gdzie Ä jest czasem, w którym temperatura wody zmienia siÄ™ o "T.
2. Oszacować niepewność wyznaczenia spadku napięcia "U:
" wyliczyć średnią z serii pomiarów (Uśr),
" oszacować niepewność standardową serii pomiarów,
" wyznaczyć pełną niepewność standardową dla \
ądanego poziomu ufności ("U).
3. Oszacować niepewność wyznaczenia natę\
enia prÄ…du ("I)  jak w punkcie 2.
4. Oszacować niepewność wyznaczenia masy wody ("m) zgodnie z rozdziałem  Niepew-
ność typu B .
5. Oszacować niepewność wyznaczenia temperatury "("T) zgodnie z rozdziałem  Nie-
pewność typu B .
6. Oszacować niepewność wyznaczenia czasu ("Ä) grzania zgodnie z rozdziaÅ‚em  Nie-
pewność typu B .
7. Odczytać niepewność wyznaczenia ciepła właściwego wody z tablic ("c).
8. Wyznaczyć "· metodÄ… ró\
niczki zupełnej
"· "· "· "· "· "·
"· = "U + "I + "m + "c + "("T ) + "Ä ,
"U "I "m "c ""T "Ä
"· I Å"Ä Å" m Å" c Å" "T ·
= - = - ,
"U (U Å" I Å"Ä )2 U
"· U Å"Ä Å" m Å" c Å" "T ·
= = - ,
"I (U Å" I Å"Ä )2 I
"· I Å"U Å" m Å" c Å" "T ·
= = - ,
"Ä (U Å" I Å"Ä )2 Ä
6
"· c Å" "T ·
= = ,
"m U Å" I Å"Ä m
"· m Å" "T ·
= = ,
"c U Å" I Å"Ä c
"· m Å" c ·
= = .
""T U Å" I Å"Ä "T
StÄ…d otrzymujemy zale\
ność przedstawiającą niepewność bezwzględną wyznaczenia sprawności:
· · · · · ·
"· = "U + "I + "m + "c + "("T ) + "Ä ,
U I m c "T Ä
lub niepewność względną:
"· "U "I "m "c "("T ) "Ä
= + + + + + .
· U I m c "T Ä
lub metodą ró\
niczki logarytmicznej.
TakÄ… samÄ… zale\
ność, z pominięciem wielu \
mudnych obliczeń pochodnych cząstkowych, mo\
na
otrzymać stosując metodę ró\
niczki logarytmicznej. Stwierdzenie to jest prawdziwe wtedy i
tylko wtedy, gdy zale\
ność opisująca wyznaczaną wielkość jest postaci iloczynu lub ilorazu.
" zlogarytmujmy obie strony równania opisującego sprawność
ln· = lnU + ln I + lnÄ - ln m - ln c - ln("T ) ,
" zró\
niczkujmy tÄ™ zale\
ność pamiętając, \
e niepewności zawsze się dodają
"· "U "I "m "c "("T ) "Ä
= + + + + + .
· U I m c "T Ä
7