Inżynieria Materiałowa - sem.1 - mgr Małgorzata Suchecka - 1 Własności funkcji Zad.1 Znalezć dziedzinę funkcji: 2x x - 5 2x - 3 a1) y = ; a2) y = + ; x + 3 x x + 7 " " " " a3) y = 2x - 6 - 3 3 - x ; a4) y = 2 5 - x + x2 + 1 ; " " 3x + 2 - x x - 2 3 " a5) y = ; a6) y = - - 2x - 2 ; x + 3 x2 2x - 1 - 4
2
a7) y = |x - 3| - 2 ; a8) y = ; x 4 - |x| " 4 + x - 10 " " a9) y = ; a10) y = x + -x ; x (|x| - 3)
1
a11) y = |x + 2| - 1 + ; a 12) y = 1 - x + 2 |x| ; |x - 4| + 1
1 1 a 13) y = x - ; a 14) y = ; x |x| (|x| - 2) " x - 1 a 15) y = " x - x Zad.2 Dla każdej z poniższych funkcji podać jej zbiór wartoÅ›ci: 1 1 b1) f(x) = ; b2) f(x) = ; x2 + 1 |x| + 2 Å„Å‚ Å„Å‚ ôÅ‚ ôÅ‚ òÅ‚ òÅ‚ 1 dla |x| < 1 0 dla |x| > 2 b3) f(x) = ; b4) f(x) = ; ôÅ‚ ôÅ‚ ół ół 4 dla |x| 1 -3 dla |x| 2 Å„Å‚ Å„Å‚ ôÅ‚ ôÅ‚ òÅ‚ òÅ‚ x dla |x| < 1 0 dla x 0 b5) f(x) = ; b6) f(x) = ; ôÅ‚ ôÅ‚ ół ół 4 dla |x| 1 2x dla x > 0
Ą Ą b7) f(x) = 2 (1 - cos x) dla x " [0, 2Ą] ; b8) f(x) = x - tg x dla x " - , 4 4 Inżynieria Materiałowa - sem.1 - mgr Małgorzata Suchecka - 2 Zad.3 Czy funkcje f i g są tożsamościowo równe: x c1) f(x) = , g(x) = 1 x " c2) f(x) = x2 , g(x) = x " c3) f(x) = x4 , g(x) = x2 c4) f(x) = sin2 x + cos2 x , g(x) = 1
" " c5) f(x) = x · x - 1 , g(x) = x (x - 1) " 1 " c6) f(x) = 1 + x2 + x , g(x) = 1 + x2 - x " c7) f(x) = - |x| , g(x) = - x2 c8) f(x) = 0 , g(x) = x2 - x |x| x2 + 1 c9) f(x) = 1 , g(x) = x2 + 1 x - 1 c10) f(x) = 1 , g(x) = x - 1 c11) f(x) = x4 , g(x) = x2 |x2| 1 x2 - 2 c12) f(x) = , g(x) = 2 2x2 - 4 Zad.4 Wyznacz miejsca zerowe funkcji: d1) f(x) = 5x - 15 ; d2) f(x) = (x + 2)(x - 3) ; " " d3) f(x) = (x + 4) x - 2 ; c4) f(x) = x - 5(9 + x) Zad.5 Zbadać parzystoÅ›ci i nieparzystość funkcji: " e1) y = ax ; e2) y = 1 - x2 ; e3) y = sin x + cos x ; ax - a-x ax + 1 2 e4) y = ; e5) y = 2-x ; e6) y = x · ; 2 ax - 1 x e7) y = x2 - 2 |x| ; e8) y = ; e9) y = x |x2| - x2 |x| ; |x| + 1 1 e10)y = x + . x Zad.6 O funcji okreÅ›lonej na zbiorze liczb rzeczywistych wiadomo,że jest okresowa, o okresie podsta- wowym T . Naszkicować wykresy podanych funkcji oraz rozwiÄ…zać zadane nierównoÅ›ci: 3 f1) T = 2 ; oraz f(x) = x2 - 2x dla x " [0, 2] f(x) - 4 3 f2) T = 2 ; oraz f(x) = |x - 1| + 1 dla x " [0, 2] f(x) 2 Inżynieria MateriaÅ‚owa - sem.1 - mgr MaÅ‚gorzata Suchecka - 3 Zad.7 Zbadać, która z nastÄ™pujÄ…cych funkcji jest różnowartoÅ›ciowa: g1) f(x) = x - |x| ; g2) f(x) = (x - 1)3 ; 1 x g3) f(x) = x + ; g4) f(x) = x |x| + 1 Zad.8 Wyznaczyć funkcje odwrotne (jeÅ›li istniejÄ…) do danych funkcji: h1) f(x) = 3x + 7 ; h2) f(x) = -x + 11 ; Å„Å‚ Å„Å‚ ôÅ‚ ôÅ‚ òÅ‚ òÅ‚ 2x + 1 dla x 0 x2 dla x 0 h3) f(x) = ; h4) f(x) = ; ôÅ‚ ôÅ‚ ół ół x + 1 dla x < 0 -x dla x < 0 h5) f(x) = 1 - |x| ; h6) f(x) = x2 - 2x ; Å„Å‚ Å„Å‚ " ôÅ‚ ôÅ‚ òÅ‚ òÅ‚ x dla x 0 x3 dla x 0 h7) f(x) = ; h8) f(x) = ôÅ‚ ôÅ‚ ół ół x + 1 dla x < 0 x2 dla x < 0 Zad.9 1 - x Sprawdzić,że funkcja y = jest odwrotna wzglÄ™dem siebie. 1 + x Zad.10 x Wykazać, że funkcja y = , gdzie x " (-1, + ") jest rosnÄ…ca w swojej dziedzinie. 1 + x Odpowiedzi do zadaÅ„ Zad.1 a1) D = R - {-3} ; a2) D = R - {-7, 0} ; a3) D = {3} ; a4) D = (- ", 5 ; a5) D = (- ", 2 - {-3} ; a6) D = 1, + ") - {2} ; a7) D = (- ", 1 *" 5, + ") ; a8) D = (-4, 4) - {0} ; a9) D = 10, + ") ; a10) D = {0} ; a11) D = (- ", -3 *" -1, + ") ; a 12) D = R ; a 13) D = -1, 0) *" 1, + ") ; a 14) D = R - {-2, 0, 2} ; a 15) D = (0, + ") - {1} Inżynieria MateriaÅ‚owa - sem.1 - mgr MaÅ‚gorzata Suchecka - 4 Zad.2
1 b1) W = (0, 1] ; b2) W = 0, ; 2 b3) W = {1, 4} ; b4) W = {-3, 0} ; b5) W = (-1, 1) *" {4} ; b6) W = [0, + ") ;
Ä„ Ä„ b7) W = [0, 2] ; b8) W = - - 1, + 1 4 4 Zad.3 c1) NIE ; c2) NIE ; c3) TAK ; c4) TAK ; c5) NIE ; c6) TAK ; c7) TAK ; c8) NIE ; c9) TAK ; c10) NIE ; c11) TAK ; c12) NIE Zad.4 d1) x0 = 3 ; d2) x0 = -2 (" x0 = 3 ; d3) x0 = -4 (" x0 = 2 ; c4) x0 = -9 (" x0 = 5 Zad.5 e1) ani parzysta, ani nieparzysta e2) parzysta e3) ani parzysta, ani nieparzysta e4) nieparzysta e5) parzysta e6) parzysta e7) parzysta e8) nieparzysta e9) ani parzysta, ani nieparzysta e10)nieparzysta. Zad.6
1 3 f1) x " + 2k, + 2k , k " Z 2 2
1 1 f2) x " - + 2k, + 2k , k " Z 2 2 Zad.7 g1) NIE ; g2) TAK ; g3) TAK ; g4) TAK Zad.9 TAK