EGZAMIN PODSTAWY ROBOTYKI 2  2010
1. Podać definicje modelu dynamiki różniczkowego oraz całkowego w postaci
ogólnej oraz związek, który pomiędzy nimi występuje. [opracowane na podstawie:
 Modelowanie i sterowanie robotów - Kozłowski, Dutkiewicz, Wróblewski]
" model różnicowy
Ogólna postać modelu matematycznego z wykorzystaniem Lagrangianu jest
następująca:
&& & &
Å›(q)q + C(q, q)q + g(q) = Ä
gdzie: - M(q)  jest dodatnio określoną macierzą mas manipulatora, macierz ta
grupuje właściwości masowe manipulatora;
&
- C(q, q) - jest wektorem momentów sił dośrodkowych i Coriolisa;
- g(q) - jest N-wymiarowym wektorem momentów sił związanych z
grawitacjÄ…, przy czym:
dEpc
g(q) = ;
dq
- Ä - wektor reprezentujÄ…cy momenty siÅ‚ niepotencjalnych przyÅ‚ożonych do
układu;
&&
Zwróćmy uwagę na fakt, że momenty sił interakcji ś(q)q wynikają z elementów
leżących po za diagonalą macierzy mas, natomiast elementy macierzy
&
C(q, q) spełniają następujące równanie:
N N N
"M "M
ëÅ‚ öÅ‚
ij jk
& &
q = qk
"Cij j ""ìÅ‚ "qk - 1 ÷Å‚& j
ìÅ‚
2 "qi ÷Å‚q
j=1 j=1 k=1
íÅ‚ Å‚Å‚
Często różnicowy model matematyczny zapisujemy w postaci:
& &&
Ä = D(q, q, q)X
gdzie: - D  jest macierzÄ… o wymiarach N×12N;
- X  jest wektorem parametrów dynamicznych manipulatora;
" model całkowy
Model całkowy wynika z twierdzenia o energii z klasycznej mechaniki analitycznej:
t2
T
& ((Ekc(t2
+"Ä qdt = )+ Epc(t2 ))-(Ekc(t1)+ Epc(t1)))= H(t2 )- H(t1)
t1
gdzie: - Ä - jest wektorem siÅ‚ niepotencjalnych dziaÅ‚ajÄ…cych w ukÅ‚adzie;
- H(t )= (Ekc(t)+ E (t)) jest sumą całkowitych energii kinetycznej
pc
potencjalnej w chwili t;
Całkę występującą po prawej stronie równania można zapisać w postaci:
t2
T
J = qdt = dlX
+"Ä &
t1
gdzie: - dl  jest wektorem zależnym od wektorów położeń i prędkości uogólnionych;
- X - jest wektorem parametrów dynamicznych manipulatora;
" model różnicowy, a całkowy:
- model całkowy dynamiki jest zależny jedynie od wektorów prędkości i
położeń uogólnionych;
- w modelu różnicowym wyprowadzanym z Lagrangianu występuje różnica
energii kinetycznej i potencjalnej, w modelu całkowym wyprowadzanym z
twierdzenia o energii występuje ich suma;
- związek pomiędzy modelami określa wektor parametrów dynamicznych
manipulatora X, występujący w obydwu modelach;
2. Podać postać ogólna równań dynamiki dla robota mobilnego o napędzie różnicowym
z ograniczeniem na poślizg poprzeczny. W jaki sposób można wyeliminować
mnożnik Lagrange'a występujący w tych równaniach? [opracowane na podstawie:
wykłady z PR2 z roku 2005 oraz  Modeli dynamicznych : z
ródło:SzerokoPojętyInternet]
Kinematyka układu robotycznego podlega l niezależnym ograniczeniom fazowym typu Pfaffa
&&
A(q)q = 0
Ponadto korzystamy z Zasady d Alamnberta, w myśl której siły uogólnione F zapewniające
spełnienie ograniczeń fazowych nie będą wykonywać pracy na dopuszczalnych
przemieszczeniach. Po przeprowadzeniu uproszczeń dochodzimy do wektora mnożników
Lagrange a "Rl takich, że:
F = T A(q)Ò! F = AT (q)
Dla przedstawionego powyżej robota mobilnego dwukołowego o napędzie różnicowym
ogólne równania dynamiki przyjmują postać:
&& & &
M(q)q + Vm(q, q)q = B(q)Ä - AT (q)
gdzie:
* AT (q) - określają siły reakcji układu;
* B(q) - macierz transformacji sygnału wejściowego;
&
* Vm(q,q) - macierz oddziaływań;
* M(q) - macierz mas;
* Ä - jest wektorem siÅ‚ niepotencjalnych dziaÅ‚ajÄ…cych w ukÅ‚adzie;
Powyższą zależność otrzymano przy założeniu, że robot porusza się po terenie płaskim
(Epc=0; L=Ekc), co wyeliminowało element g(q) podawany przez inne z
ródła.
T
Eliminujemy mnożniki Lagrange korzystajÄ…c z wÅ‚asnoÅ›ci: A(q)S(q) = 0 Ô! S (q)AT (q) = 0 .
Po obustronnym pomnożeniu powyższego równania przez macierz: ST (q) oraz
&
& && &
uwzglÄ™dnieniu zależnoÅ›ci q = S(q)½ , q = S(q)½ + S(q)½ oraz wÅ‚asnoÅ›ci macierzy A(q) i S(q)
otrzymujemy równanie:
T T T T
&
& & ½
S (q)M (q)S(q)½ +[S (q)M (q)S(q)+ S (q)(Vm(q, q)S(q)] = S (q)B(q)Ä
które zapisujemy w postaci:
& &
M (q)½ + V (q, q)½ = B(q)Ä .
3. Dla robota dwukołowego przedstawionego na rysunku podać warunki istnienia
poślizgu wzdłużnego oraz poprzecznego. Warunki holonomiczne oraz
nieholonomiczne podać w formie Pfaffa. Podać stosowne wyprowadzenia. Punkt C
jest środkiem masy pojazdu. [opracowane na podstawie: Dropbox:wózek.pdf]
& &
W tym zadaniu robot jest zaopatrzony w dwa niezależne napÄ™dy Õl i Õ . Punkt C jest
p
środkiem masy, punkt P  środkiem geometrycznym. Możemy zapisać równania zależności:
xc = xp + d cos(Åš)
yc = yp + d sin(Åš)
Równania różniczkujemy po czasie:
&
& &
xc = xp - dÅšsin(Åš)
&
& &
yc = y + dÅšcos(Åš)
p
Pierwsze równanie mnożymy razy  sin(Ś), drugie razy cos(Ś), następnie dodajemy je do
siebie stronami:
&
& & & &
- xc sin(Åš)+ yc cos(Åš) = -xp sin(Åš)+ y cos(Åš)+ dÅš(sin2(Åš)+ cos2(Åš))
p
&
& & & &
- xc sin(Åš)+ yc cos(Åš) = -xp sin(Åš)+ y cos(Åš)+ dÅš
p
Warunek na brak poślizgu wzdłuż osi poprzecznej robota:
Wszystkie rzuty prędkości na oś Yc muszą się równoważyć. Otrzymane składowe:
& &
xc cos(90o - Åš)= xc sin(Åš)
&
yc cos(Åš)
&
É × d = Åšd
Ostatnia składowa wynika z prędkości kątowej.
&
& &
- xc sin(Åš)- Åšd + yc cos(Åš) = 0
Powyższe równanie jest niecałkowalne po czasie, zatem jest to ograniczenie
nieholonomiczne.
Warunek na brak poślizgu wzdłuż osi podłużnej robota:
& &
Uwzględniamy rzuty prędkości xc i yc na oś Xc:
&
xc cos(Åš)
& &
yc cos(90o - Åš)= yc sin(Åš)
Ponadto dla koła prawego uwzględniamy prędkość postępową i prędkość wynikającą z obrotu
kół wokół środka. Warunek dla koła prawego:
&
& & &
xc cos(Åš)+ yc sin(Åš)- rÕ + RÅš = 0
p
Postępujemy analogicznie dla lewego koła i otrzymujemy warunek dla koła lewego:
&
& & &
xc cos(Åš)+ yc sin(Åš)- rÕl - RÅš = 0
Obydwa warunki są niecałkowalne po czasie, a więc są to również ograniczenia
nieholonomiczne.
Przedstawienie uzyskanych ograniczeń w postaci Pfaffa:
A(q)q = 0
Wektor współrzÄ™dnych konfiguracyjnych q=[xc yc Åš ÕP ÕL].
îÅ‚- sin Åš cosÅš - d 0 0
Å‚Å‚
ïÅ‚
A(q) = cosŚ - sin Ś - R r 0śł
ïÅ‚- śł
ïÅ‚- cosÅš - sin Åš R 0 rûÅ‚
śł
ðÅ‚
Macierz zawiera 3 warunki nieholonomiczne. Można przekształcić uzyskane ograniczenia,
aby uzyskać ograniczenia holonomiczne.
Równania opisujące warunki braku poślizgu podłużnego można przekształcić do całkowalnej
postaci:
r
&
& &
Åš = (ÕP - ÕL )
2R
które prowadzi do uzyskania nowej macierzy:
îÅ‚- sin Åš cosÅš - d 0 0
Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
A1(q) = cos Åš - sin Åš - R r 0
ïÅ‚- śł
ïÅ‚ 0 0 - 2R r - rûÅ‚
śł
ðÅ‚
Macierz zawiera 2 warunki nieholonomiczne i jeden holonomiczny.
4. Wykazać, że warunek prędkościowy poślizgu poprzecznego przy jez
dzie na wprost
ze stałą prędkością v dla robota mobilnego z mechanizmem różnicowym ma
charakter warunku holonomicznego. [opracowane na podstawie: Dropbox:wózek.pdf i
tego co w mojej głowie(!więc mogą być bzdury!)]
Ponieważ robot porusza się na wprost, ze stałą prędkością, należy poczynić pewne założenia:
&
1) Åš = 0
2) ÕL = ÕP = Õ
&
3) Õ = const.
Następnie należy przeprowadzić rozumowanie analogiczne do poprzedniego punktu z
uwzględnieniem w/w założeń.
xc = xp + d cos(Åš)
yc = yp + d sin(Åš)
Równania różniczkujemy po czasie:
& &
xc = xp
& &
yc = y
p
Warunek na brak poślizgu poprzecznego: rzuty wszystkich prędkości na oś Yc równoważą
się. Otrzymane składowe:
&
x cos(Åš)
&
y sin(Åš)
Brakuje występującej w poprzednim zadaniu składowej wynikającej z prędkości obrotowej,
ponieważ ruch jest prostoliniowy, É=0. Warunek braku poÅ›lizgu poprzecznego:
& &
- x cos(Åš)+ y sin(Åš) = 0
Powyższe wyrażenie jest całkowalne po czasie, ponieważ kąt Ś jest stały, funkcje cos(Ś) i
sin(Ś) są stałymi współczynnikami. Całka z powyższego równania wynosi:
x cos(Åš)+ y sin(Åš) = 0
a więc jest to ograniczenie całkowalne, holonomiczne.
5. Sformułować zadanie pasywności dla układu mechanicznego. [opracowane na
podstawie: forum i wykłady z PR2 z 2010 roku]
Wszystkie układy mechaniczne, w których nie ma dysypacji energii (nie występuje tarcie)
spełniają zasadę pasywności.
Całka z iloczynu sił uogólnionych i prędkości uogólnionych jest równa różnicy energii
całkowitej układu w chwili t i energii całkowitej układu w chwili zerowej.
t
&T (Ekc(t)
+"q Ädt = + Epc(t))-(Ekc(0) + Epc(0))
0
Suma energii całkowitej i potencjalnej to funkcja Lapunowa w układzie mechanicznym.
t
2
&
qTÄdt = V (t) -V (0) e" -Å‚
n
+"
0
Zasada pasywności układów mechanicznych:
t
dV
2
& &T
= qTÄ Ò! Ädt = (Ekc (t) + E (t))- (Ekc (0) + E (0))= V (t) - V (0) e" -Å‚
pc pc n
+"q
dt
0
Interpretacja zasady pasywności układów mechanicznych: ponieważ energia kinetyczna Ek
jest niezależna od wyboru układu współrzędnych, możemy dowolnie dobierać układ
odniesienia, w którym liczymy energię potencjalną.
1
& &
Energię kinetyczną opisuje zależność: Ekc = qT (M (q))q . Znając macierz mas dysponujemy
2
pełną informacją o układzie. Wszystkie składniki związane z siłami Coriolisa i siłami
odśrodkowymi wynikają z macierzy mas. Oddzielnie występuje pochodna Ep względem
współrzędnych uogólnionych, czyli gradient energii potencjalnych względem wektora
współrzędnych uogólnionych.
6. Podać równania Lagrange a dla manipulatora o N stopniach swobody oraz podać
właściwości każdego występującego w nim elementu z punktu widzenia sterowania.
Manipulator o N stopniach swobody:
Równania Lagrange a dla manipulatora o N stopniach swobody:
ëÅ‚ öÅ‚
d "L "L
ìÅ‚ ÷Å‚ - = Ä , i =1, 2, ... n
ìÅ‚
&
dt "qi ÷Å‚ "qi i
íÅ‚ Å‚Å‚
Elementy Lagrangianu:
- L(q) = Ek(q, q , t)- Ep(q, q , t)  jest funkcjÄ… Lagrange a opisujÄ…cÄ… dany
układ;
"L
- - siła uogólniona;
"qi
"L
- - pęd uogólniony;
&
"qi
- Ä - jest wektorem siÅ‚ niepotencjalnych dziaÅ‚ajÄ…cych w ukÅ‚adzie;
-
Równania Lagrange a otrzymujemy z zasady najmniejszego działania i dla znanej funkcji
Lagrange'a są one układem n równań różniczkowych zwyczajnych na funkcje qk(t).
Właściwości elementów lagrangianu z pktu widzenia sterowania:
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
7. Zasada d Alamberta. [opracowane na podstawie:  Mechanika ogólna-dynamika
Mendzel]
Zasada d Alamberta (zasada równowagi kineostatycznej opisującej ruch punktu
materialnego): suma geometryczna sił prawdziwych działających na punkt materialny P oraz
sił bezwładności B jest równa zeru.
P + B = 0
Pracę przygotowaną wszystkich sił prawdziwych i bezwładności działających na punkt
materialny mi, które przesuniÄ™cie przygotowanie wynosi ´r, okreÅ›la równanie:
"L = (P + B)´r = 0
Powyższy wzór to tzw. ogólne równanie dynamiki.
Wynika z niego, że praca przygotowana wszystkich sił prawdziwych i fikcyjnych
działających na punkt jest zerem. Stosując tę zasadę możemy opisać zjawisko ruchu brył lub
układu brył.